微分中值定理及其應(yīng)用大學(xué)畢業(yè)論文

1、畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目名稱： 微分中值定理的推廣及應(yīng)用題目類型：理論研究型學(xué)生姓名：鄧奇峰院（系）：信息與數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)10903班指導(dǎo)教師：熊駿輔導(dǎo)教師：熊駿時(shí) 間： 2012年12月至 2013年6月目錄畢業(yè)設(shè)計(jì)任務(wù)書 I開題報(bào)告 II指導(dǎo)老師審查意見 III評(píng)閱老師評(píng)語 IV答辯會(huì)議記錄 V中文摘要 VI外文摘要 VII1 引言 12 題目來源 13 研究目的和意義 14 國內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)與研究的主攻方向 15 微分中值定理的發(fā)展過程 26 微分中值定理的基本內(nèi)容 36.1 羅爾 (Rolle) 中值定理 36.2 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 46.3 柯西(Ca

2、uchy)中值定理46.4 泰勒( Taylor )定理 47 微分中值定理之間的聯(lián)系 58 微分中值定理的應(yīng)用 58.1 根的存在性證明 68.2 利用微分中值定理求極限88.3 利用微分中值定理證明函數(shù)的連續(xù)性 98.4 利用微分中值定理解決含高階導(dǎo)數(shù)的中值問題 108.5 利用微分中值定理求近似值108.6 利用微分中值定理解決導(dǎo)數(shù)估值問題 108.7 利用微分中值定理證明不等式 119 微分中值定理的推廣 149.1 微分中值定理的推廣定理149.2 微分中值定理的推廣定理的應(yīng)用 16參考文獻(xiàn) 18致 謝 19微分中值定理的推廣及應(yīng)用學(xué) 生：鄧奇峰，信息與數(shù)學(xué)學(xué)院指導(dǎo)老師：熊駿，信息與

3、數(shù)學(xué)學(xué)院【摘要】 微分中值定理，是微積分的基本定理，是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁， 是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的局部性研究函數(shù)整體性的重要數(shù)學(xué)工具， 在微積分中起著極其重要的作用。 本文首先介紹了微分中值定理的發(fā)展過程、 微分中值定理的內(nèi)容和微分中值定理之間的內(nèi)在聯(lián)系， 接著再看微分中值定理在解題中的應(yīng)用 , 如 :“討論方程根（零點(diǎn)）的存在性” , “ 求極限”和“證明不等式”等方面的應(yīng)用。由于微分中值定理及有關(guān)命題的證明方法中往往出現(xiàn)的形式并非這三個(gè)定理中的某個(gè)直接結(jié)論， 這就需要借助于一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)， 來實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)換， 但是， 怎樣構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)往往是比較困難的。 在此重點(diǎn)給出如何通過

4、構(gòu)造輔助函數(shù)來解決中值定理問題， 從理論和實(shí)際的結(jié)合上闡明微分中值定理的重要性。拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是羅爾中值定理的推廣。 本文從其它角度歸納、推導(dǎo)了幾個(gè)新的形式，拓寬了羅爾中值定理的使用范圍。同時(shí)，用若干實(shí)例說明了微分中值定理在導(dǎo)數(shù)極限、 導(dǎo)數(shù)估值、 方程根的存在性、 不等式的證明、以及計(jì)算函數(shù)極限等方面的一些應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】 微分中值定理 羅爾中值定理 拉格朗日中值定理柯西中值定理聯(lián)系 推廣 應(yīng)用The Extension and Application of the DifferentialMean Value TheoremStudent: Deng Qifeng, Sch

5、ool of Information and Mathematics Tutor: Xiong Jun, School of Information and Mathematics Abstract The differential mean value theorem, is the fundamental theorem of calculus, is the communication bridge between function and its derivative, is an important mathematical tool integrated local researc

6、h application function derivative, plays a very important role in Calculus. This paper describes the develop progress , the contents and the intrinsic link between the differentialmean value theorem; Then look at thedifferential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the

7、roots (zero)in existence, limit and proof of inequality.Because often proof of differential mean value theorem and related propositions in the form is not the three theorems of a direct conclusion, this requires the help of a suitable auxiliary function, equivalent to mathematical problems, but, how

8、 to construct the auxiliary function appropriate is often more difficult. Thekey is how to solve the problemof meanvalue theorem by constructing an auxiliary function, expounds the importance of the differential mean value theorem from the combination of theory and practice.The Lagrange meanvalue th

9、eorem and the Cauchy meanvalue theorem are extensions of the Rolle mean value theorem. In this article, the Rolle mean value theorem has been concluded and deduced in few more forms that helped to expand the use of the Rolle meanvalue theorem. Also, the article has demonstrated of the application of

10、 differential meanvalue theoremin derivative limit, derivative estimate value, existence of root of an equation, proof of inequality and calculation of functional limit upon many examples.【Key words Differential meanvalue theorem; Rolle meanvalue theorem;The Lagrange mean value theorem; the Cauchy m

11、eanvalue theorem; Contact; Promotion; Application微分中值定理的推廣及應(yīng)用1 引言通過對(duì)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)我們知道，微分學(xué)在數(shù)學(xué)分析中具有舉足輕重的地位， 它是組成數(shù)學(xué)分析的不可缺失的部分。對(duì)于整塊微分學(xué)的學(xué)習(xí)， 我們可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理， 也是構(gòu)成它理論基礎(chǔ)知識(shí)的一塊非常重要的內(nèi)容。 由此可知， 對(duì)于深入的了解微分中值定理， 可以讓我們更好的學(xué)好數(shù)學(xué)分析。 通過對(duì)微分中值定理的研究， 我們可以得到它不僅揭示了函數(shù)整體與局部的關(guān)系， 而且也是微分學(xué)理論應(yīng)用的基礎(chǔ)。 微分中值定理是一系列中值定理總稱， 但本文主要是以拉格朗日

12、定理、 羅爾定理和柯西定理三個(gè)定理之間的關(guān)系 1-3 以及它們的推廣為研究對(duì)象，利用它們來討論一些方程根（零點(diǎn)）的存在性 , 和對(duì)極限的求解問題，以及一些不等式的證明。2 題目來源源于對(duì)微分中指定理的學(xué)習(xí)與興趣，以及其在生活中各領(lǐng)域的重要應(yīng)用。3 研究目的和意義目的： 本課題的主要目的是幫助學(xué)生多角度地了解微分中值定理的證明及其相關(guān)應(yīng)用。意義： 微分中值定理是微分學(xué)理論的重要組成部分， 在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中起著橋梁作用， 也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶， 因而在微分學(xué)中占有很重要的地位。 通過微分學(xué)基本定理的介紹， 揭示函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系， 在知識(shí)結(jié)構(gòu)和思想體系中，建立起應(yīng)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步研究函數(shù)性質(zhì)的橋

13、梁。在各類大型考試中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考點(diǎn)，常以該定理的證明及應(yīng)用出現(xiàn)， 涉及一些理論分析和證明， 還有在極值問題中的實(shí)際應(yīng)用，因而對(duì)其進(jìn)行較深層次的挖掘與探討就顯得很有必要。4 國內(nèi)外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)與研究的主攻方向人們對(duì)微分中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了。 1637 年，著名法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在 求最大值和最小值的方法 中給出費(fèi)馬定理。 教科書中通常將它稱為費(fèi)馬定理。 1691 年，法國數(shù)學(xué)家羅爾在方程的解法一文中給出多項(xiàng)式形式的羅爾定理， 1797 年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在解析函數(shù)論一書中給出拉格朗日定理， 并給出最初的證明。 以羅爾定理， 拉格朗日中值定理和柯

14、西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)， 它們建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系， 中值定理的主要作用在于理論分析和證明； 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài)。此外，在極值問題中有重要的實(shí)際應(yīng)用。微分中值定理是數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁。微分中值定理從誕生到現(xiàn)在的近300年間， 對(duì)它的研究時(shí)有出現(xiàn)。 特別是近十年來， 我國對(duì)中值定理的新證明進(jìn)行了研究，僅在國內(nèi)發(fā)表的文章就近60 篇。5 微分中值定理的發(fā)展過程微分中值定理是微分學(xué)的核心定理之一1 。微分中值定理是研究函數(shù)性態(tài)和函數(shù)性質(zhì)的重要工具， 它有著明顯的物

15、理意義和幾何意義。 以拉格朗日中值定理為例， 它表明 “一個(gè)表示事物運(yùn)動(dòng)函數(shù)的曲線段， 必定有一點(diǎn)的切線要平行于曲線段兩個(gè)端點(diǎn)連接的弦” 。 2 所以人們十分重視微分中值定理及其應(yīng)用的研究。古希臘時(shí)代，人們就對(duì)微分中值定理的相關(guān)內(nèi)容有了朦朧的認(rèn)識(shí)。公元前古希臘人就知道如下結(jié)論： 對(duì)于拋物線形成的弓形， 過弓形頂點(diǎn)的切線一定平行于拋物線形成的弓形的底。 古希臘的著名數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes ， 公元前 287前221）也據(jù)此研究出：對(duì)于任意拋物線形成的弓形的面積都可以求出來。意大利著名數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri ， 公元1598公元1674， ）在不可分量幾何學(xué) （1635

16、年出版 ） 中給出的引理3 有如下幾何觀點(diǎn)：曲線段上必有一點(diǎn)的切線平行于曲線的弦3 。1637 年，法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬 （Fermat ，公元 1601 一公元 1665）在求最大值和最小值的方法 中推導(dǎo)出一個(gè)定理， 在大多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材中， 人們通常將它作為微分中值定理的第一個(gè)定理費(fèi)馬定理， 常被用來證明羅爾定理， 也被用來作為判斷極值存在的必要條件。作為微積分創(chuàng)立者之一的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在研究極小問題和極大問題的解法時(shí)，研究出“虛擬等式法” 4 費(fèi)馬定理原形。虛擬等式法的含義可以用以下例子來加以說明：有一個(gè)線段，設(shè)其長度，問如何把這樣一個(gè)線段截成兩個(gè)線段，使這兩個(gè)線段長度乘積最大。1691 年，法

17、國數(shù)學(xué)家羅爾 （ 公元1652公元1719）在其發(fā)表的方程的解法一文中給出多項(xiàng)式形式的費(fèi)馬定理的推廣 5 引申式羅爾定理：“設(shè) a0xn a1xn 1 Lan 1x1a0 0為多項(xiàng)式，在多項(xiàng)式nn1a0xa1 xLan 1 x1a00 2的兩個(gè)相鄰根中，方程至少有一個(gè)實(shí)根。 ”這被稱為原始的羅爾定理。 當(dāng)然也是現(xiàn)代羅爾定理 “若函數(shù) f ， 在 a, b 上連續(xù)， 在 a, b 內(nèi)可導(dǎo)， 且 f a f b 則在 a,b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ， 使得 f 0 ”在多項(xiàng)式中的具體應(yīng)用。從羅爾定理推導(dǎo)過程和具體內(nèi)容來看， 它和現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)教材中的羅爾定理是有所不同的，用純代數(shù)方法證明的羅爾定理和微積分

18、概念幾乎沒有什么聯(lián)系。我們現(xiàn)在看到的對(duì)一般函數(shù)的羅爾定理， 是后人根據(jù)微積分理論重新表述和證明的。 1834年， 德國數(shù)學(xué)家德羅比什首先提出 “羅爾定理(Rolle 定理 ) ” 這一名稱，并于 1846 年，由意大利數(shù)學(xué)家貝拉維蒂斯(Bellavifis) 在發(fā)表的論文中正式使用。由上可知， 人們對(duì)微分中值定理的研究6 大約經(jīng)歷了將近三百年時(shí)間， 從一開始的直觀到現(xiàn)在的抽象表達(dá)， 從一開始的特殊形式到現(xiàn)在的一般形式， 從一開始， 要求的強(qiáng)條件到現(xiàn)在的弱條件， 人們逐漸認(rèn)識(shí)到微中值定理的重要性。 循序 漸進(jìn)是人們認(rèn)識(shí)探索事物規(guī)律的一般過程，微分中值定理的發(fā)展形成也不例外，晦澀難懂的證明推理被一

19、些新的更簡單的方法所替代， 應(yīng)用范圍逐步擴(kuò)大， 這是 數(shù)學(xué)發(fā)展的必由之路。6 微分中值定理的基本內(nèi)容中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)和區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，是聯(lián)系局部和整體的紐帶， 是微分學(xué)應(yīng)用以及自身發(fā)展的理論基礎(chǔ)， 因此說中值定理是微分學(xué)的基本定理7 。它在數(shù)學(xué)中占了很重要的位置，本文主要介紹它在解題中的一些應(yīng)用。中值定理有四個(gè)：羅爾 (Rolle) 中值定理，拉格朗日 (Lagrange) 中值定理， 柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor )定理。6.1 羅爾 (Rolle) 中值定理若函數(shù) f ，在 a,b 上連續(xù)，在a,b 內(nèi)可導(dǎo)，且f a f b , 則在 a

20、,b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 f 0羅爾定理的幾何意義是說：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線。注：定理中三個(gè)條件缺少任何一個(gè), 結(jié)論將不一定成立。6.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數(shù)f ,在a,b上連續(xù)，在 a,b內(nèi)可導(dǎo)，則在 a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得f拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)， 該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩點(diǎn)的連線。拉格朗日公式有下面幾種等價(jià)表示形式網(wǎng)：值得注意的是，拉格朗日公式無論對(duì)于 a b,還是a b都成立，而 則是 介于a與b之間的某一定數(shù)。另外，若取 a x,b x x,則拉格

21、朗日公式可變 成最后要注意的是，拉格朗日定理和柯西定理中的條件只是充分條件，而不是 必要條件906.3 柯西（Cauchy）中值定理假設(shè)函數(shù)f x和g x在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導(dǎo)，且g x 0 ,則至 少存在一點(diǎn)a,b ,使柯西中值定理的幾何意義是：滿足定理?xiàng)l件的由u g x ,v f x所確定的曲線上至少有一點(diǎn)，曲線的切線平行兩端點(diǎn)連線。6.4 泰勒（Taylor ）定理若f x在包 含f x的某開區(qū)間a,b內(nèi)具有直到n 1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x a,b時(shí)，有f x f x0f x0fx02x x0 x x01!2!nfx0n!nx x0Rn x其中Rn x是n階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng):n

22、1Rn xx x。x0,xn 1 !7 微分中值定理之間的聯(lián)系羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例， 拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例。因?yàn)椋诳挛髦兄刀ɡ碇辛頶 x x ，得到拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中增加條件f a f b ，即得到羅爾定理。羅爾（Rolle） 中值定理，拉格朗日 （Lagrange） 中值定理，柯西中值定理，三個(gè)中值定理的幾何意義有一個(gè)共同點(diǎn)： 定理?xiàng)l件的函數(shù)曲線上至少有一點(diǎn)的切線平行曲線在區(qū)間上兩端點(diǎn)的連線?？偟膩碚f，這三個(gè)定理既單獨(dú)存在，相互之間又存在著聯(lián)系。我們從上面的討論中可以總結(jié)得到， 羅爾定理是這一塊內(nèi)容的基石， 而拉格朗日定理則是這一塊內(nèi)容的核

23、心，那么柯西定理是這一塊內(nèi)容的推廣應(yīng)用。8 微分中值定理的應(yīng)用微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)， 微分學(xué)的很多重要應(yīng)用都建立在這個(gè)基礎(chǔ)上。 微分中值定理常用來解決下列問題： 判斷可導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)根的存在以及根的個(gè)數(shù)， 求出與給定函數(shù)相應(yīng)的中值公式， 并證明可導(dǎo)函數(shù)的某些等式與不等式，證明可導(dǎo)函在區(qū)間上（內(nèi)）的某些整體性質(zhì)，如單調(diào)性、有界性、一致連續(xù)性、零點(diǎn)以及其他一些性質(zhì)。對(duì)于這些證明題，除了運(yùn)用微分中值定理這些方法外，還有三種證明技巧：一是直接證明， 這種情況不多見， 一般在驗(yàn)證符合某定理?xiàng)l件后， 即可定理得出結(jié)論； 二是引入輔助函數(shù)， 這種情況比較常見， 一個(gè)般是將待為形 （如拼湊重組、

24、移項(xiàng)等），構(gòu)成一個(gè)或兩個(gè)新的輔助函數(shù)，驗(yàn)證它們符合某個(gè)中值定理，然后利用定理導(dǎo)出待證結(jié)論， 這種方法需要一定的技巧， 而技巧往往又要根據(jù)具體問題確定；三是反證法，假設(shè)待證命題的逆例題成立，然后從推導(dǎo)過程中找出與已知結(jié)論（包括極限、連續(xù)、可微等級(jí)概念與法則、性質(zhì)）的矛盾，從而證明原命題成立 10 。8.1 根的存在性證明【例1】 證明方程4ax3 3bx2 2cx a b c在0,1內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，其中 a,b,c均為常數(shù)。證 設(shè) F x4ax33bx22cx a b c x ， 上面的問題等價(jià)于 F x 的導(dǎo)數(shù)F x 在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。因?yàn)镕 x在F x上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導(dǎo)，且F 0 F

25、 100于是由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)0,1 ,使F x 4a 3 3b 2 2c a b c 0, 即 0,1是方程4ax3 3bx2 2cx a b c的根。 nn【例 2】函數(shù) Pn x x2 1 ,n 0,1,2L2nn!dxn稱為n次勒讓德多項(xiàng)式，證明：Pn x在1,1內(nèi)恰有n個(gè)不同的實(shí)根11。 證 由高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式知，函數(shù)中都含有x2 1因式，故當(dāng)m n時(shí)，都有實(shí)根-1和1?？紤]Q2n x x2 1n,它僅有相異的兩個(gè)實(shí)根-1和1,由羅爾定理知， Q2n1 x Q2nx在1,1內(nèi)至少有一個(gè)根 刈。所以，Qzn 1 x在1,1上有三個(gè) 相異的根-1, x11, 1,再由羅爾定

26、理知，Q2n 2 x Q2nl x在1,x11和x11,1內(nèi) 至少各有一個(gè)根，所以，Q2n 2 x在1,1上有四個(gè)相異的根-1 , x21 , x22 , 1 反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，由數(shù)學(xué)歸納法可證：Q2nm x在1,1上至少有m 2個(gè)相異 的根 1,xm1,xm2,K ,xmm 和 1 （ml 0,1,2,L ,n 1 ）令m n 1,則知Qn1x在1,1上至少有n 1個(gè)相異的根，再應(yīng)用一次羅 爾定理，知Qn x在1,1內(nèi)至少有n個(gè)根（不含1,-1）由于Qn x是n次多項(xiàng)式，至多有n個(gè)根，所以Qn x在1,1內(nèi)恰有n個(gè)相異的 根。因?yàn)镻n x與Qn x只相差一個(gè)系數(shù)，所以可以得出：Pn x在1,

27、1內(nèi)恰有n 個(gè)不同的實(shí)根。【例3】 f x在0,1可導(dǎo)，且對(duì)于任何x 0,1 ,都有f x 1 ,又 0 f x 1,試證在0,1內(nèi)，方程f x x 0有唯一實(shí)根。證（存在性）令，F(xiàn) x f x x,在0,1上利用零點(diǎn)定理易證。（唯一性）反證法，假設(shè)有兩個(gè)實(shí)根 不，x2,使得f x,x1, f x2x2,不妨設(shè)x x2 ,在x1,x20,1上對(duì)f x利用拉格朗日中值定理，有這與f x 1矛盾。故結(jié)論得證。【例4】若f x在a, b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導(dǎo)a 0 ,證明在a,b內(nèi)方程2xfb f ab2 a2 f x 至少存在一根 。分析：由于題目是要求方程2x f b f a b2 a2 f x

28、是否有根存在，所以可以先對(duì)方程進(jìn)行變形，把方程變?yōu)?2x f b f a b2 a2 f x 0。那么方程有根的話，則原方程也有根。變形之后的方程有 f x存在，所以可以利用不定分 把方程轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在我們返回來看題目，由題目中我們可以知道f x在區(qū)間a,b上連續(xù)，在區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)a 0 ,由函數(shù)的連續(xù)性和求導(dǎo)的概念，可以得到函數(shù)在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導(dǎo)a 0 ,那么我們不難想到利用羅爾中值定理就 可以證明該題了。證令顯然，F(xiàn) x在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導(dǎo)，而Fafba2b2faFb根據(jù)Rolle定理，至少存在一點(diǎn)，使2 fb fab2 a2 f x .【例5】 設(shè)f x在a,b上連續(xù)

29、，在a,b可導(dǎo)0 a b ,證明：在a, b內(nèi)存在一點(diǎn)，使bfbafb baf f 成立。分析：對(duì)于等式則可以兩邊同除以b a,即等式左端為，這個(gè)商式可看為函數(shù)xf x在a,b 上的改變量與自變量的改變量之商，則會(huì)考慮利用 Lagrange定理，那么可構(gòu)造 輔助函數(shù)F x xf x o證 設(shè)Fx xfx,則Fx在a, b上連續(xù)，在a,b可導(dǎo)，由Lagrange定理，存在一點(diǎn) a,b ,使bf b af a f f x b abf b af b baf8.2利用微分中值定理求極限在求極限的題目里，有些題目如果運(yùn)用通常的一些方法來求解的話，則會(huì)使我們?cè)诮忸}過程中出現(xiàn)很大的計(jì)算量， 或者比較繁瑣的解

30、題過程12。但是應(yīng)用中 值定理的話，會(huì)為這一類題目提供一種簡單有效的方法。而用中值定理來解題， 最關(guān)鍵在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，然后在運(yùn)用中值定理解題，即可求出極限。11【例1】 求lim n2 an an 1 ,其中a 0。 n11分析：由于題目中有an和a",則可以試著構(gòu)造輔助函數(shù)f x ax,那么就可以得到f x在一 n11,1,1連續(xù)，在,1 nn 1可導(dǎo)，即可以利用Lagrange定理解題了解根據(jù)題意，由Lagrange定理，有其中,【例2】已知an1t 二,試求 lim an。n n nx n則對(duì)于函數(shù)fx在nn k,nn k上滿足Lagrange定理可得:2n nk 12,

31、n n kn n k 1n n kn k 1 2 n k 1n , n n n k0,1L ,n 1時(shí),把得到的上述n個(gè)不等式相加得:an 2 2an所以8.30 2.22 anlimnan1 ；122.2 2利用微分中值定理證明函數(shù)的連續(xù)性【例11若函數(shù)f在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f'有界，則f在I上一致連續(xù)。證明 對(duì)任意Xi,X2 I ,則由拉格朗日中值定理可知：又f在I上有界，所以存在L 0 ,對(duì)任意x I ,有f x L。由此可得 因此，對(duì)任意 0,取 -0,對(duì)任意ox? I ,且Xi X2|，都有這就證明了 f在I上一致連續(xù)的。8.4利用微分中值定理解決含高階導(dǎo)數(shù)的中值問題一般原理是

32、：若有X0 Xi . Xn,使得F(X0)F(Xi) . F(Xn),則相繼 n次用羅爾中值定理得出X0,Xn,使得F 0130【例4】 設(shè)f(1) 0,則存在 0,，使得證 首先變換待證中值公式為dF2 f sin = f sin 2f f sin =0d 2其中F x f x sinx顯然F 0 =F 1 F，故用兩次羅爾中值定理得所要證。8.5 利用微分中值定理求近似值【例11求0.97的近似值解 0.97是f(x) x在x 0.97處的值，令 x0 1,x x0 x 0.97 則 x 0.03,由拉格朗日中值定理中值定理，存在一點(diǎn)(0.97,1),使得可取1 近似計(jì)算，得0.97 1

33、xx 1 12( 0.03) 0.9858.6 利用微分中值定理解決導(dǎo)數(shù)估值問題【例1】 設(shè)f X在0,1上具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足條件其中M,N都是非負(fù)常數(shù)，c是0,1內(nèi)任意一點(diǎn)，證明:f c 2M No2證：將f X在X c處展為一階泰勒公式2f X cf X f c f c X c 2!在式中令x 0,則有在式中令x 1 ,則有上述兩式相減，就有于是又因?yàn)閏 0,1 , 1 c 2 c2 1,故8.7 利用微分中值定理證明不等式對(duì)于數(shù)學(xué)體系來說不等式是一塊很重要的內(nèi)容。故不等式的證明對(duì)數(shù)學(xué)是很 重要的。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了中值定理，知道了它在不等式的證明中起著巨大的作用?！拔覀兛梢愿鶕?jù)不等式兩

34、邊的代數(shù)式選取一個(gè)來構(gòu)造輔助函數(shù)， 再應(yīng)用中值定理 得出一個(gè)等式后，對(duì)這個(gè)等式根據(jù)自變量的取值范圍的不同進(jìn)行討論， 得到不等 式”。下面我們來通過例子來說明定理在證明中的運(yùn)用 14。1例 1 證明：1 x ln x - 1 ,0 x 1x證設(shè)f y ln y顯然函數(shù)f y Iny在x,1上連續(xù)，在x,1內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定 理，即存在一點(diǎn)x,1 ,使得f 1 f x f 1 x即 一, 11.因?yàn)閤 1 ,所以1 。從而有 x【例2】設(shè)x 0,對(duì)01的情況，求證x x 1。分析：證明不等式最常用的方法有做差，做商，對(duì)于該題目如果直接應(yīng)用做 差或者做商的話顯然是不行的。那我們是否能通過變形

35、是，他們可以應(yīng)用做差或 是做商呢？我們來看下不等式，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x 1時(shí)，等式兩邊就相等了，所以接下來排除x 1,分兩步討論。在觀察不等式兩邊的代數(shù)式，不難看出左邊的 代數(shù)式比較復(fù)雜，則是否可以把左邊的代數(shù)式構(gòu)造輔助函數(shù)，是題目可以運(yùn)用中值定理解題呢15 ?不妨設(shè)f x x , F x x。利用Cauchy定理即可證明。證 當(dāng)x 1時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)x 1時(shí)，取x,1或1,x ,在該區(qū)間設(shè)f x x , F x x ,由 Cauchy 定理得:f x f 1 fx,1 或 1,x由此,1時(shí),1時(shí),x,11,x不等式得證【例3】 已知f x0,a且在0,a內(nèi)取最大值，試證:aM分析：若能找到點(diǎn)x0

36、x00 ,則要證的結(jié)論便轉(zhuǎn)化為變量的形式:f x0則根據(jù)Lagrange定理證之即可。然而對(duì)于x。的尋找，應(yīng)該從題目中條件的f x 在開區(qū)間0,a內(nèi)取到最大值入手?！纠?】證明當(dāng)b a 0時(shí)，成立不等式分析：一般步驟是：規(guī)范不等式，構(gòu)造 f(x)建立輔助函數(shù)及定義的區(qū)間a,b驗(yàn)證f在a,b上滿足拉格朗日中值定理中值等式(不等式)因?yàn)閒(x)f (x) In x, x a,b (b a 0)在a,b上可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理有,b, ,1,In In bIna ba , a b.,a111一一一.,且b a 0,所以 b a從而【例5】 設(shè)函數(shù)f x在0,a上連續(xù)，在0,a內(nèi)二階可導(dǎo)，且f x

37、 M ( M為常數(shù))，存在c 0,a ,使得fa f b f c 0。證明：f 0 2 f c f a| Ma證 因?yàn)閒 0 f c fa,所以至少存在一點(diǎn)10,c ,使得f 10;至少存在一點(diǎn)2 c,a ,使得f 20。從而對(duì)f x分別在0,c和c,a使用拉格朗日中值定理得：其中 01 1,02 1,03 1,04 1,所以即f 0 2 f c f a | Ma09微分中值定理的推廣羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中 值定理，這三個(gè)定理都要求函數(shù) f x在a,b上是連續(xù)，在a,b內(nèi)是可導(dǎo)。那 么我們?nèi)绻讯ɡ碇械拈]區(qū)間a,b ,把它推廣到

38、無限區(qū)間 a, 或，再把開區(qū)間a,b推廣到無限區(qū)間a, 或， 的話，則這些定理是否還能 滿足條件，或者我們能得出哪些相應(yīng)的定理呢？通過討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區(qū)間，推廣到無限區(qū) 問上可以得到幾個(gè)相應(yīng)的定理，本文在此只提到其中的三個(gè)，下面給出定理以及 證明16。9.1微分中值定理的推廣定理定理1 若f x在a, 上連續(xù)，在a,內(nèi)可導(dǎo)，且lim f x f a ,則x至少存在一點(diǎn) a, ，使f0成立。證令一1一 t,則x 1 a 1, x a 1t即可得到關(guān)于t參數(shù)函數(shù)當(dāng)x a,時(shí)，則t 0,1即 1 a , lim t ,再令 f x f t g t 所以因?yàn)樗运詆 t在

39、0,1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導(dǎo)，且g 0 g 1 ,由Rolle定理可得到至少存在一點(diǎn)0,10成立0,而1-20.所以，至少存在一點(diǎn)a,，使f0成立。定理2若f x在， 上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且0成立。定理3 若f x在a,上連續(xù)，在a,內(nèi)可導(dǎo)，并且lim f x M ,則x至少存在一點(diǎn) 定理2的證明可以參照定理1一M Mt. MMM fa至少存在一點(diǎn)a, ，使f 2-成立。1 a證 設(shè)t 1一,則x 1 a 1,即可得到關(guān)于t參數(shù)函數(shù) t 1 a 1x a 1 tt當(dāng)x a,時(shí)，則t 0,1即 1 a , lim t ,再令 f x f t g t所以因?yàn)樗詆 t在0,1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導(dǎo)

40、，由Lagrange定理得至少存在一點(diǎn) 0,1 ,使g9吐成立1 0即 g fa M*一1令，有g(shù) f ? ，而至少存在一點(diǎn) a, ，使 fa a2 成立.1 a定理4設(shè)f x、g xh x在a,b上連續(xù)，在 a,b內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn) a,b ,使證：設(shè)f ag ah aFxfbgbhb,f xg xh x由行列式性質(zhì)知F a F b 0,利用羅爾定理可得證。注：(1)若令g x x,h x 1并代入上式即得拉格朗日中值定理 (2)若令而h x 1,g x 0,展開即得柯西中值定理9.2微分中值定理的推廣定理的應(yīng)用對(duì)于中值定理推廣到無限區(qū)間上，在于求解一些題目，如果應(yīng)用了中值定理 推廣會(huì)比較方便的得到解題，下面我們來看一個(gè)例子：2【例11如果函數(shù)f x xex ,求證： 0,，使得f 0。分析：對(duì)于該題目我們通常會(huì)采用這樣一種證法，令f x 0,有1 2x20 x 0,即可得證。2這種證明的方法，可以說是利用極限方法來證明的，我們現(xiàn)在考慮是否還可以運(yùn)用其它的方法來證明。若要運(yùn)用中值定理來證明是否可以呢？下面給出該方 法。證 由題得f x在0, 連續(xù)，在0,可導(dǎo)，且可得那么，由推廣定理的定理1,得到