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1、第六節(jié)二次函數(shù)第六節(jié)二次函數(shù)基礎(chǔ)梳理1. 二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式: .(2)頂點(diǎn)式: .(3)交點(diǎn)式: .2. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a 0)f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=a(x-h)2+k(a0)解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0 =0 0)方程ax2+bx+c=0的解 x1= , x2=_ax2+bx+c0的解集 _ax2+bx+c0的解集 _2ba 2ba 02bxa 無(wú)解 x|xx2 x|xx0 R x|x1xx2基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(必修1P25練習(xí)7改編)函數(shù)f(x)=(x-1)2-1,x

2、0,2的值域?yàn)開2. (必修1P44習(xí)題9改編)f(x)=x2+(m+2)x+1是偶函數(shù),則m=_.1.解析:0 x2時(shí),f(x)max=f(0)=f(2)=0,f(x)min=-1,故值域?yàn)?1,0-1,02.解析:由f(-x)=f(x),得m+2=0,則m=-2.-23. f(x)=x2-2ax+3的增區(qū)間為4,+),則a=_.4. 二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)為(2,4)且過(guò)點(diǎn)(3,0),則f(x)=_.3.解析:由題意知增區(qū)間為a,+),a=4.44.解析:設(shè)f(x)=a(x-2)2+4過(guò)(3,0),故0=a(3-2)2+4,a=-4.f(x)=-4(x-2)2+4=-4x2+16x-

3、12.-4x2+16x-125. (2011揚(yáng)州中學(xué)期中考試)若不等式x2+bx+c0的解集是(-1,2),則b+c=_.-3解析:由已知條件得解得 ,b+c=-3.1212bc 12bc 經(jīng)典例題【例1】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試求此二次函數(shù)的解析式題型一求二次函數(shù)解析式分析:由題目條件知二次函數(shù)過(guò)(2,-1),(-1,-1)兩點(diǎn),且知其最大值,所以可應(yīng)用一般式、頂點(diǎn)式或兩根式解題解:方法一:利用二次函數(shù)一般式設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0)由題意得 解得所求二次函數(shù)的解析式為y=-4x2+4x+7 42114284abcabca

4、cba 447.abc 方法二:利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式設(shè)f(x)=a(x-m)2+n(a0)f(2)=f(-1),拋物線對(duì)稱軸為x= ,m= .又根據(jù)題意函數(shù)有最大值f(x)max=8, .f(2)=-1,即 ,解得a=-4.221( )48=-4x +4x+7.2f xx 21812a x 21( )82f xa x1212方法三:利用兩根式由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函數(shù)有最大值f(x)max=8,即 =8,解得a=-4,或a=0(舍去)所求函數(shù)解析式為f(x)=-4x2+4x+7

5、. 24214aaaa 如圖是一個(gè)二次函數(shù)y=f(x)的圖象(1)寫出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn);(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(3)當(dāng)實(shí)數(shù)k在何范圍內(nèi)變化時(shí),g(x)=f(x)-kx在區(qū)間-2,2上是單調(diào)函數(shù)變式1-1解析:(1)由圖可知二次函數(shù)的零點(diǎn)為-3,1.(2)設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+3)(x-1),由點(diǎn)(-1,4)在函數(shù)圖象上,得a=-1,則y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.(3)g(x)=-x2-2x+3-kx=-x2-(k+2)x+3,開口向下,對(duì)稱軸為x=- .當(dāng)- -2,即k2時(shí),g(x)在-2,2上單調(diào)遞減;當(dāng)- 2,即k-6時(shí),g(x)在-2,2上單調(diào)遞增綜上所述,

6、當(dāng)k-6或k2時(shí),g(x)在區(qū)間-2,2上是單調(diào)函數(shù) 22k 22k 22k 【例2】已知f(x)=x2+3x-5,xt,t+1,若f(x)的最小值為h(t),寫出h(t)的表達(dá)式題型二求二次函數(shù)最值分析:在對(duì)稱軸確定的情況下,對(duì)區(qū)間t,t+1進(jìn)行討論解:二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸x=- ,(1)當(dāng)t+1- ,即t- 時(shí),h(t)=f(t+1)=t2+5t-1;(2)當(dāng)t- t+1,即- t- 時(shí),h(t)= =- ;(3)當(dāng)t- 時(shí),h(t)=f(t)=t2+3t-5.3()2f 32323232325252294225t +5t-1,t22935( ),t4223t +3t-5,t2h t 故

7、已知函數(shù)f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在區(qū)間0,2上有最小值3,求實(shí)數(shù)a的值變式2-1【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對(duì)于滿足1x0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍題型三二次函數(shù)的綜合應(yīng)用分析:分a0,a0時(shí),114111411201220416820aaaffafaaa 或或111144301.82aaaaaa或或1111,22aaa或或即12200,;416820faaafa 當(dāng)時(shí)為當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合題意,綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . 1,2已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a0)滿足條件:f(-x+5)=f(x-3),且方程f(

8、x)=x有等根(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n(mn),使f(x)的定義域和值域分別是m,n和3m,3n?如果存在,求出m,n的值;若不存在,說(shuō)明理由變式3-1解析:(1)f(x)滿足f(-x+5)=f(x-3),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故- =1,b= -2a.又f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,則b=1,2baa= ,f(x)= x2+x. 1212(2)由f(x)=x2+x= (x-1)2+,在區(qū)間m,n上有值域3m,3n,則3n,n,故mn,函數(shù)f(x)在m,n上為增函數(shù)f(m)=3m,且f(n)=3n,m、n是方程f(x)=3x的

9、兩個(gè)不等根-x2+x=3x,即x2+4x=0,x1=0,x2=-4,mn,m=-4,n=0.12121212161612鏈接高考1.(2010天津)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2,(xR),f(x)= 則f(x)的值域?yàn)開知識(shí)準(zhǔn)備:1. 會(huì)解一元二次不等式;2. 熟練求解二次函數(shù)的值域;3. 理解、掌握分段函數(shù)的值域的含義 4,g xxxg xg xx xg x 90(2,)4解析:當(dāng)xg(x)時(shí),即x0,(x-2)(x+1)0,x2或x2或x(-1)2+(-1)+2=2;當(dāng)-1x2時(shí),f(x)=x2-x-2,- f(x)0,f(x)的值域?yàn)?(2,+) 94904,2. (2010全國(guó))直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn),則a的取值

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