法向量在立體幾何中的應(yīng)用.

1、法向量在立體幾何中的應(yīng)用查寶才（揚(yáng)州市新華中學(xué)，江蘇225002）向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在解析幾何與立體幾何里的應(yīng)用更為直接，用向量的方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題。將向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)后，既豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓寬了中學(xué)生的視野；也為我們解決數(shù)學(xué)問題帶來了一套全新的思想方法向量法。下面就向量中的一種特殊向量法向量，結(jié)合近幾年的高考題，談?wù)勂湓诹Ⅲw幾何有關(guān)問題中的應(yīng)用。1 法向量的定義1.1定義 1如果一個(gè)非零向量n 與平面垂直，則稱向量n 為平面的法向量。1.2定義 2任意一個(gè)三元一次方程：AxByCzD0， (A2B 2C 20) 都表示空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)平面

2、，其中n ( A, B , C )為其一個(gè)法向量。 1事實(shí)上，設(shè)點(diǎn)P0 ( x0 , y0 , z0 ) 是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，n(A,B,C)是平面的法向量，設(shè)點(diǎn) P( x, y, z) 是平面上任一點(diǎn)，則總有 P0 Pn 。 P0 P n 0 ， 故 ( A, B , C ) ( x x0 , yy0 , z z0 ) 0 ，即 A( x x 0 ) B( y y0 ) C (z z0 )0 ， AxByCz Ax 0By 0Cz00 ， 設(shè) DAx 0By 0Cz0 ，則 式可化為 AxByCzD0 (A2B 2C 20) ，即為點(diǎn) P 的軌跡方程。從而，任意一個(gè)三元一次方程：AxBy C

3、z D0 (A2B 2C 20) ，都表示一個(gè)平面的方程，其法向量為n( A, B , C ) 。2 法向量在立體幾何中的應(yīng)用2.1利用法向量可處理線面角問題設(shè)為直線 l 與平面所成的角，為直線 l 的方向向量v 與平面的法向量 n 之1間的夾角，則有（圖 1）或（圖 2）22nvv圖 1圖 2lln特別地0 時(shí)， l；時(shí)，0 ， l或 l /22例 1（ 2003 年 , 新課程、江蘇 、遼寧卷高考題）如圖 3，在直三棱柱 ABCA1 B1 C 1 中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱 AA12， D， E 分別是 CC 1 與 A1 B 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在平面 ABD上的射影是ABD 的重心 G

4、。求 A1 B 與平面 ABD 所成角的大小。（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）A1解以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， CA 所在直線為 x 軸， CB 所在直線為y軸， CC 1 所在直線為 z 軸，建立直角坐標(biāo)系，A設(shè) CACB a ，x則A（ a,0,0）， B（0, a,0）， A（1 a,0,2）， D （ 0,0,1）ACB90 ，zC1DB1ECGB圖 3yE（ a a,1）a a 1GE （a a 2）， BD（0,a,1），2,， G（,），6,233363 點(diǎn) E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G， GE平面 ABD ，GEBD0 ，解得a2。GE（ 112）BA1（2,，, ,，3

5、332,2） GE平面 ABD ， GE 為平面 ABD 的一個(gè)法向量。GEBA 142由 cosGE , BA13| BA163|GE |3232得GE , BA1arccos2，3A1 B 與平面 ABD 所成的角為arccos2 ，即 arccos7。233評(píng)析因規(guī)定直線與平面所成角 0， ，兩向量所成角 0， ，所以用此2法向量求出的線面角應(yīng)滿足| 。22.2利用法向量可處理二面角問題設(shè) n1 ,n 2分別為平面,的法向量，二面角l的大小為，向量n1 , n2 的夾角為，則有（圖 4）或（圖 5）nnn圖 4圖 5lln例 2（2003年，北京卷高考題）如圖 6，正三棱柱 ABCA1

6、B1 C1 的底面邊長(zhǎng)為33 ，3，側(cè)棱 AA12D 是 CB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BDBC 。z求二面角 B1ADB 的大小。（略去了該題的，問）AA1取 BC 的中點(diǎn) O，連 AO 。解由題意平面 ABC平面 BCC 1B1 ， AOBC ，CC1 AOOy平面 BCC1B1，BB1以 O 為原點(diǎn)，建立如圖6 所示空間直角坐標(biāo)系，xD圖 6則A（0,0,33）3,0,0）， D（93,33,0），2， B（22,0,0）， B（1 2239333 ,0）， BB 1（0,3AD（,0,3）， B1 D （3,23,0），222由題意BB 1平面 ABD ， BB1（0, 33 ,0）為平面 A

7、BD 的法向量。2設(shè)平面ABD 的法向量為(,) ，n2xy z1n 2AD， n2 AD0 ， 9 x33z0則22，n2B1 Dn2 B1 D 03 x33 y02x33 y 。33) ，即2 不妨設(shè)n2(,1,z3x22BB 1n2331cosBB 1 , n22由，|BB1| n2|32322得BB 1 , n260 。 故所求二面角 B1ADB 的大小為 60 。評(píng)析（ 1）用法向量的方法處理二面角的問題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問題時(shí)的三步曲：“找證求”直接簡(jiǎn)化成了一步曲： “計(jì)算”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能

8、力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神。（ 2）此法在處理二面角問題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取n2 (3, 1,3 ) 時(shí)，會(huì)算得 cos BB 1 , n21，從而所求二面角為120 ，但222依題意只為60 。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。例 3（ 2002 年，上海春季高考題）zO1B1如圖 7，三棱柱 OABO1 A1B1 ，平面 OBB 1O1平面 OAB ，A1O1OB 60 ，AOB90 ，且 OB OO1 2,OA3 ，OBy求二面角 O1ABO 的大小。（

9、略去了該題的問）A圖 7x4解 以 O 點(diǎn)為原點(diǎn)， 分別以 OA ，OB所在直線為 x 軸， y 軸，過 O 點(diǎn)且與平面 AOB垂直的直線為z 軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖7 所示），則 O(0,0,0)， O1 (0,1,3)， A(3 ,0,0) ， B (0,2,0) ， Oz 平面 AOB ， 不妨設(shè)平面AOB 的法向量為n1(0,0,1) ，設(shè) 平面 ABO1在此坐標(biāo)系內(nèi)的方程為：xByCzD0 ，3D0,由點(diǎn) A，B， O1均在此平面內(nèi)，得2BD0,B3CD0,解得 B31， D3 ， C22 平面 ABO 1 的方程為： x3 y1 z30 ，22從而平面 ABO 1 的法向量為n2

10、(1,31,) ，22 cosn1 ,n 2n1n22n1 , n2arccos2| n2 |4，| n1 |4即 二面角 O1AB2O 的大小為 arccos，4評(píng)析 在求平面的法向量時(shí)，也可用此法先求得在空間直角坐標(biāo)系中該平面的方程，從而直接得到其法向量。2.3可利用法向量處理點(diǎn)面距離問題設(shè)n 為平面的法向量， A ， B 分別為平面內(nèi)，外的點(diǎn)，則點(diǎn)B 到平面的距離| ABn |d（如圖 8）。| n |nB略證：A圖 8d | AB | | cosAB ,n |AB| |ABn| | AB n |AB | n | n |5例 4 （ 2003 年，全國(guó)高考題）如圖 9，已知正四棱柱ABC

11、DA1B1C1 D1 , AB1, AA12，點(diǎn) E 為CC1中點(diǎn)，點(diǎn) F 為 BD 1 中點(diǎn)。求點(diǎn) D1 到平面 BDE 的距離。（略去了該題的問）z解以 D 為原點(diǎn)，建立如圖9 所示的直角坐標(biāo)系，D1C1則 D( 0,0,0) ， B(1,1,0) ， E ( 0,1,1) ， D1(0,0,2) ，A1B1E BD(1,1,0)， BE(1,0,1)， BD1(1,1,2)，DFC y設(shè) 平面 BDE 的法向量為n( x, y, z) ，x AB則 nBD ， nBE ，圖 9n BD 0 ， xy 0 ， 即xy，nBE0xz0x z 不妨設(shè)n (1, 1,1) ，則點(diǎn)D 1 到平面

12、BDE 的距離為d|BD1n |223 ，即為所求。| n |33例 5（2003年，北京春季高考題）如圖 10，正四棱柱 ABCDA1 B1 C1 D1 中，底面邊長(zhǎng)為22 ，側(cè)棱長(zhǎng)為4，E， F 分別為棱 AB ， CD 的中點(diǎn)， EFBDG 。求三棱錐 B1EFD 1 的體積V 。（略去了該題的問）z解以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖10 所示的直角坐標(biāo)系，D1C1則 B1(22 ,22,4) ， D1 (0,0,4)，A1B1E(2 2,2,0) ，F(xiàn) (2 ,22,0) ，DyGC D1E(2 2, 2, 4)， D1F( 2,2 2, 4)，AEFxBD1 B1(22,22,0)，圖

13、10 cosD1E , D1FD 1 ED 1F2412|D1E | |D1F |，2626136sinD1E ,D1F5，13所以 SDEF1|DE | DF | sinDE,DF1262655 ，12213設(shè) 平面 D1EF的方程為： xByCz D0 ，將點(diǎn) D1, E,F 代入得4CD0B12 22BD0，C32 ，4222B D0D32 平面 D1EF的方程為： xy32z320 ，其法向量為4n(1,1,32) ， 點(diǎn) B1 到平面| D1B1n | 16，4D 1 EF 的距離 d| n |5 VB1 EFD11d151616SEFD 1353即為所求。3評(píng)析（1）在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)，有時(shí)也可直接利用點(diǎn)到平面的距離公式| Ax 0 By0Cz0D |dB 2C 2計(jì)算得到。A 2（