必修4--三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、精品文檔【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】應(yīng)用一、任意角的概念與弧度制1、將沿x軸正向的射線，圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形稱作角逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為 正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為 負(fù)角，不旋轉(zhuǎn)為零角2、同終邊的角可表示為kj360 k Zx軸上角：=k|j80(kwZ )y 軸上角：a|a =90 + 心80 (k w Z )3、第一象限角：0 k360 :二二：二 90 k_360 ) k Z第二象限角：二 90： k360 :二：180 k360 :' k Z第三象限角：180： k360 二:二270 ke60)k Z第四象限角：三 270； k360：360; k 360 ? k Z4、區(qū)分第一象限角、銳角以及小于90的

2、角第一象限角：1： 0 k360 二：二 90 k_360)k Z銳角：仁0<a<90小于90的角：何“ <90. 。1歡迎下載精品文檔7歡迎下載5、若a為第二象限角，那么 -為第幾象限角?2nr一 2k 二 M 二 < 二 2k 二2nJTk =0,一 _ : _ ,42所以-在第一、三象限26、弧度制：弧長(zhǎng)等于半徑時(shí)，所對(duì)的圓心角為7、角度與弧度的轉(zhuǎn)化：10.01745180n a ji一 k- 一 一 一 k二4223二<21弧度的圓心角，記作1rad .1801 1 5 57.30 =57 18JT8、角度與弧度對(duì)應(yīng)表：角度0°30 口45 口6

3、090120 口135 口150 口180°360 口弧度0兀6冗4冗3兀22n3竺45n62兀9、弧長(zhǎng)與面積計(jì)算公式110弧長(zhǎng)：lusMR；面積：S =-1 m R= a M R2,注意：這里的口均為弧度制22P(x, y)rot二、任意角的三角函數(shù)1、正弦：since =；余弦 cosa =；正切 tan a = rrx其中（x, y ）為角上終邊上任意點(diǎn)坐標(biāo)，r = Jx2 + y2 .2、三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)表:度A0M3045；60；90120135,150180270s360弧度0冗6ji4ji3冗22兀33n45n6冗3n22冗sin a012五2出21732212010co

4、sa1為2五2120_12J22732-101tan a0也 31出無-石-130無0_o2歡迎下載第一象限:.x 0, y 0 sin 0,cos、0,tan、工、0,第二象限:.x ： 0, y . 0 sin、之 0,cos 二；0,tan : ：0,第三象限:.x ： 0, y ： 0 sin : ; 0,cos : ； 0,tan、七二 0,第四象限:.x 0, y ： 0 sin 0,cos、:、0,tan .不 0,4、三角函數(shù)線設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 過P作x軸的垂線，垂足為 延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T.O，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與 P (x, y),A(1,0)作單位圓

5、的切線，它與角a的終邊或其反向OM =x,MP = y ,于是有x_ = x = OM1由四個(gè)圖看出：當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段y ysin a =-=J- = y= MP , r 1曲="皿=紅二AT. x OM OA我們就分別稱有向線段 MP,OM , AT為正弦線、余弦線、正切線5、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式.22sin ,二 cos : =1tan =二sin - tan 二 |jcot: -1 cos.：.2（sin .工" cos ： ） =1 2sin 二 cos ：2（sin 二 一cos_i） = 1-2sin 二：cos_： （sin a + co

6、sot, since cosot , sin a cosot ,三式之間可以互相表示 ） 6、誘導(dǎo)公式n 二口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限（所謂奇偶指的是 萬十"中整數(shù)n的奇偶性，把a(bǔ)看作銳角）n' nn二（-1）2 sin ：, n為偶數(shù)n二（-1）2cos：，n為偶數(shù)sin（-+a） = n；cos（-2-+a）=4n書（-1） 2 cos： , n為奇數(shù)（-1）2 sin 二,n為奇數(shù).公式（一）：0（與a+2kn, （k w Z ）sin（ot+2kn） =sin 口 ； cos（ot+2kn） = cosot ； tan（ot+2kn ） = tanot.公式（二）：

7、口與asin戶一sina ； cos（7 ） = cos£ ； tan（ 產(chǎn)tana .公式（三）：a與n +o（sin（n +ct 尸since ； cos（n +a ）=-cos" ； tan（n +u 戶 tana .公式（四）：3與n一”sin（n -a ）=sin« ； cos（n -口）=-cos» ； tan儼 一口 ）= -tan« .公式（五）：a與一 +a2sin I +a l=cos。； cos 一+o（ l=sina；22冗 .公式（六）：a與一-a2sin a =cosa； cos - -a =sina ；22一.3

8、二.公式（七）：a與+a2_ 。4歡迎下載精品文檔3 二3二.sin I 十口 =cosot ; cos 十久=sinc（;22一3 -.公式（八）：a與-a23 二3二.,sin J 一口cosot ; cos. -a-since ;三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1、將函數(shù) y =sin x的圖象上所有的點(diǎn)，向左（右）平移 |中|個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y =sin（x十中）的圖象；再將函數(shù) y=sin（x十中）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）至U一 ，1 .、原來的一倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y = sin（cox +中）的圖象；再將函數(shù)y=sin（ccx +邛） 的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短

9、）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù) y = Asin（mx +中）的圖象。2、函數(shù) y =Asin（cox+5；（Aa0,切 >0 ）的性質(zhì)：振幅：A;周期：T=空；頻率：£=1=三；相位：cox+中；初相：中。T2二3、周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù) f （x）,如果存在一個(gè)非零常數(shù) T ,使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f （x+T ）= f （x ）,那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，T叫做該函數(shù)的周期.k二一一4、 y = Asin（®x + 中）對(duì)稱軸：令8x+邛 = kn+ 得乂=22對(duì)稱中心：.x+邛=k、，得 x = k7r，（k2Lz5,0）（kwz）

10、；k 二一彳：y = Acos（cox +中）對(duì)稱軸：令0x +呼=kn ,得x =;03131k二 一一k二一一對(duì)稱中心：cox+5=kn 十二，得 x =2一，（2一，0）（kWZ）；2周期公式：函數(shù)y = Asin（x +中）及y = Acos伴x +中）的周期T =蕓（A、中為常數(shù)，且AW0）.3T函數(shù)y = Atan（cox +?。┑闹芷赥 二=（A、邛為常數(shù)，且Aw0）.5、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)表格士 7E義 域RRxx#kn 十三，kw ZI2*值 域1-1,11-1,1R最 值當(dāng) X =2kn +k Z Z )時(shí)，ymax =1 ；當(dāng) x =2kn (k w Z )時(shí)，ymin

11、 1 .當(dāng) x = 2kn(kwZ )時(shí)，ymax =1 ;當(dāng) x = 2kn +n(kWZ)時(shí)，ymin=1.既無最大值也無最小值周 期 性2n2n冗奇 偶 性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單 調(diào) 性，互冗在 I- -+2kn, +2kn1 22_(k = Z )上是增函數(shù)；冗.3n.在一+2k% +2kn1221(k乏Z )上是減函數(shù).1在 Ln +2kn,2kn 】(ZZ )上是增函數(shù)；在 l2kn,2kn +冗(k = Z )上是減函數(shù).(H元、在.M ，M 十一122；(kw Z )上是增函數(shù).對(duì) 稱 性對(duì)稱中心(kn,0 X k w Z )冗對(duì)稱軸 x=kn +-(k WZ 2)對(duì)稱中心( 元

12、)+-,0 J(ke Z )對(duì)稱中山,0 (k=Z)12.)無對(duì)稱軸對(duì)稱軸x = kn (k w Z )6.五點(diǎn)法作y =Asin(eox +中)的簡(jiǎn)圖，設(shè)t =6x +中，取0、土、n、31、2i來求相 22應(yīng)x的值以及對(duì)應(yīng)的y值再描點(diǎn)作圖。7. y=Asin(cox +叼 的的圖像第一種變換：圖象向左(G > 0 )或>'=sinx向右平移個(gè)單向y = sm(K+。)1橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短>1)到原來的/倍縱坐標(biāo)不變y 二 sin3 + 0)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1 )或縮短(O<A<1 )到原來的A倍橫坐標(biāo)不變第變換：y = H$in(0r ”)1y =

13、 sin 工橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(O<G<1 )或縮短(3>1)到原來的Z倍v _卜 JJLLJl iLCll縱坐標(biāo)不變 圖象向左(科>0 )或向右(°<0)平移反個(gè)單位G)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(AA1 )或縮短(0<A<l )到原來的A倍如,二sin(奴十夕)橫坐標(biāo)不變* y - A sin(tar 4 /)8.函數(shù)的變換：(1)函數(shù)的平移變換y = f(x)T y = f (x±a)(a>0)將y = f (x)圖像沿x軸向左(右)平移 a個(gè)單位(左加右減)y = f (x) t y = f(x) 士b(b >0)將y = f (x)圖

14、像沿y軸向上(下)平移 b個(gè)單位(上加下減)(2)函數(shù)的伸縮變換：y = f(x)T y = f (wx)(w >0)將y = f (x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的1八一倍(W>1縮短，0<WMl伸長(zhǎng))Wy = f (x)T y = Af (x)( A A0)將y = f(x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的A倍(A>1伸長(zhǎng)，0cA <1縮短)(3)函數(shù)的對(duì)稱變換： y=f(x)T y = f(x)將y = f (x)圖像繞y軸翻折180° (整體翻折)O(對(duì)三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于 x軸對(duì)稱) y=f(x)T y = _f (x)將y = f (

15、x)圖像繞x軸翻折180° (整體翻折)(對(duì)三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱)y = f (x)T y = f (x)將y = f (x)圖像在y軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞 y軸翻 折到左側(cè)(偶函數(shù)局部翻折)y = f(x)T y =|f(x)保留y = f (x)在x軸上方圖像，x軸下方圖像繞x軸翻折上 去(局部翻動(dòng))四、三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:(1)sin(二： ,-') = sin ; cos ； sin 二 cos :(2)sin(：£I'-') =sin = cos： sin : cos :(3)cos(£

16、; . ) =cos cos- -sin.：ssin :(4)cos( ) =cos： cos: sin_：sin ：(5)tan 二：1 tan : tan(-：s ")二1 - tan 二 tan -tan - s 1 tan : =tan" T； 11 - tan： tan :(6)tan : - tan :1 tan 二 tan :tan； -tan : =tanl J1 tan： tan :asina +bcosa = Qa2 +b2sin(a十中)(其中，輔助角中所在象限由點(diǎn)(a,b)所在的象限決定，sin =0 ,cos ,:= a tan邛=b ,該法也叫合

17、一變形).a2 b2 ,a2 b2 , a1 - tan 1二1=tan(一)1 tan4s、1 tan ,二、(8)tan(- )1 - tan 42 .二倍角公式(1) sin 2a =2sinacosa2. 2(2) cos2a=cos a -sin a/.2c2)二1 - 2sin a = 2 cos a - 119歡迎下載,22 tan atan 2a 二2(3)1 -tan a3.降哥公式：21 cos2acos a =(1)24.升哥公式2 ：(1) 1 + cosct = 2 cos 一22(3) 1±sina =(sin±cos) since =2sin

18、cos22(2).21 - cos2asin a =22 ：(2) 1 - cosct = 2sin 一2、，. 22(4) 1 = sin +cos :5.半角公式(符號(hào)的選擇由所在的象限確定)2.a 1 -cosaa 1 cosasin 一 = ±J,cos = ±J(1)2 T 2222a 1 - cosa sin a 1 - cosa tan 2'1+cosa 1+cosasin a6.萬能公式：a2tan (1)sin a =2/21 tan 2ct2tan (3)tana =2,2 ：1 -tan 22 ：1 - tan cos-=-,2、1 tan 2

19、7.三角變換：三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算、化簡(jiǎn)的方法技能。(1) 角的變換：角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系對(duì)角變換，還可作添加、 刪除角的恒等變形(2) 函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。采用公式：asin0 +bcos日=Ja2 +b2sin(e + 中)其中 coscp=_J_ s；n*一 bva2 +b2Va2 +b2 , 比. 一，-.1，3= sin x 3cosx =1( 3) (sin x 'cosx)如:12 ( . 3)2,12 ( 3)21 . 3二二二= 2(sin

20、 x cosx) = 2(sin xcos cosxsin 一)= 2sin(x )22333(3)注思湊角 運(yùn)用：汽=(0(+口)_0，C(=p_(0 CC > 1 _1 -y +p R. jj-3二.-3- 二 12二例如：已知 0(、Pw(一，n) , sin(a + P) =, sin(P)=，則 ce( Ct +) = ?454134(4)常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中有時(shí)候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“1”可轉(zhuǎn)化為“ sin2a +cos2a”(5)哥的變換：對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式一般采用降哥處理，有時(shí)需要升哥例如:7'1 +cosa常用升哥化為有理式。(6)公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用、逆用及變形。(7)結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對(duì)條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變乘為除，或求差等等。在形式上有時(shí)需要和差與積的互化、分解因式、配方等。(8)消元法：如果所要證