微分中值定理及其應(yīng)用12248

1、第六章 微分中值定理及其應(yīng)用§1 Lagrange 定理和函數(shù)的單調(diào)性【教學(xué)目的與要求】： 1、熟練掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理。 2、能應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式。 3、了解拉格朗日中值定理的推論1和推論2。 4、掌握拉格朗日中值定理的推論3（導(dǎo)數(shù)的極限定理），并能利用它求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 5、掌握函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的充要條件及嚴(yán)格單調(diào)的充要條件，并能運(yùn)用它證明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！局攸c(diǎn)】：拉格朗日中值定理及函數(shù)單調(diào)（或嚴(yán)格單調(diào)）的充要條件?！倦y點(diǎn)】：1、拉格朗日中值定理證明中輔助函數(shù)的引入。 2、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的技巧。一 、Roll中值定理與Lagrange中值定理定理6

2、.1 (Roll定理) 若滿足：（1）（2）在可導(dǎo) （3），則證明：必在有最大值M和最小值m，若M=m，則為上的常值函數(shù)，結(jié)論顯然；若Mm,則M與m必有其一在內(nèi)部某點(diǎn)取得，故為必極值點(diǎn)，由Fermat 知 .注：1）三個條件缺一不可 2）幾何意義例1 在R上可導(dǎo)，若無實(shí)根，則=0至多只有一實(shí)根定理6.2（Lagrange） 若滿足1），2）則 Lagrange中值公式說明：1、特解； 2、幾何意義證明：作輔助函數(shù)即可。Lagrange中值公式的基本形式例2 證明對一切h>-1,h0成立不等式證明：考慮函數(shù),x在0與h之間，顯然在0到h組成的閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上得，當(dāng)h>0時，；

3、當(dāng)-1<h<0時,1>1+h>1+h>0 ；由知，當(dāng)h>-1時,且h0時, 推論1 若f在區(qū)間I上可導(dǎo)，且則f為I上的一個常量函數(shù). 證：,設(shè)，則f在上滿足Lagrange中值定理的條件., s.t.；這說明I上任意兩點(diǎn)處f的值皆相等，故f在I上為常量函數(shù).例 證明：在上恒有 證明：設(shè) ,則f(x)在-1,1上連續(xù),在-1,1可導(dǎo).且， 而, 推論2 若f，g在I上皆可導(dǎo)，且，則在I上與至多只相差一個常數(shù)，即 （c為常數(shù)）推論3 （導(dǎo)數(shù)極限定理） 設(shè)f在的某鄰域內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，且存在，則f在可導(dǎo)，且證明：按左右導(dǎo)數(shù)證之.,f在上滿足Lagrange定理 條

4、件，, s.t. 又，當(dāng)時， 對上式兩邊取極限.設(shè)，同理可設(shè) ，又存在,記為K，故 例3 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:略 定理 區(qū)間I上處處可導(dǎo)的函數(shù)f其導(dǎo)函數(shù)在I上不可能有第一類間斷點(diǎn).二 、 單調(diào)函數(shù) 定理6.3 設(shè)f在I上可導(dǎo)，則f在I上遞增（減）的充要條件是證明：若f為增函數(shù)，當(dāng)時，由不等式性知，反之，若f在I上恒有，則對且對f在上用Lagrange中值定理，當(dāng),s.t. 在I上增。例4 設(shè)f(x)=x3-x, 試討論函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間.定理6.4 若f在內(nèi)可導(dǎo)，則f在內(nèi)嚴(yán)格單增（單減）的充要條件是() () 在內(nèi)的任何子區(qū)間上推 論 若f在區(qū)間I上可微，若則f在I上嚴(yán)格遞增（遞減）

5、例5 證明不等式 ex>x+1, x0.復(fù)述定理6.4及推論例1. 例1.        設(shè)，證明：證明：，：，用，例2 .例3 .例4 證明：，又中，.§2 Cauchy中值定理和不定式極限【教學(xué)目的與要求】：1、掌握柯西中值定理，了解柯西中值定理的幾何意義。 2、掌握羅比塔法則，并能熟練地運(yùn)用羅比塔法則求各種類型的不定式極限。 【教學(xué)重點(diǎn)】：柯西中值定理與羅比塔法則。【教學(xué)難點(diǎn)】：將其他類型不定式極限轉(zhuǎn)化為或型的極限的技巧。 一 、 Cauchy 設(shè)滿足： 在上都連續(xù)； 證明：作輔助函數(shù)，易知上滿足Rol

6、l定理的條件，故有結(jié)論。注： 1）可否對分別用Lagnange中值定理證之 2）幾何意義 ， 例1 證明：. 即證 證明： Cauchy中值定理的條件，即證。二 、不定式極限 （法則） 1、 型不定式極限定理6.6 若滿足：；證明：補(bǔ)充定義，用 Cauchy中值定理得： .注：1）定理中，仍為型不定式，可再次用法則例2 求例3 求 解：例4 求2、 型不定式集極限定理：若滿足； 在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且則證明：證A為定數(shù)的情形，由，對當(dāng)滿足時有，由，對在上用中值定理，即 由 有：，由 ，3、 其它類型不定式極限還有等型不等式，主要通過將其轉(zhuǎn)化為型來處理。例7 求例8 求解：此為型 例9 求 （ k

7、 為常數(shù)） 補(bǔ)例 求解：此屬型例10         求例11 設(shè)且已知解：例12        求解：先求習(xí)題 6 、設(shè)在點(diǎn)的某鄰域二階可導(dǎo)，證明對充分小的，使得解 ：令，當(dāng)充分小時，在上連續(xù)，在可導(dǎo)，不等于0，由中值定理證 （） 再令在用中值定理證取，即證§3 公式教學(xué)目的與要求：1、掌握帶有佩亞諾余項型的泰勒公式及帶有拉格朗日型余項的泰勒公式。 2、熟記基本初等函數(shù)的麥克勞林公式（帶有佩亞諾余項型及帶有拉格朗日型余項）。3、能利用泰勒公式計算某些不定

8、式的極限。 4、掌握泰勒公式在近似計算上的應(yīng)用。重點(diǎn)：帶有佩亞諾余項型的泰勒公式及帶有拉格朗日型余項的泰勒公式。 難點(diǎn)：泰勒公式在近似計算中的應(yīng)用。多項式逼近函數(shù)為其實(shí)質(zhì)一、 帶有型余項的公式在可微，則用一次多項式代替，誤差為一次項的高階無窮小，對實(shí)際問題需要誤差更高階無窮小為此，設(shè)在的各階導(dǎo)數(shù)分別為即 ， ， 這說明，多項式的各項系數(shù)由在的各階導(dǎo)數(shù)以唯一確定。對于一般函數(shù)，設(shè)其在有直到階導(dǎo)數(shù)，于是可以形式地放到一個多項式 (B)稱(B)為在的多項式的多項式系數(shù)，稱為系數(shù)，然后是否等于，若不等，誤差應(yīng)是多大呢？定理6.8 若函數(shù)在存在直到階導(dǎo)數(shù)，則有 即為證明： 要證證 由可知 k=0、1、2

9、n故 又顯然有而由存在，故在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，且時，對不等式，連續(xù)使用次法則可證即注1 若在附近滿足其中，為的次多項式，但未必是的Taylor多項式例 當(dāng) 為函數(shù)，在處只有一階導(dǎo)函數(shù)而無其他階導(dǎo)數(shù) 然而若改就有但非的Taylor多項式，即不等于注2 的帶有Peano型余項的次逼近多項式是唯一的，即注3 當(dāng)時，公式變?yōu)榉Q為的公式該記憶的幾個基本函數(shù)的公式 驗證， 證明 代入即證例例2 寫出的麥克勞林公式，并求與.例3 求在x=2處的泰勒公式.例4 求極限.二 、帶Lagrange型余項的Taylor公式 定理6.9若函數(shù)在上存在直至階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，則對任意給定的至少存在一點(diǎn)

10、，使得 =+ +證： 作輔助函數(shù) ，于是 要證 =或 ，不防設(shè)在連續(xù)，在可導(dǎo)，而 + = +而，由Cauchy中值定理 =這里 =注 注              當(dāng)時 Taylor公式即為Lagrange中值公式 當(dāng)時，Taylor公式為Maclaurin公式六個須記憶的基本初等函數(shù)帶Lagrange余項的Maclaurin公式，其中均滿足三 、在近似計算中的應(yīng)用例6 例6        （1）

11、計算的值，使其誤差不超過（2）證明為無理數(shù)解 （1）當(dāng)時 （*）當(dāng)時 而 約去（2）由（*）得即 （*）若為有理數(shù) 即 則當(dāng)時為正整數(shù)，從而（*）左邊為整數(shù)而右邊為非整數(shù)時例7 證明則 其中 證：（1）考察函數(shù)在上使用中值定理 有而 設(shè) 皆大于0又 綜合以上得 （2）由（1）=例8 設(shè)在可導(dǎo)，且，證明存在使得 證：即證故令 由Cauchy中值定理即得§4 函數(shù)的極值與最值【教學(xué)目的與要求】： 1、掌握極值的第一充分條件及第二充分條件。2、了解極值的第三充分條件。 3、能利用極值的充分條件求函數(shù)的極值。4、會求函數(shù)的最大值與最小值。并能解決運(yùn)用中的最大值、最小值問題。【重點(diǎn)】：極值的第

12、一充分條件及第二充分條件并利用它們求極值問題，求函數(shù)的最大、最小值?！倦y點(diǎn)】：求應(yīng)用問題中的最大、最小值。一 、極值的判斷定理6.10 （極值的第一充要條件）設(shè)在連續(xù)，在的某鄰域可導(dǎo)， 若當(dāng)時，當(dāng)時，則在取得極小值；若當(dāng)時，當(dāng)時，則在取得極大值。定例6.11 （極值的第二充要條件）設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且 若，則在取極大值；若，則在取極小值。證：由條件，在的Taylor分式為： 而是的無窮小，于是當(dāng)充分小時，的符號由的符號確定。 即，當(dāng)時與同號； 當(dāng)時即，在取得極小值。 當(dāng)時即，在取得極大值。例1 求的極值點(diǎn)與極值。例2 求的極值點(diǎn)解： 令 設(shè) （此時可用） 又 由Th6.11

13、知在取極小值。Th6.12 （極值的第三充分條件）設(shè)在的某鄰域內(nèi)有直到階導(dǎo)函數(shù)，在處階可導(dǎo)，且而 則： 當(dāng)為偶數(shù)時，在取極值，且時取極大值，取極小值；當(dāng)為奇數(shù)時，在不取極值。例3 求的極值解：令 得穩(wěn)定點(diǎn) 為極小值又 有 無極值 為極大值注: 定理6.12仍是充分條件。例 設(shè) 當(dāng)時 這兒表示當(dāng)時的一階導(dǎo)函數(shù)是與的一個多項式的積，設(shè) 則：故 但為極小值。二、最大值與最小值最值只可能在區(qū)間端點(diǎn),極值點(diǎn)取得:極值點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)例4 求在上的最值解： ，故在必有最值不存在。求出： 知：最小值為0，為最大值。§5 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)【教學(xué)目的與要求】： 1、理解凸函數(shù)及凹函數(shù)的概念。 2、

14、掌握凸（或凹）函數(shù)的兩個充要條件，并能應(yīng)用它們來求函數(shù)的凸或凹性區(qū)間。 3、掌握詹森不等式。 4、理解拐點(diǎn)的概念，并會求曲線的拐點(diǎn)?！局攸c(diǎn)】：1、凸凹函數(shù)的兩個充要條件。 2、求函數(shù)的凸（凹）性區(qū)間及曲線的拐點(diǎn)?！倦y點(diǎn)】：詹森不等式。定義1 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)若對任意兩點(diǎn)和任意的實(shí)數(shù)，總有則稱為上的凸函數(shù)反之，若總有則稱為上的凹函數(shù) 若上面二不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)地分別稱為嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù)注：若在上凸，則-在上凹顯然引理 為上的凸函數(shù)的充分必要條件是：對與上的任意三點(diǎn)總有證：“必要性” 記=，則（易驗證）在上凸=+ （*）“充分性” 在上任取兩點(diǎn)，在上任取一點(diǎn) 于是，由條件（*

15、）成立逆推即可得在上凸同理可得 在上凸，且，有 定理6.13 設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，則以下論斷互相等價 1.為上凸函數(shù)2.為上的增函數(shù)3.對上任意兩點(diǎn)，有證：12 設(shè)在上凸，對，當(dāng)h>0充分小時，使得-h，+h，于是 -h<<<+h 由于在上凸，由引理 可導(dǎo) 令h0 設(shè)在上增23 對在，（a，b）上用拉格朗日中值定理若，則在上也用同樣的結(jié)論換為，即31設(shè)，令=+（1-）-=（1-）（） 由3有 +得定理 6.14 設(shè)在上二階可導(dǎo)，則在上凸（凹）函數(shù)的充要條件是,(). 例1.討論函數(shù)的凸(凹)性區(qū)間. 例2. 為內(nèi)的可導(dǎo)凸（凹）函數(shù)，則為的極值點(diǎn)的充分條件是為穩(wěn)定點(diǎn)。證明：設(shè)

16、為穩(wěn)定點(diǎn)，即.對.由定理6.13知 故，為的極值點(diǎn).設(shè)為的極值點(diǎn)，在可導(dǎo)，由Fermat定理知 .即為的穩(wěn)定點(diǎn).   設(shè)在開區(qū)間內(nèi)的凸（凹）函數(shù)，則在內(nèi)每一點(diǎn)都存在左，右導(dǎo) 數(shù).證明：只證在內(nèi)凸的情形. 對.存在正數(shù). () 由引理令，則在增.對且,則對，只要就有由于上式左端為一常數(shù)，故在上有下界，由定理3.10 當(dāng)時極限存在.即 存在.同理可證存在.由此可知開區(qū)間上的凸函數(shù)和凹函數(shù)皆是連續(xù)的例3 若在上為凸函數(shù)，則對，. 證明：當(dāng)n=2時， 由定義1. 命題成立.設(shè)n=k時命題成立，即對.及 有現(xiàn)設(shè).及. 令.則例4 設(shè)均大于零，則.證明：注意函數(shù) ，則故f在（0，）為嚴(yán)

17、格增函數(shù)，由Jensen不等式有即 亦即 又，代入上式左端得定義2 設(shè)曲線在點(diǎn)處有穿過曲線的切線且在切點(diǎn)近旁，曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的，這時稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).例 曲線在為其拐點(diǎn)拐點(diǎn)為定理6.15 若在二階可導(dǎo)，則為曲線的拐點(diǎn)的必要條件是證：在二階可導(dǎo)，故必存在的一個鄰域，假設(shè)在中一階可導(dǎo)，若為曲線的拐點(diǎn)，則在兩旁增減性剛好相反，故必為的一個極值點(diǎn)。 注:定理6.15中僅為是拐點(diǎn)的必要條件并非充分條件，如而并非曲線的拐點(diǎn)定理6.16設(shè)在可導(dǎo)，在某內(nèi)二階可導(dǎo)，若在和上符號相反，則為曲線的拐點(diǎn)注:若為曲線的一個拐點(diǎn)，則曲線點(diǎn)處肯定有切線（由定義）但卻不一定存在，如在處§6 函數(shù)圖象的討論【教學(xué)目的與要求】： 1、理解作函數(shù)圖象的一般程序。 2、能利用上面學(xué)過的知識討論函數(shù)的性態(tài)并作出其圖象。 【重點(diǎn)】：作函數(shù)圖象的一般程序?！倦y點(diǎn)】：求曲線的漸近線。步驟1 求函數(shù)的定義域；2 觀察函數(shù)的周期性，奇偶性的縮小作圖范圍3 求函數(shù)的一些特殊點(diǎn)，與軸的拐點(diǎn)，