二重積分的計算PPT課件

1、(1):D),()(2 1 xyx )(bxa xyoab)(1 xy )(2 xy D將D看作一塊平面薄片，其面密度為),(yxf則它的質量 m Ddyxf ),(0,),( ),( yxfDyxf上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在第1頁/共29頁xyoab)(1 xy )(2 xy D另一方面，也可用定積分的元素法來求這塊平面薄片的質量.第2頁/共29頁xyoab)(1 xy )(2 xy Dxdxx )(1 x )(2 x xdm=ydyy ),(yxfdxdy )(1 x )(2 x =dx),(yxf )(1 x )(2 x dy mxdm ab= abdx),(yxf )(1 x )(2 x

2、 dy第3頁/共29頁 mab),(yxf dx)(1 x )(2 x dy Ddyxf ),(= ab),(yxfdx )(1 x )(2 x dyxyoab)(1 xy )(2 xy Dxdxx )(1 x )(2 x ydyy 第4頁/共29頁(2):D),()(2 1 yxy )(dyc xyocd)(1 yx )(2 yx D將D看作一塊平面薄片，其面密度為),(yxf則它的質量 m0,),( ),( yxfDyxf上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在 Ddyxf ),(第5頁/共29頁xyocd)(1 yx )(2 yx D另一方面，也可用定積分的元素法來求這塊平面薄片的質量.第6頁/共29頁

3、xyocd)(1 yx )(2 yx Dydyy ydm)(1 y )(2 y xdxx =),(yxfdxdy )(1 y )(2 y =dy),(yxf )(1 y )(2 y dx mydm cd= cd ),(yxfdy)(1 y )(2 y dx第7頁/共29頁xyocd)(1 yx )(2 yx Dydyy )(1 y )(2 y xdxx m cd),(yxfdy )(1 y )(2 y dx Ddyxf ),(= cd),(yxfdy )(1 y )(2 y dx第8頁/共29頁xyoab)(1 xy)(2 xyDx Ddyxf ),(= ab)(1 x )(2 x ),(yx

4、fdx dy= ab),(yxfdx )(1 x )(2 x dy型型區(qū)區(qū)域域 X第9頁/共29頁xyocd)(1 yx )(2 yx Dy Ddyxf ),(= cd)(1 y )(2 y ),(yxfdy dx= cd),(yxfdy )(1 y )(2 y dx型型區(qū)區(qū)域域 Y第10頁/共29頁xyo)(1 xy )(2 xy Dxyo)(1 yx )(2 yx DxyoDxyoD第11頁/共29頁說明：計算二重積分的方法是：先將它化為二次積分，即：兩個定積分然后，再依次計算這兩個定積分。怎樣將二重積分化為二次積分？要掌握確定二次積分的積分限的方法關鍵：第12頁/共29頁例1計算 Dxy

5、d ，其中:D由1 y2 x及xy 所圍成的閉區(qū)域 。，解xyo1 y2 xxy Dxyd dx xydy 1212x1x 21 22xy1x|dx 21 )22(3xx dx )48(24xx 12| 89第13頁/共29頁另解：xyo1 y2 xxy Dxyd dy xydx 2212yy2 21 22yxy2|dy 21 )224(3yy dy )8(42yy 12| 891x第14頁/共29頁例2計算 Ddyxy 221,其中:D由xy 1 x及1 y所圍成的閉區(qū)域 。,解xyo1 y1 xxy Ddyxy 221 dx dyyxy22111 1 1xx1第15頁/共29頁 dx dy

6、yxy2211 1x1 dx 1221xyx1 1)1(22yxd )21( )21( 1221xyx dx 1 1)1(22yxd )21( 112322)1(32yx |x1dx )21( 1132)1|(|3 xdx第16頁/共29頁 32 10)1(3 xdx 104| )4(32xx 21 31 11)1|(|3 xdx注意：原式若化為dxyxydydyxyyD 122112211 積分較困難。第17頁/共29頁例3計算 Dxyd ,其中:D由2yx 及2 xy所圍成的閉區(qū)域 。解xyo2yx 2 xy求交點：2yx 2 xy 解得 24yx 11yx交點：)1, 1( )2 , 4

7、(，)1, 1( )2 , 4(第18頁/共29頁xyo2yx 2 xy)1, 1( )2 , 4( Dxyd dy xydx 1 2y1 22y2 y 2122yx|2y2 ydy 212)2(52yyy dy 21244523yyyy dy )62344(216234yyyy |21 845 第19頁/共29頁例4求半徑相等的兩個圓柱面垂直相交所圍立體的體積。解xyzo222Ryx 222Rzx 由對稱性，得所求立體的體積 V18V1V 1VD22xRz dxdyxRD 22第20頁/共29頁xy222Ryx 1VDdxdyxRD 22 dx dyxR22 0R022xR Rx R0 yx

8、R 22022xR |dx R0 )(22xR dx )3(32xxR |0R 332R V18V 3328R 3316R第21頁/共29頁例5設)(xf在,ba上連續(xù)， banyanbadttftbndxxfxydy)()(1)()(1試證：n是自然數(shù)。其中xyyx ax bay by xD證 yanbadxxfxydy)()(1 dx dyxfxyn)()( 1abxb（換 序）a第22頁/共29頁 dx dyxfxyn)()( 1abxb badx bxnxfxy)()( 1)(xyd ba nxyxfn)()( |bxdx ba nxbxfn)()( dx bandtntbtf)()(

9、 bandttftbn )()(1 證畢。第23頁/共29頁關于對稱性的定理（關于x軸、y軸、原點、設21,DD是對稱的兩部分.(1) 若),(yxf在對稱點的值相等，則 dyxfdyxfDD 12),(),(2) 若),(yxf在對稱點的值相反，則 dyxfdyxfDD 12),(),(或某直線）.第24頁/共29頁例6設)0( ,:222 RRyxD求 Ddxy | )1( Ddyx | )2(解xOy1D2D3D4D1D與2D關于軸對稱,y且(1),(yx),(yx |)( |yx | xy 12| DDdxydxy ),(yx ),(yx 同理， 13| DDdxydxy 14| DDdxydxy RD第25頁/共29頁xOy1D Ddxy | 1|4 Ddxy 14 Dxyd 4 R dx xydy 0R022xR R0 42202|2xRxy dx R0 42)(22xRx dx |0422)422(RxxR 24R xD222Ryx 第26頁/共29