函數(shù)的單調(diào)性與最值專題練習(xí)

1、函數(shù)的單調(diào)性與最值專題練習(xí)一、選擇題1 .若函數(shù)f(x)=|2x+ a|的單調(diào)遞增區(qū)間是3, +8),則a的值為()A. 2B.2C.-6D.6aa斛析 由圖象易知函數(shù)f(x)= |2x+a|的單調(diào)增區(qū)可是2，+00),令5=3,. .a= - 6.答案 C2.(2019北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(一1, 1)上為減函數(shù)的是()A. y=7-B.y=cos x1 1-xC.y= ln(x+1)D.y=2 x1 ,解析 ' y= 與y=如儀+1)在(一1, 1)上為增函數(shù)，且y= cos x在(-1, 1) 1-x上不具備單調(diào)性.A, B, C不滿足題意.只有y= 2-x=；X在(1,

2、1)上是減函數(shù).答案 D3.定義新運(yùn)算“”：當(dāng)a>b時(shí)，ab = a2;當(dāng)a<b時(shí)，ab=b2,則函數(shù)f(x)=(1x)x(2x),在區(qū)間 2, 2上的最大值等于()A. -1B.1C.6D.12解析 由已知得當(dāng)一2<x<1時(shí)，f(x) = x 2,當(dāng) 1<x02 時(shí)，f(x) = x32.f(x) = x 2, f(x) = x3 2在定義域內(nèi)都為增函數(shù).f(x)的最大值為 f(2) = 232=6.答案 C4.已知函數(shù)v= f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，且在(1, +°°)上單調(diào)遞增，設(shè)a=1 f 2 , b=f(2), c=f(3),則

3、a, b, c 的大小關(guān)系為()A. c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c15斛析，.,函數(shù)圖象關(guān)于x=i對(duì)稱，.a=f 2 =f 2 ,又y=f(x)在(1, + °°)5上單調(diào)遞增，f(2)<f 2 <f(3),即 b<a<c.答案 B5 .f(x)是定義在(0, +8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足 f(xy) = f(x)+f(y), f(3)= 1,當(dāng)f(x) + f(x8)02時(shí)，x的取值范圍是()A.(8, +oo)B.(8, 9C.8, 9D.(0, 8)解析 2=1 + 1=f(

4、3) + f(3)=f,由 f(x)+f(x 8)<2,可得 fx(x 8)&f(9),x>0,因?yàn)閒(x)是定義在(0, +8)上的增函數(shù)，所以有x-8>0,解得8<x0 9.x (x 8) < 9,答案 B.、填空題1, x>0,6 .(2019 關(guān)B州,K擬)設(shè)函數(shù) f(x)= 0, x= 0,g(x) = x2f(x1),則函數(shù) g(x)的遞1, x<0,減區(qū)間是解析由題意知g(x) =x2 (x<1),函數(shù)的圖象如圖所示的實(shí)線部分，根據(jù)圖象，g(x)的減區(qū)間是0, 1).答案0, 1)7.(2019石家莊調(diào)研)函數(shù)f(x) =-

5、log2(x+ 2)在區(qū)間1, 1上的最大值為解析 由于y= 3在R上遞減，y= iog2(x+ 2)在 1, 1上遞增，所以f(x)在1, 1上單調(diào)遞減，故f(x)在1, 1上的最大值為f(1) = 3.答案 3-x2 + 4x, x< 4,8 .(2020濰坊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=若函數(shù)y= f(x)在區(qū)間(a, a+log2x, x>4.1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析 作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知 f(x)在(a, a+1)上單調(diào)遞增，需滿足a>4或a+102,即a01或a>4.答案 (一8, 1U4, +oo)三、解答題9 .已知函數(shù)

6、f(x) = 11(a>0, x>0). a x'，'(1)求證：f(x)在(0, +00)上是增函數(shù)；,11,，(2)若f(x)在2，2上的值域是2，2 ,求a的值.(1)證明設(shè) x2>x1>0,則 x2 x1>0, x1x2>0,111111x2 x1代人尸 ax2 a-x；=7x2=R>0，f(x2)>f(x1),f(x)在(0, + 00 )上是增函數(shù).11 一，1(2)解二葉a)在2，2上的值域是2, 2 ,又由(1)得f(x)在2上是單調(diào)增函數(shù)，一 11 一 一 2 f 2 =2，f(2) = 2，勿知 a = 5，1

7、0 .已知函數(shù)f(x)=2xa的定義域?yàn)?0, 1(a為實(shí)數(shù)). x當(dāng)a= 1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的值域；(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0, 1上的最大值及最小值，并求出當(dāng)函數(shù) f(x)取得最 值時(shí)x的值.1 ，一解 (1)當(dāng) a=1 時(shí)，f(x) = 2x,任取 1>xi>x2>0, x則 f(xl)-f(x2) = 2(xi-x2)- 11 =(x1x2) 2+-1-. x 1 x2x1 x21x1>x2>0, .x1x2>0, x1x2>0.；f(x1)>f(x2),，f(x)在(0, 1上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，當(dāng) x=1時(shí)取得最大值1,

8、所以f(x)的值域?yàn)? 8, 1.(2)當(dāng)a>0時(shí)，y=f(x)在(0, 1上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2-a；.一 a當(dāng) a<0 時(shí)，f(x)=2x+,x當(dāng)_0> 1,即aC( oo, 2時(shí)，y= f(x)在(0, 1上單調(diào)遞減，無(wú)最大值，當(dāng)x=1時(shí)取得最小值2-a；當(dāng)7-a< 1 ,即aC ( 2 , 0)時(shí)，y= f(x)在0,上單調(diào)遞減，在, 1上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，當(dāng)x=42時(shí)取得最小值2"a.11 .(2020鄭州質(zhì)檢)若函數(shù)f(x) = ax(a>0, aw 1)在1, 2上的最大值為 4,最小值為m,且函數(shù)g(x) = (1

9、 4m)/x在0, +00)上是增函數(shù)，則a=()-11A.4B.2C.2D.41斛析 當(dāng)a>1,則y=a為增函數(shù)，有a2=4, a-1 = m,此時(shí)a = 2, m=2,此時(shí)g(x) = 心在0, + 0°)上為減函數(shù)，不合題意當(dāng)0<a<1,則y= ax為減函數(shù),11有 a =4, a =m,止匕時(shí) a = 4，m=R.此時(shí)g(x)=3G在0, + 8)上是增函數(shù).故a = 4.答案 D12.(2019棗陽(yáng)第一中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x) = ex1, g(x)= x2 + 4x 3,若存在f(a) = g(b),則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A.0 , 3B.(1 ,

10、3)C.2-2, 2 + 的D.(2-夜，2 +鉤解析由題可知 f(x) = ex 1>-1, g(x)= x2 + 4x 3=-(x-2)2+1<1,若 f(a) = g(b),則 g(b)(-1, 1,即一b?+4b 3> 1,即 b24b+ 2<0,解得 2 42<b<2 + 42.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(2 啦，2 + 72).答案 Da, a< b,13.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a, b,定義mina, b=設(shè)函數(shù)f(x)= -x+ 3, g(x)b, a>b.= log2x,則函數(shù) h(x) = minf(x), g(x)的最大值是.log2x,

11、 0<x< 2,解析依題意，h(x) =x+ 3, x>2.當(dāng)0<x02時(shí)，h(x) = log2x是增函數(shù)，當(dāng)x>2時(shí)，h(x) = 3 x是減函數(shù)，.力僅)在乂= 2時(shí)，取得最大值h(2)=1.答案114.已知函數(shù)f(x)=lg(x+a2),其中a是大于0的常數(shù). x(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)當(dāng)a (1, 4)時(shí)，求函數(shù)f(x)在2, +oo)上的最小值；若對(duì)任意x 2, +oo)恒有f(x)>0,試確定a的取值范圍.解(1)由 x+m_2>0,得X ?+ao, XX當(dāng)a>1時(shí)，x2 2x+a>0恒成立，定義域?yàn)?0, +0°),當(dāng)a= 1時(shí)，定義域?yàn)閤|x>0且xw 1,當(dāng) 0<a<1 時(shí)，定義域?yàn)閤0< x< 1 5 a或 x> 1 + a,o(2)設(shè) g(x) = x+7一2,當(dāng) aC(1, 4), x2, +oo)時(shí)，2_ g，(x)=1-4= X x2 a>0.因此g(x)在2, +s)上是增函數(shù),：f(x)在2, +oo)上是增函數(shù).11a則 f(X)min = f(2) = In對(duì)任意x 2,+8),恒有f(x)&g