高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.doc

1、專題三、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用2009-2-25高考趨勢導(dǎo)數(shù)作為進入高中考試范圍的新內(nèi)容，在考試中占比較大常常運用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而研究函數(shù)的最值、極值，方程及不等式的解等導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，導(dǎo)數(shù)進入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間。所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，對函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等，對研究函數(shù)的目標也不僅限于求定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性等，而是把高次多項式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)型，對數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商都成為命題的對象，試題

2、的命制往往融函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式，方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏。解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想?？键c展示1.設(shè)函數(shù)的最大值為3，則f(x)的圖象的對稱軸的方程是 2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則 6 。3.曲線在點（）處的切線方程為 4.設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且是奇函數(shù) . 若曲線的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為 5.函數(shù)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若，且當時，設(shè)則 6.函數(shù)的定義域為（a,b），其導(dǎo)函數(shù) 內(nèi)的圖

3、象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)極小值點的個數(shù)是 1 7.如圖為函數(shù)的圖象，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為_ _樣題剖析例1、（2008浙江）已知是實數(shù)，函數(shù).求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；設(shè)g(x)為f(x)在區(qū)間上的最小值.（i）寫出g(a)的表達式；（ii）求的取值范圍，使得.（1）解：函數(shù)的定義域為，（）若，則，有單調(diào)遞增區(qū)間若，令，得，當時，當時，有單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間（2）解：（i）若，在上單調(diào)遞增，所以若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以若，在上單調(diào)遞減，所以綜上所述， （ii）令若，無解若，解得若，解得故的取值范圍為變式：已知函數(shù).（1）求的最大值；(2) 設(shè)實數(shù)，求函

4、數(shù)在上的最小值. 解（1）令得 當時，在上為增函數(shù) 當時，在上為減函數(shù) （2），由（2）知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在上的最小值 當時， 當時， 例2、已知（1）求函數(shù)在上的最小值（2）對一切的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（3）證明對一切，都有成立解，即時，（2），則設(shè)，則，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，因為對一切，恒成立，（3）問題等價于證明， 由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得設(shè)，則，易得。當且僅當x=1時取得從而對一切，都有成立變式1：已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)-.(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）.求的最大值.解: （1）函數(shù)的定義

5、域是，設(shè)則令則當時， 在（-1，0）上為增函數(shù)，當x0時，在上為減函數(shù).所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).于是當時，當x0時，所以，當時，在（-1，0）上為增函數(shù).當x0時，在上為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）不等式等價于不等式由知， 設(shè)則由（）知，即所以于是G(x)在上為減函數(shù).故函數(shù)G（x）在上的最小值為所以a的最大值為變式2：若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”已知，為自然對數(shù)的底數(shù))（1）求的極值；（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方

6、程；若不存在，請說明理由(1) ， 當時， 當時，此時函數(shù)遞減； 當時，此時函數(shù)遞增；當時，取極小值，其極小值為 (2)由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點 8分設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即 由，可得當時恒成立， 由，得 下面證明當時恒成立令，則， 當時，當時，此時函數(shù)遞增；當時，此時函數(shù)遞減；當時，取極大值，其極大值為 從而，即恒成立 函數(shù)和存在唯一的隔離直線 變式3、設(shè) f (x) = px2 ln x，且 f (e) = qe2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）(I)求 p 與 q 的關(guān)系；(II)若 f (x) 在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 p

7、的取值范圍；(III)設(shè) g(x) = ，若在 1,e 上至少存在一點x0，使得 f (x0) > g(x0) 成立, 求實數(shù) p 的取值范圍.解：(I) 由題意得 f (e) = pe2ln e = qe2Þ (pq) (e + ) = 0而 e + 0p = q (II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = 令 h(x) = px 22x + p，要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 h(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 當 p = 0時， h(x)

8、= 2x， x > 0， h(x) < 0， f(x) = < 0，f (x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞減，故 p = 0適合題意. 當 p > 0時，h(x) = px 22x + p，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為 x = (0,+¥)，h(x)min = p只需 p1，即 p1 時 h(x)0，f(x)0f (x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞增，故 p1適合題意. 當 p < 0時，h(x) = px 22x + p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為 x = Ï (0,+¥)只需 h(0)0，即

9、p0時 h(x)0在 (0,+¥) 恒成立.故 p < 0適合題意. 綜上可得，p1或 p0另解：(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = p (1 + )要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 f(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足：f(x)0 或 f(x)0 恒成立. 由 f(x)0 Û p (1 + )0 Û p Û p()max，x > 0 = 1，且 x = 1 時等號成立，故 ()max = 1p1由 f(x)0 Û p (1 + )0 &#

10、219; p Û p()min，x > 0而 > 0 且 x 0 時， 0，故 p0綜上可得，p1或 p0 (III)g(x) = 在 1,e 上是減函數(shù)x = e 時，g(x)min = 2，x = 1 時，g(x)max = 2e即g(x) Î 2,2e p0 時，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 遞減 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合題意。 0 < p < 1 時，由x Î 1,e Þ x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右邊為 f (x) 當 p = 1 時

11、的表達式，故在 1,e 遞增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 < 2，不合題意。 p1 時，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 連續(xù)遞增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 1,e 上是減函數(shù)本命題 Û f (x)max > g(x)min = 2，x Î 1,e Þ f (x)max = f (e) = p (e)2ln e > 2 Þ p > 綜上，p 的取值范圍是 (,+¥)例3、設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的極值點（2）當時，若對任意的，恒有，求的取值范圍（3）證明：解：（1），當 上無極

12、值點當p>0時，令的變化情況如下表：x(0，)+0極大值從上表可以看出：當p>0 時，有唯一的極大值點 （）當p>0時在處取得極大值，此極大值也是最大值，要使恒成立，只需， p的取值范圍為1，+ （）令p=1，由（）知， 結(jié)論成立變式1、已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求的最小值；（2）設(shè)不等式的解集為P，且，求實數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：。例4、已知函數(shù)f(x)=(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)增區(qū)間，求a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a>0，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，求出a的取值范圍？若不存在，請說明理由。解：（1）由

13、已知，得h(x)= 且x>0, 則h(x)=ax+2-=, 函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間, h(x)0有解, 即不等式ax2+2x-10有x>0的解. 當a<0時, y=ax2+2x-1的圖象為開口向下的拋物線, 要使ax2+2x-10總有x>0的解, 則方程ax2+2x-1=0至少有一個不重復(fù)正根, 而方程ax2+2x-1=0總有兩個不相等的根時, 則必定是兩個不相等的正根. 故只需=4+4a>0, 即a>-1. 即-1<a<0 當a>0 時, y= ax2+2x-1的圖象為開口向上的拋物線, ax2+2x-10 一定有x>0的解.

14、 綜上, a的取值范圍是(-1, 0)(0, +) （2）方程即為 等價于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0 . 設(shè)H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在區(qū)間()內(nèi)根的問題, 轉(zhuǎn)化為函數(shù)H(x)在區(qū)間()內(nèi)的零點問題. H(x)=2ax+(1-2a)-= 當x(0, 1)時, H(x)<0, H(x)是減函數(shù)； 當x(1, +)時, H(x)>0, H(x)是增函數(shù)； 若H(x)在()內(nèi)有且只有兩個不相等的零點, 只須 解得, 所以a的取值范圍是(1, ) 變式1、已知x=是的一個極值點(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(3)設(shè)，試問過點（2，5）可作

15、多少條曲線y=g(x)的切線？為什么？解：(1) 因x=1是的一個極值點 即 2+b-1=0b= -1經(jīng)檢驗，適合題意，所以b= -1 (2) >0 >0x>函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為（3）=2x+lnx設(shè)過點（2，5）與曲線g (x)的切線的切點坐標為即 令h(x)=0h(x)在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，）上單調(diào)遞增又，h(2)=ln2-1<0，h(x)與x軸有兩個交點過點（2，5）可作2條曲線y=g(x)的切線. 變式2、已知函數(shù) （1）求f(x)在0，1上的極值； （2）若關(guān)于x的方程在0，1上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍.（1），令（舍去）單調(diào)遞增；當單

16、調(diào)遞減.上的極大值 （2）由令，當上遞增；當上遞減而，恰有兩個不同實根等價于總結(jié)提煉：1.函數(shù)的綜合問題，這類問題涉及的知識點多，與數(shù)列、不等式等知識加以綜合。主要考察函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力. 2.通過求導(dǎo)來研究函數(shù)性質(zhì)是一種非常重要而有效的方法。通常的步驟：先求導(dǎo)，要注意求導(dǎo)后定義域的情況；將導(dǎo)數(shù)整理變形，能看出導(dǎo)數(shù)的符號性質(zhì)或零點。再列表，從表中回答所要求解答的問題。3.對于含有字母參數(shù)的問題，可以通過分類，延伸長度，從而降低難度。也可以通過分離變量，轉(zhuǎn)化為函

17、數(shù)或不等式問題去解決鞏固練習(xí)1.已知函數(shù)（）的圖象為曲線試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由設(shè)存在過點A的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B， 則切線方程是：， 化簡得：， 而過B的切線方程是， 由于兩切線是同一直線， 則有：，得， 又由， 即 ，即 即， 得，但當時，由得，這與矛盾。 所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點。2.已知函數(shù)(其中) ,點從左到右依次是函數(shù)圖象上三點,且.(1) 證明: 函數(shù)在上是減函數(shù)；(2) 求證：是鈍角三角形;(3) 試問,能否是等腰三角形?若能,求面積的最大值;若不能,請說明理由解：(

18、) 所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù). () 證明:據(jù)題意且x1<x2<x3,由()知f (x1)>f (x2)>f (x3), x2=即是鈍角三角形()假設(shè)為等腰三角形，則只能是即 而事實上, 由于,故(2)式等號不成立.這與式矛盾. 所以不可能為等腰三角形3.如圖：在一個奧運場館建設(shè)現(xiàn)場，現(xiàn)準備把一個半徑為的球形工件吊起平放到高的平臺上，工地上有一個吊臂長的吊車，吊車底座高.當物件與吊臂接觸后，鋼索CD長可通過頂點D處的滑輪自動調(diào)節(jié)并保持物件始終與吊臂接觸.求物件能被吊車吊起的最大高度，并判斷能否將該球形工件吊到平臺上？19解：吊車能把球形工件吊上的高度取決于吊臂的張角，由圖可知，所以，由，得，。當時，單調(diào)遞增，同理，當時， 單調(diào)遞減，所以時，取最大值. 所以吊車能把圓柱形工件吊起平放到高的橋墩上.4.已知函數(shù)（m、nR，m0）的圖像在（2，）處的切線與x軸平行 （1）求n，m的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間； （2）證明：對任意實