應力與變形分析

1、第6章 應力與變形分析1016.1拉壓桿橫截面上的應力1016.2 軸向拉伸或壓縮時的變形·胡克定律1066.3 材料在拉伸與壓縮時的力學性能1106.4 軸向拉伸或壓縮時的強度計算1156.5 應力集中的概念1206.6 剪切和擠壓時的應力1216.7 剪切胡克定律1256.8 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力分布規(guī)律和強度條件1256.9 彎曲時梁橫截面上的正應力和強度計算1296.10 彎曲變形的概念1356.11 提高梁彎曲強度和剛度的措施138第6章 應力與變形分析本章通過對四種基本變形時構(gòu)件截面上的應力分布規(guī)律的分析，介紹研究材料力學的基本方法；討論其應力和變形的計算問題；重點研究構(gòu)件的

2、強度計算；介紹常溫、靜載下材料的機械性質(zhì)。6.1拉壓桿橫截面上的應力6.1.1 應力的概念同一種材料制成橫截面積不同的兩根直桿，在相同軸向拉力的作用下，其桿內(nèi)的軸力相同。但隨拉力的增大，橫截面小的桿必定先被拉斷。這說明單憑軸力FN并不能判斷拉（壓）桿的強度，即桿件的強度不僅與內(nèi)力的大小有關， 圖6-1而且還與截面面積有關，即與內(nèi)力在橫截面上分布的密集程度（簡稱集度）有關，為此引入應力的概念。 要了解受力桿件在截面m-m上的任意一點C處的分布內(nèi)力集度，可假想將桿件在m-m處截開，在截面上圍繞C點取微小面積A，A上分布內(nèi)力的合力為p(圖6-1a)，將p除以面積A，即 （6-1）pm稱為在面積A上的

3、平均應力，它尚不能精確表示C點處內(nèi)力的分布狀況。當面積無限趨近于零時比值的極限，才真實地反映任意一點C處內(nèi)力的分布狀況，即 （6-2） 上式p定義為C點處內(nèi)力的分布集度，稱為該點處的總應力。其方向一般既不與截面垂直，也不與截面相切。通常，將它分解成與截面垂直的法向分量和與截面相切的切向分量（圖6-1b），法向分量稱為正應力，用s 表示；切向分量稱為切應力，用t表示。 將總應力用正應力和切應力這兩個分量來表達具有明確的物理意義，因為它們和材料的兩類破壞現(xiàn)象拉斷和剪切錯動相對應。因此，今后在強度計算中一般只計算正應力和切應力而不計算總應力。應力的單位為“帕”，用Pa表示。1Pa=1N/m2, 常用

4、單位為兆帕MPa，1MPa=106Pa=1MN/mm2=1N/mm2，1GPa=109Pa。6.1.2 軸向拉伸和壓縮時橫截面上的正應力取一等截面直桿，在其側(cè)面作兩條垂直于桿軸的直線ab和 cd，然后在桿兩端施加一對軸向拉力F使桿發(fā)生變形，此時直線ab、 cd分別平移至a'b'、 c'd '且仍保持為直線（圖6-2a）。由此變形現(xiàn)象可以假設，變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，僅沿軸線產(chǎn)生了相對平移，并仍與桿的軸線垂直。這就是平面假設。根據(jù)平面假設，等直桿在軸向力作用下，其橫截面間的所有縱向的變形伸長量是相等的。由均勻性假設，橫截面上的內(nèi)力應是均勻分布的(圖6-

5、2b)。即橫截面上個點處的應力大小相等，其方向與FN一致，垂直于橫截面，故橫截面上的正應力s可以直接表示為 （6-3）式中， s 正應力，符號由軸力決定，拉應力為正，壓應力為負； FN 橫截面上的內(nèi)力（軸力）； 圖6-2 A 橫截面的面積。例6-1 在例5-2中，設等直桿的橫截面面積A=500 mm2，試求此桿各段截面上的應力，并指出此桿危險截面所在的位置。 解: 根據(jù)前面已求得的各段軸力，各段截面上的應力為AB段： BC段： CD段： DE段： 由以上計算可知，在BC段應力最大為100 MPa，故BC段各截面為危險截面。 例6-2 一鋼制階梯桿如圖6-3a所示。各段桿的橫截面面積為：A1=1

6、600 mm2，A2=625 mm2，A3=900 mm2，試畫出軸力圖，并求出此桿的最大工作應力。圖6-3 解: （1）求各段軸力 根據(jù)式（5-1）得FN1=F1=120 kNFN2=F1F2=120 kN220 kN = 100 kNFN3=F4=160 kN（2）作軸力圖 由各橫截面上的軸力值，作出軸力圖（圖6-3b）。（3）求最大應力 根據(jù)式（6-3） 得 AB段 （拉應力） BC段 （壓應力） CD段 （拉應力） 由計算可知，桿的最大應力為拉應力，在CD段內(nèi)，其值為178 MPa。例6-3 圓桿上有一穿透直徑的槽(圖6-4a)。已知圓桿直徑d=20 mm，槽的寬度為，設拉力F=30

7、kN，試求最大正應力（槽對桿的橫截面積削弱量可近似按矩形計算）。 解: （1）求內(nèi)力：桿的軸力圖見（圖6-4b）FN=F=30 kN （2）確定危險截面面積： 由軸力圖可知，受力桿件任意截面上的軸力相等，但中間一段因開槽而使截面面積減小，故桿的危險截面 圖6-4應在開槽段，即最大應力應發(fā)生在該段，開槽段的橫截面積為 （3）計算危險段上的最大正應力：6.1.3 軸向拉伸（或壓縮）時斜截面上的應力實驗證明，拉伸或壓縮桿件的破壞，不一定都是沿橫截面，有時會沿斜截面發(fā)生。為全面分析桿件的強度，了解各種破壞發(fā)生的原因，需研究軸向拉伸（或壓縮）時斜截面上的應力。 圖6-5a表示一等截面直桿，受軸向拉力F的

8、作用。由截面法知FN=F，若桿的橫截面面積為A，顯然，橫截面的正應力s為 圖6-5 (a)用一個與橫截面成a角的斜截面m-m假想地將桿截分為兩段，并研究左段的平衡，運用截面法,可求得斜截面m-m上的內(nèi)力（圖6-5b）為 FNa=FN (b) 由圖6-5a的幾何關系可知，斜截面m-m的面積為，仿照橫截面上正應力均勻分布的討論，可知斜截面m-m上的總應力pa亦為均勻分布，于是，可得斜截面上各點的應力為 (c)將pa分解為垂直于截面的正應力sa和沿斜截面的切應力ta(圖6-5c)，則有 sa= pacosa =s cos2a (6-4) ta= pasina =scosa×sina =si

9、n2a (6-5) 由上兩式可知,sa、ta都是角a的函數(shù)，即截面上的應力隨截面方位的改變而改變。（1）a = 0°時s0°=s cos20°=s =smaxt0°=sin(2×0°)= 0 上式說明，軸向拉（壓）時，橫截面上的正應力具有最大值，切應力為零。（2）a = 45°時s45°=s cos245°=t45°=sin(2×45°)=tmax 上式說明，在45°的斜截面上，切應力為最大，此時正應力和切應力相等，其值為橫截面上正應力的一半。（3）a =90

10、76;時s90°=s cos290° = 0t90°=sin(2×90°)= 0上式說明，桿件軸向拉伸和壓縮時，平行于軸線的縱向截面上無應力。應力符號規(guī)定如下：sa仍以拉應力為正，壓應力為負； ta對桿內(nèi)任意點的矩為順時針轉(zhuǎn)向時為正，反之為負。由（6-5）式可知，必有，說明桿件內(nèi)部相互垂直的截面上，切應力必然成對出現(xiàn)，兩者等值且都垂直于兩平面的交線，其方向則同時指向或背離交線，即切應力互等定理。6.2 軸向拉伸或壓縮時的變形·胡克定律軸向拉伸（或壓縮）時，桿件的變形主要表現(xiàn)為沿軸向的伸長（或縮短），即縱向變形。由實驗可知，當桿沿軸向伸

11、長（或縮短）時，其橫向尺寸也會相應縮?。ɑ蛟龃螅串a(chǎn)生垂直于軸線方向的橫向變形。6.2.1 縱向變形設一等截面直桿原長為l，橫截面面積為A。在軸向拉力F的作用下，長度由l變?yōu)閘1（圖6-6a）。桿件沿軸線方向的伸長為 l=l1l拉伸時l為正，壓縮時l為負。圖6-6 桿件的伸長量與桿的原長有關，為了消除桿件長度的影響，將l除以l，即以單位長度的伸長量來表征桿件變形的程度，稱為線應變或相對變形，用e 表示：e = （6-6）e 是量綱一的量，其符號與l的符號一致。6.2.2 胡克定律 實驗證明：當桿件橫截面上的正應力不超過比例極限（見后文6.3節(jié)）時，桿件的伸長量l與軸力FN及桿原長l成正比，與

12、橫截面面積A成反比。即引入比例常數(shù)E，則上式可寫為 （6-7）上式稱為胡克定律。 將式（6-3）和（6-6）代入上式，可得s =E×e （6-8）這是胡克定律的另一形式?？杀硎鰹椋寒攽Σ怀^比例極限時，則正應力與縱向線應變成正比。式中的E為材料的彈性模量，與材料的性質(zhì)有關，其單位與應力相同，常用單位為GPa。材料的彈性模量由實驗測定。彈性模量表示在受拉（壓）時，材料抵抗彈性變形的能力。由式（6-7）可看出，EA越大，桿件的變形l就越小，故稱EA為桿件抗拉（壓）剛度。工程上常用材料的彈性模量見表6-1。6.2.3 橫向變形在軸向力作用下，桿件沿軸向的伸長（縮短）的同時，橫向尺寸也將縮

13、?。ㄔ龃螅?。設橫向尺寸由b變?yōu)閎1（圖6-6b），b= b1-b則橫向線應變?yōu)?（6-9）e ¢也是量綱一的量。 6.2.4 泊松比 實驗表明，對于同一種材料，當應力不超過比例極限時，橫向線應變與縱向線應變之比的絕對值為常數(shù)。比值稱為泊松比，亦稱橫向變形系數(shù)。即 (6-10a)由于這兩個應變的符號恒相反，故有e'=n×e (6-10b)泊松比n 是材料的另一個彈性常數(shù)，是量綱一的量，由實驗測得。工程上常用材料的泊松比見表6-1。表6-1 常用材料的E和n材料E/GPan碳素鋼2002100.240.30合金鋼1852050.250.30灰口鑄鐵801500.230.

14、27銅及其合金72.51280.310.42鋁合金700.250.33例6-4 圖6-7a為一階梯形鋼桿，已知桿的彈性模量E=200GPa，AC段的截面面積為AAB=ABC=500mm2，CD段的截面面積為ACD=200mm2，桿的各段長度及受力情況如圖6-7a所示。試求：（1）桿截面上的內(nèi)力和應力； （2）桿的總變形。 圖6-7解： 此題可直接用式（5-1）求各截面內(nèi)力（1）求各截面上的內(nèi)力 BC段與CD段 FN2=F2=10 kN =10 kN （受壓）AB段 FN1= F1F2=30 kN10 kN =20 kN （受拉）（2）畫軸力圖（圖6-7b）（3）計算各段應力AB段 （拉應力）B

15、C段 （壓應力） CD段 （壓應力）（4）桿的總變形 全桿總變形lAD等于各段桿變形的代數(shù)和，即lAD=lAB+lBC+lCD=+將有關數(shù)據(jù)代入，并注意單位和符號，即得lAD= = 0.015 mm計算結(jié)果為負，說明整個桿件是縮短的。例6-5 圖6-8a所示桿系由兩根鋼桿1和2組成。已知桿端鉸接，兩桿與鉛垂線均成a=30°的角度，長度均為l=2m，直徑均為d=25mm，鋼的彈性模量為E=210GPa。設結(jié)點A處懸掛一重物P=100 kN，試求結(jié)點A的位移A。解： 題意分析：A點的位移是由于兩桿受力后伸長引起的，故應先求出各桿的伸長，因此，須求出各桿的軸力。根據(jù)小變形假設，在求各桿的軸

16、力時可將桿系看成剛體，因此a角的微小變化可忽略不計。以結(jié)點為研究對象，作受力圖（圖6-8b）（1）列平衡方程 åFx=0， FN2sina FN1sina=0 åFy=0， FN1cosa + FN2cosaP=0解上兩式得 FN1= FN2= （1）（2） 求兩桿的伸長 由題意可知 圖6-8l1=l2= （2）式中A=為桿的橫截面面積。（3）求結(jié)點的位移為了求位移A，可假想地將兩桿在點A處拆開，并在桿原長上分別增加長度l1= AA1和l2= AA2。由于兩桿在點A為鉸接，變形后仍應鉸結(jié)在一起，即應滿足變形的幾何相容條件。于是，兩桿伸長后的長度為BA1、CA2。因變形微小，

17、可以切線代弧，過A1、A2分別作兩桿的垂線交于A，由于兩桿材料相同，受力、變形均對稱，故A必與A在同一鉛垂線上，因而從圖（6-8c）可得 A = AA= （3）將式（2）代入式（3）得 A = （4）再將已知數(shù)據(jù)代入（4）得6.3 材料在拉伸與壓縮時的力學性能材料在外力作用下其強度和變形方面所表現(xiàn)出的力學性能，是強度計算和選用材料的重要依據(jù)。在不同的溫度和加載速度下，材料的力學性能將發(fā)生變化。本節(jié)介紹常用材料在常溫（指室溫）、靜載（加載速度緩慢平穩(wěn)）情況下，拉伸和壓縮時的力學性能。材料的拉伸和壓縮試驗是測定材料力學性能的基本試驗，試驗中的試件按國家標準（GB/T228-198）設計，如圖6-9

18、所示。試驗前，先在試件中間的等截面直桿部分取長為l的一段作為工作段，長度l稱為標距。根據(jù)國家標準，拉伸試件分長短二種， 對圓截面試件，規(guī)定標距l(xiāng)與截面直徑的比例關系分別為 圖6-9l=10d l=5d對矩形截面試件，規(guī)定其標距l(xiāng)與橫截面面積A的關系分別為6.3.1 低碳鋼在拉伸時的力學性能低碳鋼是工程上應用最廣泛的材料，同時，低碳鋼試件在拉伸試驗中所表現(xiàn)出來的力學性能最為典型。因此，先研究這種材料在拉伸時的力學性能。將試件裝上試驗機后，緩慢加載，直至拉斷，試驗機的繪圖系統(tǒng)可自動繪出試件在試驗過程中工作段的變形和拉力之間的關系曲線圖。 常以橫坐標代表試件工作段的伸長l，縱坐標代表試驗機上的載荷讀

19、數(shù)，通即試件的拉力F，此曲線稱為拉伸圖或F-l曲線，如圖6-10。 圖6-10 試件的拉伸圖不僅與試件的材料有關，而且與試件的幾何尺寸有關。用同一種材料做成粗細不同的試件，由試驗所得的拉伸圖差別很大。所以，不宜用試件的拉伸圖表征材料的拉伸性能。將拉力F除以試件橫截面原面積A，得試件橫截面上的應力s。將伸長l除以試件的標距l(xiāng)，得試件的應變e。以e 和s 分別為橫坐標與縱坐標，這樣得到的曲線則與試件的尺寸無關，此曲線稱為應力-應變圖或s-e曲線。（1）材料的剛度指標圖6-11所示為Q235鋼的s -e 曲線。從圖中可見，整個拉伸過程可分為四個階段：第階段 彈性階段 在試件拉伸的初始階段，s 與e

20、的關系表現(xiàn)為直線=Oa，即s 與e 成正比，即s µ e ,直線的斜率為所以有 s =E×e這就是在節(jié)中所述的胡克定律，式中E為彈性模量，為材料的剛度性能指標。直線Oa的最高點a 所對應的應力，稱為比例極限，用sp表示。即只有應力低于比例極限，胡克定律才能適用。Q235鋼的比例極限sp200MPa。彈性階段的最高點b所對應的應力是材料保持彈性變形的極限點，稱為彈性極限，用se表示。此時，在ab段已不再保持直線，但如果在b點卸載，試件的變形還將會完全消失。由于a、b兩點非常接近，所以工程上對彈性極限和比例極限并不嚴格區(qū)分。 （2）材料的強度指標 圖6-11第階段 屈服階段 當

21、應力超過彈性極限時，s-e 曲線上將出現(xiàn)一個近似水平的鋸齒形線段（圖中的bc段），這表明，應力在此階段基本保持不變，而應變卻明顯增加。此階段稱為屈服階段或流動階段，若試件表面光滑，可看到其表面有與軸線大約呈的條紋，稱為滑移線。在屈服階段中，對應于曲線最高點與最低點的應力分別稱為上屈服點應力和下屈服點應力。通常，下屈服點應力值較穩(wěn)定，故一般將下屈服點應力作為材料的屈服點應力，用ss表示。Q235鋼的屈服點應 圖6-12力ss240MPa。 當材料屈服時，將產(chǎn)生顯著的塑性變形。通常，在工程中是不允許構(gòu)件在塑性變形的情況下工作的，所以ss是衡量材料強度的重要指標。第階段 強化階段經(jīng)過屈服階段后，圖中

22、ce段曲線又逐漸上升，表示材料恢復了抵抗變形的能力，且變形迅速加大，這一階段稱為強化階段。強化階段中的最高點E所對應的是材料所能承受的最大應力，稱為強度極限，用sb 表示。強化階段中，試件的橫向尺寸明顯縮?。ㄈ鐖D6-11）。Q235鋼的強度極限sb400MPa。第階段 局部變形階段在強化階段，試件的變形基本是均勻的。過e點后，變形集中在試件的某一局部范圍內(nèi)，橫向尺寸急劇減少，形成縮頸現(xiàn)象。由于在縮頸部分橫截面面積明顯減少，使試件繼續(xù)伸長所需要的拉力也相應減少，故在s-e 曲線中，應力由最高點下降到f點，最后試件在縮頸段被拉斷，這一階段稱為局部變形階段。上述拉伸過程中，材料經(jīng)歷了彈性變形、屈服、

23、強化和局部變形四個階段。對應前三個階段的三個特征點，其相應的應力值依次為比例極限sp、屈服點應力ss和強度極限sb 。對低碳鋼來說，屈服點應力和強度極限是衡量材料強度的主要指標。（3） 材料的塑性指標 試件拉斷后，材料的彈性變形消失，塑性變形則保留下來，試件長度由原長l變?yōu)閘1。試件拉斷后的塑性變形量與原長之比以百分比表示，即 (6-11)式中d 稱為斷后伸長率。 斷后伸長率是衡量材料塑性變形程度的重要指標之一，Q235鋼的斷后伸長率20%30%。斷后伸長率越大，材料的塑性性能越好，工程上將5%的材料稱為塑性材料，如低碳鋼、鋁合金、青銅等均為常見的塑性材料。d <5%的材料稱為脆性材料，

24、如鑄鐵、高碳鋼、混凝土等均為脆性材料。 衡量材料塑性變形程度的另一個重要指標是斷面收縮率y 。設試件拉伸前的橫截面積為A，拉斷后斷口橫截面面積為A1，以百分比表示的比值，即 y =100% （6-12）稱為斷面收縮率，斷面收縮率越大，材料的塑性越好，Q235鋼的斷面收縮率約為50 %。（4）冷作硬化現(xiàn)象當應力超過屈服點應力后，在強化階段某一點d處卸載直至載荷為零。試驗結(jié)果表明，卸載時的s-e 曲線將沿著平行于Oa直線（圖6-13）回到零應力點d'。由圖中可見，與d點對應的總應變應包括兩部分，Od'和d'g，其中 d'g在卸載時完全消失，即為彈性變形。而Od

25、9;則為卸載后遺留下的塑性變形。如果在卸載后重新加載，則應力應變關系基本沿卸載時的 直線d'd上升直至回到卸載點d后才開始出現(xiàn)塑性變形，且以后的變形曲線與該材料的s-e曲線大致相同。觀察再加載的s-e 曲線， 圖6-13發(fā)現(xiàn)材料的比例極限由sp提高到s'p，而材料的塑性降低，這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。 由于冷作硬化提高了材料的比例極限，從而提高了材料在彈性范圍內(nèi)的承載能力，故工程中常利用冷作硬化來提高桿件的承載能力，如起重機械中的鋼索和建筑鋼筋，常用冷拔工藝來提高強度。6.3.2 其它材料在拉伸時的力學性能許多金屬拉伸時，并不都具有像低碳鋼的s-e 曲線中的四個階段。為便于比較，現(xiàn)

26、將工程中常用的幾種塑性材料的s-e 曲線和低碳鋼的s-e 曲線置于同一圖中（圖6-14），可以看出，青銅、硬鋁、退火球墨鑄鐵均沒有屈服階段，其它三個階段則很明顯，而錳鋼僅有彈性階段和強化階段，沒有屈服階段和局部變形階段。這些材料的共同特點是伸長率均較大，它們和低碳鋼一樣都是塑性材料。對于這類沒有明顯屈服階段的塑性材料，工程上通常以產(chǎn)生0.2%塑性應變時所對應的應力值作為衡量材料強度的指標，此應力稱為材料的條件屈服點應力，用sp0.2 表示(圖6-15)。 圖6-14對于脆性材料，例如灰口鑄鐵，從圖6-16所示的的s-e 曲線可以看出，從開始受拉到斷裂，沒有明顯的直線部分（圖中實線）。一般可將該

27、曲線近似地視為直線（圖中虛線）， 圖6-15 圖6-16即認為胡克定律在此范圍內(nèi)仍然適用。圖中亦無屈服階段和局部變形階段，斷裂是突然發(fā)生的，斷口齊平，斷后伸長率約為0.4%0.5%，故為典型的脆性材料。強度極限sb是衡量鑄鐵強度的唯一指標。6.3.3 材料在壓縮時的力學性能在試驗機上做壓縮試驗時，考慮到試件可能被壓彎，金屬材料選用短粗圓柱試件，其高度為直徑的1.53倍。圖6-17中實線表示低碳鋼壓縮時的s-e 曲線。將其與拉伸時的s-e 曲線（圖中虛線）比較，可以看出，在彈性階段和屈服階段，拉、壓的s-e 曲線基本重合。這表明，拉伸和壓縮時，低碳鋼的比例極限、屈服點應力及彈性模量大致相同。與拉

28、伸試驗不同的是，當試件上壓力不斷增大，試件的橫截面積也不斷增大，試件愈壓愈扁而不破裂，故不能測出它的抗壓強度極限。鑄鐵壓縮時的曲線s-e 如圖6-18實線所示。與其拉伸時的s-e 曲線（圖中虛線）相比，抗壓強度極限sbc遠高于抗拉強度極限sb（約 34倍），所以，脆性材料宜作受壓構(gòu)件。鑄鐵試件壓縮時的破裂斷口與軸線約成45o傾角，這是因為受壓試件在45o方向的截面上存在最大切應力，鑄鐵材料的抗剪能力比抗壓能力差，當達到剪切極限應力時首先在45o截面上被剪斷。 圖6-17 圖6-18 低碳鋼試件拉伸斷裂時，其頸縮部位斷口內(nèi)部的應力比較復雜，但仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)斷口邊緣與軸線約呈45o的斜面，可知

29、這是由最大切應力引起的。前面已經(jīng)得到塑性材料具有相同的抗拉與抗壓性能（sp、ss、E均相同）的結(jié)論。因此，對不同材料拉伸和壓縮試驗進行分析研究，可得出以下重要結(jié)論：塑性材料 抗拉能力=抗壓能力>抗剪能力由鑄鐵試件壓縮破壞知，它的抗壓能力優(yōu)于抗剪能力，而鑄鐵試件拉伸破壞時，斷口為橫截面，說明它的抗剪能力優(yōu)于抗拉能力。因此脆性材料 抗壓能力>抗剪能力>抗拉能力 通過拉伸和壓縮試驗，可以獲得材料力學性能的下述三類指標：（1）、剛度指標：彈性模量E；（2）、強度指標：屈服點應力ss（sp0.2）和強度極限sb（sbc）；（3）、塑性指標：斷后伸長率和斷面收縮率y。 幾種常用金屬材料的

30、力學性能見表6-2，表中所列數(shù)據(jù)是在常溫和靜載荷（即緩慢加載）的條件下測得的，其它材料的力學性能可查閱機械設計手冊等有關資料。表6-2 常用材料的主要力學性能材料名稱牌號ss /MPasb /MPad5/%普通碳素鋼Q2352353723922527Q27527449051921優(yōu)質(zhì)碳素鋼353145292045353598155037252714低合金鋼09MuV2944312212Mn28050020合金鋼20Cr5398331040Cr784980930CrMnSi88210788鋁合金LY12274412196.4 軸向拉伸或壓縮時的強度計算6.4.1 極限應力許用應力安全因數(shù)工程上將

31、使材料喪失正常工作能力的應力稱為極限應力或危險應力，用su表示。對于塑性材料，當應力達到屈服點應力ss（或sp0.2）時，構(gòu)件將發(fā)生明顯的塑性變形而影響其正常工作。此時，一般認為材料已經(jīng)破壞。故對塑性材料規(guī)定用屈服點應力為其極限應力或危險應力，所以su =ss（或sp0.2）脆性材料直到拉斷時也無明顯的塑性變形，其破壞表現(xiàn)為斷裂，故用材料的強度極限sb（或sbc）作為極限應力或危險應力，即su =sb（或sbc）構(gòu)件在載荷作用下產(chǎn)生的應力稱為工作應力。等直桿最大軸力處的橫截面稱為危險截面。危險截面上的應力稱為最大工作應力。為使構(gòu)件正常工作，最大工作應力應小于材料的極限應力，并使構(gòu)件留有必要的強

32、度儲備。因此，一般將極限應力除以一個大于1的系數(shù)，即安全因數(shù)n，作為強度設計時的最大許可值，稱為許用應力，用s表示，即s= （6-13） 對于塑性材料 或 （6-14） 對于脆性材料 或 （6-15）式中ns、nb分別為對應屈服點應力和強度極限的安全因數(shù)。各種材料在不同工作條件下的安全因數(shù)和許用應力值，可從有關規(guī)定或設計手冊中查到。在靜載荷作用下，一般桿件的安全因數(shù)為：ns=1.52.5，nb=2.03.5。工程中必須考慮安全因素是出于以下諸多原因，例如：材料的極限應力是在標準試件上獲得的，而構(gòu)件所處的工作環(huán)境和受載情況不可能與試驗條件完全相同；構(gòu)件與試件的材料雖然相同，但很難保證材質(zhì)完全一致

33、；由于對外載荷的估算可能帶來誤差；對結(jié)構(gòu)、尺寸的簡化可能造成計算偏差，等等。安全因數(shù)的選取，關系到工程設計的安全和經(jīng)濟這一對矛盾問題。安全因數(shù)越大，強度儲備越多，構(gòu)件則越偏于安全，但不經(jīng)濟；反之，只考慮經(jīng)濟，安全性下降。因此，在進行強度計算時，應注意根據(jù)實際合理地選取安全因數(shù)。6.4.2 強度計算為保證軸向拉（壓）桿件在外力作用下具有足夠的強度，應使桿件的最大工作應力不超過材料的許用應力，由此，建立強度條件 smax= £ s (6-16)上述強度條件，可以解決三種類型的強度計算問題：（1） 強度校核 若已知桿件尺寸A、載荷F和材料的許用應力s，則可應用式（6-16）驗算桿件是否滿足

34、強度要求，即smax £ s（2） 設計截面尺寸 若已知桿件的工作載荷及材料的許用應力s，則由式（6-16）可得 由此確定滿足強度條件的桿件所需的橫截面面積，從而得到相應的截面尺寸。（3） 確定許可載荷若已知桿件尺寸和材料的許用應力s，由式（6-16）可確定許可載荷，即FNmax £ sA由上式可計算出已知桿件所能承擔的最大軸力。從而確定桿件的最大許可載荷。必須指出，對受壓直桿進行強度計算時，式（6-16）僅適用較粗短的直桿。對細長的受壓桿，應進行穩(wěn)定性計算，關于穩(wěn)定性問題，將在第8章討論。例6-6 圖6-19a所示為一剛性梁ACB由圓桿CD在C點懸掛連接，B端作用有集中載

35、荷F=25 kN。已知：CD桿的直徑d=20 mm，許用應力s=160 MPa。1）校核CD桿的強度；2）試求結(jié)構(gòu)的許可載荷F；3）若F=50kN，試設計CD桿的直徑d。 解： （1）校核CD桿強度 作AB桿的受力圖，如圖6-19b。由平衡條件 åMA=0 得 圖6-192FCD×l-3F×l=0故 FCD=F 求CD桿的應力，桿上的軸力 FN=FCD 故 所以CD桿安全。（2）求結(jié)構(gòu)的許可載荷F由 故 由此得結(jié)構(gòu)的許可載荷 F= 33.5 kN（3）若F=50 kN，設計圓柱直徑d由 故 取d=25 mm。例6-7 圖6-20a所示為三鉸拱屋架示意圖，跨度l=1

36、8 m，屋架上承受均布載荷，載荷集度q=17kN/m。C處為鉸鏈，AB兩處用拉桿連接。若拉桿材料為Q235鋼，其許用應力s1=160 MPa。試設計1）桿AB的直徑d1；2）拉桿改用Q345鋼，許用應力s2=230 MPa，拉桿直徑d2為多大？圖6-20解： （1）取整個物體系統(tǒng)為研究對象，求E處約束反力，應用平衡條件 åMD=0，故 （2）取屋架右半部分為研究對象（圖6-20b），求拉桿軸力。應用平衡條件åMC=0， 故 =219=219 kN（3） 設計拉桿的直徑d1根據(jù)式(6-16)得 故 取d1=42 mm（4）設計Q345鋼拉桿的直徑d2可將上式中的s1換成Q34

37、5鋼的許用應力s2，即可算得其拉桿直徑。也可根據(jù)已算得的d1數(shù)值，利用下式進行計算。因 故 在工程中當需要改變設計時，這種計算方法非常方便。例6-8 重物P由銅絲CD懸掛在鋼絲AB之中點C（圖6-21a）。已知銅絲直徑d1=2 mm，許用應力s1=100 MPa，鋼絲直徑 d2=1mm，許用應力s2 =240 MPa，且a=30°，試求結(jié)構(gòu)的許可載荷。若不更換銅絲和鋼絲，要提高許可載荷，鋼絲繩相應的夾角為多少（結(jié)構(gòu)仍然保持對稱）？解: 1）求結(jié)構(gòu)的許可載荷。（1）以點C為研究對象，作受力圖（圖6-21b），設銅絲和鋼絲的拉力分別為FN1和FN2 （2） 考慮點C的平衡，應用平衡條件&

38、#229;Fy=0， （a）（3）根據(jù)式(6-13)對銅絲 故 （b）圖6-21對鋼絲 故 （c）為保證安全，結(jié)構(gòu)的許可載荷應取較小值，即P=188 N。2）求鋼絲繩的夾角。若銅絲和鋼絲都不更換，要提高結(jié)構(gòu)的承載能力，由式（c）可知，只有調(diào)整鋼絲繩的角度。在0a之間，鋼絲的許可載荷隨a角的增加而增加，當鋼絲的許可載荷與銅絲的相等時（即：P1=P2=314N），則該結(jié)構(gòu)的的承載能力為最大，設此時對應的鋼絲繩角度為a*，當 時則有 因此，當a=a*=55.4°時，結(jié)構(gòu)的許用載荷可提高為P2=P1=314 N。6.5 應力集中的概念前面分析的等截面直桿在軸向拉伸（壓縮）時，橫截面上的正應力

39、是均勻分布的。但工程中，由于結(jié)構(gòu)或工藝上的需要，常開有孔槽或留有凸肩，表面切割螺紋等，使截面形狀發(fā)生突變。研究表明，桿件在截面突變處的局部范圍內(nèi)，應力值將急劇增加，而距突變區(qū)較遠處又漸趨平均。這種由于截面的突變而導致的局部應力增大的現(xiàn)象，稱為應力集中。圖6-22 圖6-23圖6-22中所示的拉桿在1-1截面上，靠近孔邊的小范圍內(nèi)應力很大，而離開孔邊較遠處的應力降低許多，且分布較均勻。應力集中的程度，通常以最大局部應力smax與被削弱截面上的平均應力sm之比來衡量，稱為理論應力集中因素，以KT表示，即 KT = （6-17）在靜載荷下，應力集中對塑性材料和脆性材料產(chǎn)生的影響是不同的。圖6-23a

40、所示的帶有小圓孔的桿件，拉伸時孔邊緣將產(chǎn)生應力集中。塑性材料具有明顯的屈服階段，當smax達到屈服點應力ss時，桿件在此局部產(chǎn)生塑性變形，該處的變形可以繼續(xù)增大，而應力數(shù)值不增加。若載荷繼續(xù)加大，尚未屈服的區(qū)域的應力隨之增加而相繼達到ss，由于塑性材料的屈服階段較長，因此，這種情況是可以實現(xiàn)的（圖6-23b），直到整個截面上的應力都達到ss 時，應力分布趨于均勻（圖6-23c）。 這個過程對桿件的應力起到了一定的緩和作用，所以，材料的塑性性質(zhì)具有緩和應力集中的作用；脆性材料則不同，由于脆性材料無屈服階段，局部最大應力隨載荷的增加而增加，一直領先直至到達材料的強度極限sb時，孔邊緣處就出現(xiàn)裂紋，

41、很快斷裂。因此，應力集中會嚴重降低脆性材料桿件的強度。需要指出的是，在周期性變化的應力（交變應力）或受沖擊載荷作用下，無論是塑性材料還是脆性材料，應力集中都會影響桿件的強度。這將在第9章中加以討論。6.6 剪切和擠壓時的應力剪切面上分布內(nèi)力的集度以t表示，稱為切應力（圖6-24d）6.6.1 剪切實用計算切應力在剪切面上分布的情況比較復雜。為便于計算。工程中通常采用以實驗、經(jīng)驗為基礎的實用計算，近似地認為切應力在受剪面內(nèi)是均勻分布的(圖6-24d )，按 圖6-24此假設計算出的切應力實質(zhì)上是截面上的平均應力，稱為名義切應力， 即 (6-18) 材料的極限切應力tu是按名義切應力概念，用試驗方

42、法得到的。將此極限切應力除以適當?shù)陌踩驍?shù)，即得材料的許用切應力 （6-19）由此，建立剪切強度條件 （6-20）大量實踐結(jié)果表明，剪切實用計算方法能滿足工程實際的要求。 工程中常用材料的許用切應力，可以從有關的設計手冊中查得。一般情況下，材料的許用切應力t與許用拉應力s之間有以下近似關系：對塑性材料 t= (0.60.8) s 對脆性材料 t=(0.81.0) s 剪切強度條件同樣可解決三類問題：校核強度，設計截面尺寸和確定許可載荷。6.6.2 擠壓的實用計算鉚釘?shù)嚷?lián)接件在外力的作用下發(fā)生剪切變形的同時，在聯(lián)接件和被聯(lián)接件接觸面上互相壓緊，產(chǎn)生局部壓陷變形，這種現(xiàn)象稱為擠壓(圖6-25a)。

43、接觸面上的壓力稱為擠壓力，用Fbs表示。由擠壓力引起的接觸面上的表面壓強，習慣上稱為擠壓應力，用sbs表示。應當注意，擠壓與壓縮的概念是不同的。壓縮變形是指桿件的整體變形，其任意橫截面上的應力是均勻分布的；擠壓時，擠壓應力只發(fā)生在構(gòu)件接觸的表面，一般并不均勻分布。 圖6-25與切應力在剪切面上的分布相類似，擠壓面上擠壓應力的分布也較復雜，如圖6-25b所示。為了簡化計算，工程中也采用擠壓的實用計算，即假設擠壓應力在擠壓面上是均勻分布的（圖6-25c）。按這種假設所得的擠壓應力稱為名義擠壓應力。當接觸面為平面時，擠壓面就是實際接觸面；對于圓柱狀聯(lián)接件，接觸面為半圓柱面，擠壓面面積Abs取為實際接

44、觸面的正投影面，即其直徑面面積Abs=t×d（圖6-25c），因此有 （6-21）按照（6-21）式計算所得擠壓應力與接觸面上的實際最大應力大致相等。應用名義擠壓應力的概念，得到材料的極限擠壓應力su，將su除以適當?shù)陌踩蛩豱，即可確定材料的許用擠壓應力，即 （6-22）由此建立擠壓強度條件，即 （6-23）工程實踐證明，擠壓實用計算方法能滿足工程實際的要求。工程中常用材料的許用擠壓應力，可以從設計手冊中查到。一般情況下，也可以利用許用擠壓應力與許用拉應力的近似關系求得。 對塑性材料： sbs =(0.91.5) s 對脆性材料： sbs =(1.52.5) s應當注意，擠壓應力是

45、在聯(lián)接件和被聯(lián)接件之間的相互作用。當兩者材料不同時，應對其中許用擠壓應力較低的材料進行擠壓強度校核。對于剪切問題，工程上除應用式（6-20）進行剪切構(gòu)件的強度校核，以確保構(gòu)件正常工作外，有時會遇到相反的問題，即所謂剪切破壞。例如，車床傳動軸的保險銷，當載荷超過極限值時，保險銷首先被剪斷，從而保護車床的重要部件。而沖床沖剪工件，則是利用剪切破壞來達到加工目的的。剪切破壞的條件為 Fb ³ tb× As （6-24）式中：Fb破壞時橫截面上的剪力；tb材料的剪切強度極限。例6-9 電機車掛鉤的銷釘聯(lián)接如圖6-26a。已知掛鉤厚度t=8 mm，銷釘材料的t=60 MPa，sbs=200 MPa，電機車的牽引力F=15 kN，試選擇銷釘?shù)闹睆健?圖6-26解： 銷釘受力情況如圖6-26b所示，因銷釘有兩個面承受剪切，故每個剪切面上的剪力Fs=F/2，剪切面積為 （1）根據(jù)剪力強度條件，設計銷釘直徑 由式(6-20)可得 有 （2）根據(jù)擠壓強度條件，設計銷釘直徑由圖6-26b可知，銷釘上、下部擠壓面上的擠壓力，擠壓面積AbS=d× t，由式（6-23）得有