數(shù)學(xué)期望與方差ppt課件

1、數(shù)學(xué)期望與方差 例設(shè)射擊手甲與乙在同樣條件下進(jìn)展射擊，其命中的環(huán)數(shù)是一隨機(jī)變量，假設(shè)由歷史紀(jì)錄可得到它們分別有下面的分布列。 其中0環(huán)表示脫靶，試問，應(yīng)如何來評(píng)定甲、乙的技術(shù)優(yōu)劣？ 解由射手甲的分布列很清楚地知道，他命中10環(huán)的概率是0.5，換句話說，他發(fā)出100粒子彈，約有50粒子彈命中10環(huán)，同理，約有20粒命中9環(huán)，約有10粒命中8環(huán)和7環(huán)，約有5粒命中6環(huán)和5環(huán)，沒有脫靶的，這樣“平均起來甲命中環(huán)數(shù)約為 我們把它記作E(甲)，對(duì)上式稍做變化得 =10X0.1+9X0.1+8X0.1+7X0.1+6X0.2+5X0.2+0X0.2 =8.85(環(huán)) (1)式)(85. 8)0055561

2、071082095010(1001環(huán)1000010055100561001071001081002091005010)(甲E1式可以作為射手甲擊中環(huán)數(shù)的實(shí)際平均值，由于它是由甲的實(shí)際取值與實(shí)際取值的概率相乘后求和得到的。 同樣，對(duì)于射手乙實(shí)際平均命中環(huán)數(shù)為 E(乙)=10X0.1+9X0.1+8X0.1+7X0.1+6X0.2+5X0.2+0X0.2 =5.6(環(huán)) (2)式由1及2式看到，從實(shí)際平均中環(huán)數(shù)看，射手甲的射擊程度高于射手乙的射擊程度，同時(shí)，我們也看到，這種反響隨機(jī)變量取值平均意義特性的數(shù)值，恰好是這個(gè)隨機(jī)變量取的一切能夠值與相應(yīng)概率乘積的總和，即假設(shè)隨機(jī)變量取值為x1,x2,取這

3、些值相應(yīng)的概率為p1,p2,那么反映“平均意義的數(shù)字特征為 E=x1p1+x2p2+=xipi,并把它叫做的平均值。數(shù)學(xué)期望 對(duì)于射手甲、乙的技術(shù)程度，除了上述從平均的角度來思索外，還可以從射擊命中環(huán)數(shù)的集中或離散程度來思索，由上所述，射手甲命中環(huán)數(shù)的平均值是8.85，因此，他命中10環(huán)與平均值8.85的偏離值為10-8.85=1.15，偏離的平均值為10-8.852.但射手甲命中10環(huán)的概率為0.5，因此，在射擊100發(fā)子彈中約有50次出現(xiàn)偏離的平方為10-8.852，同樣理由，可得下表 表按平均值 E(甲)的想法，射手甲射擊的“平均的平方偏向值可為并記它D甲，改寫后為D甲=(10-8.85

4、)2X0.5+(9-8.85)2X0.2+(5-8.85)2X0.05+(0-8.85)2X0=2.2275 (3)式同理，可得 D乙=(10-5.6)2X0.1+(9-5.6)2X0.1+(5-5.6)2X0.2+(0-5.6)2X0.2=10.24 (4)式比較1及2兩式得知，從偏離平方值的“平均值看，射手甲的技術(shù)優(yōu)于射手乙。把3與4籠統(tǒng)成普通方式，得到：假設(shè)離散型隨機(jī)變量取值為x1,x2,相應(yīng)的概率為p1,p2,那么反映“平均平方偏離值特性的數(shù)值為x1-E()2p1+x2-E()2p2+= (x1-E()2p 記它為D()。0)85. 80(5)85. 85(.20)85. 89(50)85. 810(10012222i 這里，我們求偏離值平方的“平均值，而不去求偏離值的“平均值，原因在于：偏離值有正，有負(fù)，在相加的的過程中，不應(yīng)讓它們相互抵消，而應(yīng)讓每一次偏離值(不論是正是負(fù))都被思索進(jìn)去，故可思索偏離值的平方值，乘以相應(yīng)的概率并相加求和。假設(shè)離散型隨機(jī)變量一切能夠取的值是X1，x2，,xn，, 且取這些值的概率分別是 P1，p2，n,那么，把叫做隨機(jī)變量的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中是隨機(jī)變量的期望，的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的規(guī)范差，記作,隨機(jī)變量的方差與