向量及向量加減法

1、學(xué)習(xí)目的:1 .理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義；2 .理解向量的幾表示，會(huì)用字母表示向量；3 .了解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會(huì)判斷向量間平行（共線）、相等的關(guān)系；4 .通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的向量和數(shù)量有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證思想和分析辨別能力.5 .掌握向量的加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量；6 .掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算；7 .明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的差向量；8 .在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能

2、利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾證明；9 .通過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算，可以滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系的辨證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).學(xué)習(xí)容：向量這部分知識(shí)是新容，但我們已經(jīng)接觸過(guò)了.同學(xué)們?cè)谖锢淼恼n程學(xué)習(xí)過(guò)矢量的概念，它與我們要學(xué)的向量是一致的（知識(shí)是相通的），即使在數(shù)學(xué)中，前一段我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)線時(shí)講過(guò)有向線段，實(shí)際上 向量就是用有向線段表示的.學(xué)習(xí)難點(diǎn)向量的加法運(yùn)算一、向量的概念爭(zhēng)向量:既有大小又有向的量.通常用有向線段

3、工E表示，其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，顯然相 血表示不同的向量；有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用|居|表示，顯然AE BA ,既有向線段的起、終點(diǎn)決定向量的向，有向線段的長(zhǎng)度決定向量的大小 -，+注意：向量 抽 的長(zhǎng)度|且|又稱為向量的模； 長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量， 長(zhǎng)度為1的向量 叫做單位向量.向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行.平行向量可通過(guò)平移到同一條直線上，因此平行向量也叫共線向量長(zhǎng)度相等且向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等，任意兩個(gè)相等的非零向量可經(jīng)過(guò)平移的過(guò)程重合在一起，既可用一個(gè)有向線段表示，而與起點(diǎn)無(wú)關(guān)二、向量的加法1 .向量加法的平行四邊形法

4、則H與77.十77平行四邊形 ABCD中，向量 兒0 延的和為如一.記作：皿加力匚.2 .向量加法的三角形法則根據(jù)向量相等的定義有：在 0匚，既在AADC中，血 DC 圮，首尾相連的兩個(gè)向量的和 是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn) .'規(guī)定：零向量與向量 閆6的和等于 M .三、向量的減法向量.與向量由4叫做相反向量.記作：數(shù)-一皿則向8 45 口U ,既用加法法則 來(lái)解決減法問(wèn)題.例題選講第一階梯例1判斷下列命題的真假：直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)軸都是向量；兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件； 向量工3與 8 是共線向量，則 乂 、8 、C A 必在同一直線上；向量比與向量小平

5、行，則比與否的向相同或相反；四邊形幺BC口是平行四邊形的充要條件是= DC分析：判斷上述五個(gè)命題的真假性，需細(xì)心辨別才能識(shí)其真面目.解：直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)半軸，雖有向之別，但無(wú)大小之分，故命題是錯(cuò)誤的.由于兩個(gè)向量相等，必知這兩個(gè)向量的向與長(zhǎng)度均一致，故這兩個(gè)向量一定平行，所 以，此命題正確；不正確.Y3與口口共線，可以有與工0平行；不正確.如果其中有一個(gè)是零向量，則其向就不確定；正確.此命題相當(dāng)于平面幾中的命題：四邊形 SB"是平行四邊形的充要條件是有 一組對(duì)邊平行且相等.例2下列各量中是向量的有 .A、動(dòng)能B、重量C、質(zhì)量D、長(zhǎng)度E、作用力與反作用力F、溫度分析： 用向量的

6、兩個(gè)基本要素作為判斷的依據(jù)注意對(duì)物理量實(shí)際意義的認(rèn)識(shí)解： A, C, D, F只有大小，沒(méi)有向，而B和F既有大小又有向，故為向量 .例3命題“若4方，右八,則已.”（）A.總成立B.當(dāng)2Ho時(shí)成立 C .當(dāng)0時(shí)成立 D .當(dāng)仁時(shí)成立分析： 這里要作出正確選擇，就是要探求題中命題成立的條件.二.零向量與其他任非零向量都平行，.當(dāng)兩非零向量龍、仁不平行而b = °時(shí)，有" &。，但這時(shí)命題不成立，故不能 選才A A,也不能選擇 B與D,故只能選擇 C.答案：C第二階梯例1如圖1所示，已知向量外瓦心，試求作和向量以+3+仁. 分析：求作三個(gè)向量的和的問(wèn)題，首先求作其中任兩

7、個(gè)向量的和，因?yàn)檫@兩個(gè)向量的和仍為一 個(gè)向量，然后再求這個(gè)向量與另-個(gè)向量的和.即先作十二，再作1tf.解:如圖2所示，首先在平面任取一點(diǎn)作向量AB =c，則得向量則向量,然后作向量例2化簡(jiǎn)下列各式Word資料一L'一二一(2)分析:化簡(jiǎn)含有向量的關(guān)系式一般有兩種法是利用幾法通過(guò)作圖實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)；是利用代數(shù)法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序, 有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量.解:(AB +04 = + -75-15 = 0原式=EOOF-(OD 4電=(EO * 函 - 6 =至例3用向量法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

8、圖3分析：要證明四邊形是平行四邊形只要證明某一組對(duì)邊平行且相等.由相等向量的意義可知，只需證明其一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)的向量是相等向量.（需首先將命題改造為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言）已知：如圖 3, ABCD是四邊形，對(duì)角線 AC與BD交于O,且AO=OC , DO=OB .求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.證明：由已知得= ",AD = AO + OE）aO（JbBO = BOOC= PC，且 a, d, b, c不在同一直線上, 故四邊形ABCD是平行四邊形.第三階梯（1）單位向量都相等;若相以則而I isBWs .（3）若ABCD為平行四邊形，則 越 8 ；（4）若延C。' C。跖，則海區(qū)

9、斤.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A、0B、1 C、2 D、3與一解：（1）不正確.單位向量的長(zhǎng)度相等，但向不一定相同；（2）不正確.加 可能在同一條直線上；（3）不正確.平行四邊形 ABCD中，池 DC CD . （4）正確.滿足等量的傳 遞性.選B. -例2.若O為正三角形ABC的中心，則向量 血0°富'017是（）.D、相等的向量解：AO口耳處的起點(diǎn)不同，不平行也不相等.由正三角形的性質(zhì):3 心Bl叱 .選C.例3.某人向東走 3km ,又向北走3km ,求此人所走路程和位移.解:此人所走路程：|AB|+|BC|=6km.此人的位移:&卜£1嬌版！例4.求證對(duì)

10、角線互相平分的平面四邊形是平行四邊形一.T 已知：如比',求證:ABCD為平行四邊形.一.> 十一十一證明：由加法法則:血加國(guó) 口。D9 CC ,T ： f 一 T -好口U饃口B ,口U ,即線段AB與DC平行且相等, ABCD為平行四邊形.例5.非零向量 總'EU中，試比較 jEC 與&l Te匚的大小.予解：（1）池一J 7與（2）心與rEC時(shí),共線時(shí)，尾 c 1忌I- Irc I尾 l-Ls I- Irc I不共線時(shí)，BC Eb ,總I方I - bC I-Ij4BI - l5cl課外練習(xí)1 .若兩個(gè)向量不相等，則這兩個(gè)向量（）A、不共線B、長(zhǎng)度不相等C、不

11、可能均為單位向量D、不可能均為零向量2 .四邊形RSPQ為菱形，則下列可用一條有向線段表示的兩個(gè)向量是（）A、晶與演B、晶與芭與ff胃一C、跖d、朋與行3 . “兩個(gè)向量共線”是“這兩個(gè)向量相等”的（）.A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件4,O是四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，若盛展喧噫,則四邊形ABCD是（）A、等腰梯形 B、平行四邊形 C、菱形 D、矩形Z十 十三 05 .若 O 是 AABC 一點(diǎn)，OA OS QC，則。是 aabc 的（）.A、心B、外心 C、垂心D、重心6 . AABC 中，AS=（）.A、 BC BAb、律UC、的 D、E比7.平行

12、四邊形 ABCD中，E、F為AB,CD中點(diǎn)，圖中7個(gè)向量中，與 工相等的向量是安 與 必 相等的向量是 乂直平行的向量是 必 平行的向量是 .-'> > ,8,已知：首尾相接的四個(gè)向量頜'ES'M.S求證：參考答案1.D2.B3.B4.B5.D6.Bf f f f f7 .一8 .證明：>AD> _fad- da測(cè)試選擇題1 .已知向量 a=（3,m）的長(zhǎng)度是5,則m的值為（）A、4B、-4 C、士4D、162.下面有四個(gè)命題:1）向量-務(wù)AB的長(zhǎng)度與向量-，££的長(zhǎng)度相等.（2）任一個(gè)非零向量都可以平彳f移動(dòng).（3）所有的單

13、位向量都相等 .（4）兩個(gè)有共同起點(diǎn)的相等向量，其終點(diǎn)必相同其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A、 4B、 3C、 2 D、 19 .在下列命題中，正確的是（）A、若| 一>|.，則“>"B、|"|=|面|,則=心7>->>TC、若="，則"與 '共線 D、若"w " ,則& 一定不與“共線10 .下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）.A、零向量是沒(méi)有向的B、零向量的長(zhǎng)度為0C、零向量與任一向量平行D、零向量的向是任意的->11 如圖，設(shè)。是正六邊形 ABCDEF的中心，則和 工前相等的向量的個(gè)數(shù)是（）A、1

14、個(gè) B、2個(gè)C、3個(gè) D、4個(gè)答案與解析答案：1、C 2、B3、C 4、A 5、B解析:1 .答案：C.因?yàn)殚g=存中三5所以僧22.答案:>>B. （1）又t.因?yàn)榕c 疑是指同一條線段，因此長(zhǎng)度相等.對(duì).這是由相等向量推導(dǎo)出的結(jié)論.（3）錯(cuò).因?yàn)閱挝幌蛄恐灰竽ｉL(zhǎng)等于1,向不作要求,因此不一定相等.（4）對(duì).因?yàn)橄嗟认蛄靠梢越?jīng)過(guò)平移至完全重合.解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)3 .答案：C. A錯(cuò).因?yàn)橄蛄坑写笮『拖騼蓚€(gè)要素.無(wú)法比較大小.B錯(cuò).相等向量不僅要模長(zhǎng)相等，向也要相同.C對(duì).相等向量向一定相同，因此共線.D錯(cuò).因?yàn)橄蛄坎幌嗟?，可能僅由于模長(zhǎng)不等，向仍可能是相同的，所

15、以T 7”與 有共線的可能.4.答案：A.零向量是規(guī)定了模長(zhǎng)為0的向量.零向量的向沒(méi)有規(guī)定，是任意的，可以看作和任一向量共線.零向量絕不是沒(méi)有向.12 答案：B.根據(jù)向量相等的條件向量重點(diǎn)難點(diǎn)了解向量可以根據(jù)需要自由平移的特點(diǎn)是今后運(yùn)用向量法解決問(wèn)題的前提條件之一，也因此，平行向 量也叫共線向量.要根據(jù)向量的有關(guān)概念從圖形中找出相等的向量和共線的向量.因此，要加強(qiáng)訓(xùn)練觀察 一些常見(jiàn)圖形.以下三個(gè)問(wèn)題上常出現(xiàn)錯(cuò)誤：一是用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的字母表示向量時(shí)，一定注意-1,搞清字母順序，起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后，例如與 是大小相同，向相反的兩個(gè)向量，二是零向量的）向是任意的，而不是沒(méi)有向，因此

16、有關(guān)零向量的向問(wèn)題一般要注意規(guī)定，例如命題：口與 “ 共線，口與“共線， 1與占 共線，是錯(cuò)誤的，因?yàn)榱阆蛄康南蚴侨我獾?，?已與"的向沒(méi)有任關(guān)系，因此也無(wú)法判斷是否共線，三是注意區(qū)別平行向量與平面幾中直線平行的概念，前者相當(dāng)于兩直線位置關(guān)系中的平行和重合兩種情況，例如錯(cuò)誤地認(rèn)為平行向量不可能是共線向量，其實(shí)這兩個(gè)概念是同一 個(gè)概念.典型題目例1下列說(shuō)法中正確的是（）.T 7A .向量 A與向量匕共線，向量匕與向量共線，則向量 已與向量”共線B、任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)>T > TC、向量 ”與不共線，則 已與所在直線的夾角為銳角D、始點(diǎn)

17、相同的兩個(gè)非零向量不平行答案：A點(diǎn)評(píng)：向量共線即向相同或相反，故非零向量間的共線關(guān)系是可以傳遞的.共線向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直線上.而相等向量是共線的，故B中四點(diǎn)可能在同一直線上，向量不共線，僅指其所在直線不平行或不重合，夾角可能是直角，而選項(xiàng)D中向量是否共線與始點(diǎn)位置無(wú)關(guān).例2 "兩個(gè)向量共線”是“這兩個(gè)向量向相反”的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：B點(diǎn)評(píng)：向量共線即向量向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立.例3下面有四個(gè)命題：（1）向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù).（2）兩個(gè)向量平行是兩個(gè)向量相等的必要條件.（3）若兩個(gè)單位向量互相

18、平行，則這兩個(gè)單位向量相等.（4）溫度含有零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）.A. 0B. 1 C. 2 D. 3答案：B等.而兩個(gè)相等向量的向一定相同，必是平行向量.（1）錯(cuò)在向量的模是表示向量的有向線段的長(zhǎng)度，零向量的模為零.因此向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù).（3）錯(cuò)在兩個(gè)單位向量互相平行，向可能相同也可能相反，因此這兩個(gè)向量不一定相等.（4）錯(cuò)在溫度的零上零下也只是表示數(shù)量.向點(diǎn)評(píng)：只有（2）是正確的，因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行只是指這兩個(gè)向量在向上是相同或相反的.向 相反則不可能是相等向量.即使向相同，對(duì)于大小也沒(méi)有要求，依然無(wú)法判定兩個(gè)向量是否相量既要有大小又要有向.常見(jiàn)的向

19、量有力、速度、位移、加速度等.正確解答本題的關(guān)鍵是把握 住向量的兩個(gè)要素，并從這兩個(gè)要素人手區(qū)分其它有關(guān)概念.50。走了例4 一輛汽車從 A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100公里到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變向向西偏北 200公里到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變向，向東行駛了 100公里到達(dá)D點(diǎn).（1）作出向量 從衛(wèi)求|乩叫.答案：（1）見(jiàn)圖.（2）由題意，易知履行如向相反，故助與切在四邊形ABCD中，AB = CD,四邊形ABCD為平行四邊形，共線,又“口匚口 = T ADBC=200公里.點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確畫出向量的法是先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的向， 最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).例5 一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)沿東北向走了100米

20、到達(dá)B點(diǎn).后改變向沿南偏東15°又走了100米到達(dá)C點(diǎn)，求此人從 C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移.解：如圖，根據(jù)題意知A ABC為等邊三角形,T故/ a=15° ,|'的|=100, 此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移-»2月，大小為100米，向?yàn)槲髌?5° .檢測(cè)題1.在下列各命題中，為真命題的有()(1)物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量(2)溫度有零上溫度和零下溫度.因此溫度也是向量(3)向?yàn)槟掀?60°的向量與向?yàn)楸逼珫|60°的向量是共線向量(4)坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量A.1個(gè) B. 2個(gè)C. 3個(gè) D.4個(gè)2 .已知a、b、c是三個(gè)非零向量，則|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要條件是()A. a、b同向B. b、c同向C. a、c同向D. a、b、c 同向3 .