微積分課后題答案

1、習(xí)題四 A1 用積分公式直接求下列不定積分。（1）（2）（3）（4）（5）（6）2用積分公式直接求下列不定積分。（1）（3）（5）（6）（7）（9）3 用第一類換元法求下列不定積分：（1）（4）（5）（8）（10）（11）5 用第二類換元法求不定積分：（3）解：令則（4） 解：令，則原式=（6） 解：令則原式（9） 解：令則原式（11） 解；令 則原式6、用分步積分法求下列不定積分。（2）（4）（5）（8）（10）（13）（14）（16）習(xí)題4（B）1. 求下列不定積分（1）（2） 令（3）（4） 令（5）（6）（7）（8）2（1）（2）（3）3（1）（2）（3）4（1）令 ， （2）令 ，

2、（3）令， ， 5（1）令時(shí)， （2）令時(shí)， 習(xí)題五 (A)3. 根據(jù)定積分的幾何意義，說(shuō)明下列各式的正確性。(2)解：表示圖1中陰影部分的面積，它是圖1中第一象限面積的2倍，而第一象限陰影部分的面積可以表示為，。(4)解：表示圖2所示的四分之一圓的面積，故。4.根據(jù)定積分的性質(zhì)，比較下列各組定積分值的大小。(1)解：因?yàn)?，所?等號(hào)成立的只有有限個(gè))，又因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù)從而可積，由定積分的性質(zhì)可知。5. 利用定積分的性質(zhì)，估計(jì)下列定積分值。(2)解：令。令得而因此，故。(4)解：令，則。令得。因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以， 即。6. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1)解：(2)解：(3)解：7. 求下列極限。

3、(1)(2) (4).8. 利用適當(dāng)代換，證明下列各題。(2)若，證明。證明：令，從而(3)若在上連續(xù)，證明。證明：。9. 設(shè)連續(xù)，且，求。解：兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)得：，. 令。11. 用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算下列定積分。(2)。(4)(6)(8)(9)(10)(12)12. 用變量代換法計(jì)算下列定積分。(2) (3)(6)(7)(9)(11)(12) (13)13. 用分布積分法計(jì)算下列定積分。(1)(2)(3).從而。(5)(7)14.計(jì)算下列定積分。(1)(2)(4)令故：。又22. 求下列曲線圍成的平面圖形的面積。(1);解：如圖3所示，面積(3)解：如圖4所示，面積(4)解：如圖5所示，面積

4、(5)解：如圖6所示，面積23. 求由拋物線及其在點(diǎn)和處的切線所圍成的圖形的面積。解：。，過(guò)點(diǎn)（3，0）的切線為。當(dāng)時(shí)交點(diǎn)為。如圖7所示，面積24. 求之間所圍成的圖形的面積。解：如圖8所示，面積25. 設(shè)，問(wèn)為何值時(shí)，圖中陰影部分的面積最小？最大？解：如圖9所示面積。又29. 設(shè)某產(chǎn)品投放市場(chǎng)后都轉(zhuǎn)化為商品，當(dāng)銷售量為(百臺(tái))時(shí)，其邊際成本函數(shù)為(萬(wàn)元/百臺(tái))，其邊際收益函數(shù)為(萬(wàn)元/百臺(tái))。求：(1) 總成本函數(shù)和總收益函數(shù);(2) 問(wèn)月銷售量為多少臺(tái)時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。并求出獲得最大利潤(rùn)時(shí)的總收益和平均收益。假若固定成本(萬(wàn)元)。解：(1)由題意(2) ,.又所以當(dāng)取極大值也是最大值。

5、即當(dāng)月銷售量為3.2臺(tái)是才能獲得最大利潤(rùn)。此時(shí)30. 生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本萬(wàn)元，邊際成本與邊際收益分別為(萬(wàn)元/單位)，(萬(wàn)元/單位)，試求廠商的最大利潤(rùn)。解：利潤(rùn)。令得。為極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)。所以當(dāng)時(shí)廠商有最大利潤(rùn)。32. 計(jì)算下列廣義積分。(2)(3)(5) 故。(6)。令則同理(7)習(xí)題五(B)1. 證：由積分中值定理可知：至少存在一點(diǎn)，使得在上滿足洛爾定理，至少存在一點(diǎn)使得2. 連續(xù)，故有最小值m最大值M,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知:至少存在一點(diǎn)使得:3. 證：(1)(2)4.解：令而，5. 解：令6. 解：7. 解：8. 解：9. 解：10. 解：11.解：兩邊對(duì)求導(dǎo)得：由此推出

6、在內(nèi)可導(dǎo)。兩邊對(duì)求導(dǎo)得12. 解：在左端令，則代入左端得：。兩端對(duì)求導(dǎo)得：。令13.解：(1)求焦點(diǎn)(2),14.(1) 如圖1， (2)如圖2，(3) 如圖3，(4)如圖4，(5)如圖5，15. 解：(1) 設(shè)切點(diǎn)則過(guò)的切線方程為。即，由命題可知(2) 切線方程為。(3) 如圖6，.16.解：設(shè)拋物線的方程為，它通過(guò)點(diǎn)和，故(1) (2) 依題意有：.17.解：如圖8，(1),.(2).18.解：如圖9，(1)(2)設(shè)曲線上所求點(diǎn)為，則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為該切線與軸的交點(diǎn)為：19. 解：20. 解：原式=21.解：，要使，取22. 解：如圖10，(1)當(dāng)時(shí)，(2)令得唯一駐點(diǎn)，又習(xí)題六（A）5

7、求下列函數(shù)的定義域并畫出定義域的示意圖：（1）；解：（2）；解：9設(shè)，求。解：令13求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）解：（2）解：（3）解：，（4）解：（5）解：（7）解：15設(shè)，試證：。證明：17求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：（1）解：（2）解：（3）；解：，18求下列函數(shù)的全微分：、（2）解：因?yàn)?，所以。?）在點(diǎn)（2，1）處的全微分解：因?yàn)?，。所以?0，求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)：（1），求，；解：（2），求，；解：。（3），有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求，；解：設(shè)，則21求下列方程所確定的隱函數(shù)的全微分：（1）解： 有所以（2）；解： 有 所以22求下列函數(shù)的極值，并判斷是極大值還是極小值：（1）解：

8、解方程組得駐點(diǎn)， 由由于 不是極值點(diǎn)。而 當(dāng) 時(shí)， 函數(shù)在取極大值；當(dāng) 時(shí)， 函數(shù)在取極小值；（3），x0，y0；解：解方程組得駐點(diǎn)（由于）為極小值。24某工廠生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為x，y，其成本函數(shù)為，由 市場(chǎng)調(diào)查調(diào)查得知，其單價(jià)與產(chǎn)量分別有如下關(guān)系：，試求甲，乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)。解：總利潤(rùn)函數(shù)解方程組得唯一駐點(diǎn)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義。必為可取得最大值。因此總利潤(rùn)最大。且25，某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本是每件2元，另外每月再花廣告費(fèi)A元，則每月的銷售量為，其中P為產(chǎn)品銷售價(jià)格，求最合理的P和A值，使得工廠的純利潤(rùn)最大。解：設(shè)純利潤(rùn)為。則解方程組得駐點(diǎn)由問(wèn)題的實(shí)

9、際意義。必可取最大值。時(shí)，工廠的純利潤(rùn)最大。27，比較二重積分的大?。骸ⅲ?）與，其中D是正方形；解：時(shí) 。且等號(hào)不同時(shí)成立28估計(jì)積分的上下界：（1），其中D是單位圓解：由 知 （2），其中D是矩形；解：由 得29，分別對(duì)下列區(qū)域?qū)⒍胤e分按兩種次序化為累次積分：（1）D由與所圍成；解：（3）D由，及所圍成；解： 得交點(diǎn) 得交點(diǎn)（4）D由，及所圍成；解：得交點(diǎn)30交換下列積分次序：（1）解：（2）解：原式（3）解：原式31，計(jì)算下列二重積分：（1），其中D由x0，x2及y0，y2所圍成；解（2），其中D由y2x-1，x0及yx所圍成；解： （4），其中D是區(qū)域；解：。（5）,其中D由yx，x

10、1及x軸所圍成；解：（7）解：交換積分次序得，。32，計(jì)算二重積分：（1）,其中D為圓環(huán)；解：令，。（2），其中D為區(qū)域，解：令，（4），其中D為第一象限中圓周與心臟線圍成的區(qū)域解：令， 34計(jì)算下列各題：（1）求曲線所圍成區(qū)域的面積解法一：令，J此時(shí)曲線化為令，解法二：令，就有所以（2）求所圍成區(qū)域的面積解：令，。習(xí)題6 (B)1. 已知為某一函數(shù)的全微分，試求之值。解：由比較有關(guān)系數(shù)得到 ，。2. 設(shè)函數(shù)有，,求：解： 因?yàn)?，連續(xù)對(duì)y積分兩次得，3. 設(shè) ,t是方程所確定的函數(shù).求.解:兩邊對(duì)x求導(dǎo).(1)(2)由(1),(2)解得=4. 已知且其中可微連續(xù)且.P(t)連續(xù). 試求.解:

11、 , 兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)得.兩邊分別對(duì)y求導(dǎo)得. 5. u=f(x,y,z)有連續(xù)編導(dǎo), y=y(x), z=z(x), 分別由方程和確定求: 解:由得 由得 6. 假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的需求函數(shù)分別是，其中和分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格（單位：萬(wàn)元/噸）。和分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的銷售量（即需求量，單位：噸），并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是，其中表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的銷售總量，即。（1） 如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格判別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)該產(chǎn)品的銷售量和價(jià)格，使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)；（2） 如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無(wú)判別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)該產(chǎn)品的銷售量及其統(tǒng)一的價(jià)

12、格，使企業(yè)的總利潤(rùn)最大化；并比較兩種價(jià)格策略下的總利潤(rùn)大小。解：（1）,（2）所以,此時(shí)，72-2349。7，估計(jì)積分的上界與下界，其中是由及所圍成的區(qū)域。解：由于又所以即，且的面積為所以。8，分別對(duì)下列區(qū)域?qū)⒍胤e分按兩種次序化為累次積分（1）是由軸，曲線及其過(guò)點(diǎn)的切線圍成的區(qū)域解：設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線為由設(shè)切點(diǎn)為，就有得，切點(diǎn)所以 或者（2）是由曲線，圍成的包含點(diǎn)的區(qū)域解：由圖9（1），由及圍成解：（2），由軸及曲線所圍成的不包含的區(qū)域。解：（3），由圍成解：（4），；解：令 則。(5) I=,其中是區(qū)域：；解： =(6) 設(shè)是由直線，及圍成的平面區(qū)域，求二重積分的值。解：=(7) ，其中；解： 將分成和兩部分（8），為連續(xù)函數(shù)，由曲線，直線所圍成。解：？10設(shè)計(jì)算。解：令 則11. 設(shè)表示全平面，求二重積分解：依題意，因此12. 設(shè)連續(xù)，且滿足方程其中是由曲線直線圍成的區(qū)域，求。解：令，則 ，因此，由得 所以13. 設(shè)連續(xù)，計(jì)算極限解：在閉區(qū)域連續(xù)D:上連續(xù)，有二重積分中值定理得，至少存在，使得，當(dāng)時(shí)，所以14計(jì)算下列二重積分：