用一個(gè)向量等式巧解題

1、用一個(gè)向量等式巧解題向量等式如圖1所示，在ABC中，若M是BC的中點(diǎn)，則AB ACAM 21BC2.4圖 1證明如圖 1 所示，可得4AB AC (AB AC)2( ABAC) 2(2AM )22CBAB AC21 BC2AM4ABC中， M 是BC的中點(diǎn)，題 1(2012年高考浙江卷理科第 15題 ) 在AM 3, BC 10，則 AB AC.解16 .由本文的向量等式立得答案 .題 2(2012 年北京市東城區(qū)高三一模理科數(shù)學(xué)試題第7 題 )在直角梯形ABCD 中，已知 BC / AD,ABAD,AB4, BC2, AD4 .若 P 為 CD 的中點(diǎn)，則PA PB 的值為( )A.5B.4

2、C.4D.5解D.如圖 2 所示 .由梯形中位線定理得，PQ 3 .再由本文的向量等式可立得答案：PA PBPQ21AB21 425 .3244圖 2注由以上解法知，把題1 中的“直角梯形”改為“梯形”后，解法及答案均不變.題 3在ABC中，M 是BC的中點(diǎn)，若A120,AB AC1，則 AM 的最小值2為.解1設(shè)AB c, ACb.由本文的向量等式，得.21ABAC21 BC2bc cos A1 bc ，所以 bc1.AM24221(b2c21111 ，進(jìn)而可得AM 的最小再由余弦定理，得AM1)(2bc1)42424值為 1.2題 4在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，若圓 C : x2y 24分

3、別交 x 軸的正半軸與y 軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A, B ， P 是圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，則PA PB的的取值范圍是.解 4 42,44 2.如圖 3所示，設(shè)線段AB 的中點(diǎn)是Q .圖 321 AB22由本文的向量等式，可得PA PB PQPQ2 .4AB2 )， P 是圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，所以可得因?yàn)?Q 是圓 C 內(nèi)的定點(diǎn) (可得 OQ222OPOQPQOPOQ22， 即PQ 的取值范 圍是 22,22 ，由此可得答案 .題 5若 P 是棱長(zhǎng)為2 的正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，AB 是該正方體內(nèi)切球的任意一條直徑，則 PAPB 的取值范圍是.212解0,2. 設(shè) AB 的中點(diǎn)是 O ，由本文的向量等式，得 PA

4、 PB POAB .42又 PO1,3, AB2 ，所以 PA PB 的取值范圍是 0,2.題 6(2013年高考天津卷文科、理科卷第 12 題)在平行四邊形 ABCD 中，AD 1,B A D60 , E 為 CD 的中點(diǎn) .若 AC BE 1，則 AB 的長(zhǎng)為.解1.如圖 4 所示，作 BFAC ，取線段 EF 的中點(diǎn) G ，得 EF3 AB,CG1AB.224圖 4在BCG 中，由余弦定理，得BG 211 AB21 AB.164由本文的向量等式，可得2221 ACBEBF BE1 AB21 AB13 ABBG1EF 14164421解得AB.2題 7(2013 年高考浙江卷理科第7 題)

5、在ABC 中， P0 是邊 AB 上一定點(diǎn)，滿足P B1AB ，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn) P ，恒有 PB PC PB PC ，則()0400A.ABC 90B. BAC90C. ABACD. ACBC解 D.如圖 5，取 BC 的中點(diǎn) D ，由本文的向量等式，得PB PCPD2BD2,P B PCP D2BD2.再由題設(shè) PB PCP B PC ，得00000PDP0 D ，所以 P0DAB ，得 ACBC .圖 5題 8(2016 年高考江蘇卷第13 題 )如圖 6 所示，在 ABC 中， D 是 BC 的中點(diǎn)， E, F是 AD 上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BA CA4 ， BF CF1 ，則 BE CE 的值是AEFBDC圖 6解78.由題設(shè)及本文的向量等式，可得BA CAAB ACAD21 BC2