彈性薄板小撓彎曲問(wèn)題的基礎(chǔ)變分原理K

1、第6章 彈性薄板小撓度彎曲問(wèn)題的基礎(chǔ)變分原理平分板厚度的平面稱為板的中面，一般地，當(dāng)板的厚度不大于板中面最小尺寸的時(shí)的板稱為薄板，薄板的中面是一個(gè)平面。薄板在垂直于中面的載荷作用下發(fā)生彎曲時(shí)，中面變形所形成的曲面稱為彈性曲面或撓度面，中面內(nèi)各點(diǎn)在未變形中面垂直方向的位移稱為板的撓度。薄板彎曲的精確理論應(yīng)是滿足彈性力學(xué)的全部基本方程，但這在數(shù)學(xué)上將會(huì)遇到很大的困難。1850年，G.R.基爾霍夫（Kirchhoff Gustav Robert，基爾霍夫 古斯塔夫·羅伯特，德國(guó)物理學(xué)家，1824-1887年）除采用彈性力學(xué)的基本假設(shè)外，還提出了一些補(bǔ)充的假設(shè)，從而建立起了薄板小撓度彎曲的近

2、似理論。這些假設(shè)是：第一，變形前垂直于板中面的直線，在板變形后仍為直線，并垂直于變形后的中面，而且不經(jīng)受伸縮；第二，與中面平行的各面上的正應(yīng)力與應(yīng)力,和相比屬于小量；第三，在橫向載荷作用下板發(fā)生彎曲時(shí)，板的中面并不伸長(zhǎng)，這也就是說(shuō)，薄板中面內(nèi)各點(diǎn)都沒(méi)有平行于中面的位移分量。用變分法可以導(dǎo)出薄板彎曲問(wèn)題的平衡微分方程和邊界條件。當(dāng)板的形狀和邊界條件較復(fù)雜時(shí)，直接求解偏微分方程時(shí)比較困難的，以變分法為基礎(chǔ)的各種近似解是求解這類問(wèn)題的一個(gè)重要途徑。本章討論了用于薄板小撓度彎曲問(wèn)題的一些基礎(chǔ)變分原理，這包括虛功原理、最小位能原理、最小余能原理、兩類自變量廣義變分原理并推廣到三類自變量廣義變分原理。&#

3、167;6.1 基本方程與邊界條件回顧取坐標(biāo)平面與中面重合，軸垂直于中面，,和軸構(gòu)成一個(gè)右手直角笛卡兒坐標(biāo)系。變形后的板內(nèi)各點(diǎn)沿,和軸方向的位移分別用,和表示。由Kirchhoff假設(shè)，可以得到， （6-1）并利用彈性力學(xué)中位移與應(yīng)變之間的關(guān)系式，可以得到薄板中任意點(diǎn)的應(yīng)變分量為， （6-2）其余3個(gè)應(yīng)變分量,和根據(jù)假設(shè)都等于零，即， （6-3）由薄板的平衡關(guān)系，可以確定板的橫向分布載荷與剪力,以及彎矩,和扭矩（,統(tǒng)稱為內(nèi)力矩）與,之間的關(guān)系式。這里要注意，,是單位中面寬度內(nèi)的內(nèi)力矩，它們的因次是千克力，,是單位中面寬度內(nèi)的內(nèi)力，它們的因次是千克力/米。彎矩、扭矩和剪力的正方向如圖6-1所示。

4、圖6-1 彎矩、扭矩和剪力的正方向平衡方程為 （6-4）在薄板彎曲理論中，剪力,不產(chǎn)生應(yīng)變，因而也不作功，因此可以從（6-4）式中消去,，得到 （6-5）以后凡提到薄板彎曲平衡方程，都是指（6-5）式而言。而內(nèi)力,不再作為獨(dú)立的量看待。上面兩組方程僅僅是力的平衡方程，它們未涉及到板的材料性質(zhì)。與內(nèi)力矩相對(duì)應(yīng)的廣義應(yīng)變是撓度面的曲率，在小撓度彎曲理論中，它們與撓度的關(guān)系為， （6-6）內(nèi)力矩與曲率的關(guān)系可以通過(guò)應(yīng)變能密度表示出來(lái)，若將表示為的函數(shù)，則有， （6-7）這種關(guān)系式對(duì)于線性或非線性材料都成立。對(duì)于線性的彈性體，是的正定的二次齊次函數(shù)。在各向同性的情況下，的算式為 （6-8）將（6-8）

5、式代入（6-7）式，然后再將（6-6）式代入，得到內(nèi)力矩與撓度的關(guān)系式為 （6-9）以上各式中稱為板的彎曲剛度，其中為板的厚度，為材料的泊松系數(shù)。如果我們定義為廣義應(yīng)變，為廣義應(yīng)力，即 （6-10）則有 （6-11）式中的為彎曲剛度矩陣。（6-8）式可以寫為 （6-12）余應(yīng)變能密度看作是內(nèi)力矩,的函數(shù)，其值定義為 （6-13）并且有， （6-14）同樣，對(duì)于線性的彈性體，是,的正定的二次齊次函數(shù)。如果以廣義應(yīng)力表示余應(yīng)變能密度，則有 （6-15）式中。（6-12）式與（6-15）式都是以后經(jīng)常要用到的表達(dá)式。注意，對(duì)于線彈性薄板，應(yīng)變能密度與余應(yīng)變能密度在數(shù)值上是相等的，即。將（6-9）式代

6、入（6-5）式，得到以撓度表示的各向同性薄板的平衡方程為 （6-16）或 （6-16/）在處理具體問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)而引起的變換。如果坐標(biāo)由轉(zhuǎn)變?yōu)?，如圖6-2所示，則兩個(gè)坐標(biāo)系中坐標(biāo)的關(guān)系為 （6-17）對(duì)于撓度，有，從而圖6-2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 （6-18）及二階偏導(dǎo)為 （6-19）彎矩、扭矩的變換公式為 （6-20）剪力的變換公式為 （6-21）在板的彎曲問(wèn)題中，有三種典型的邊界條件，簡(jiǎn)述如下。設(shè)為板在平面上的定義域，板的邊界為，令為沿邊界外向法線的方向，為邊界的切線，（,）的轉(zhuǎn)向與（,）的轉(zhuǎn)向是一致的，如圖6-3所示。第一種邊界為固支邊界，在這種邊界上，其撓度與法向斜率均為給定的，即有

7、（在上） （6-22）第二種邊界為簡(jiǎn)支邊界，在這種邊界上，其撓度與法向彎矩為給定的，即有圖6-3 板的邊界 （在上） （6-23）第三種邊界為自由邊界，在自由邊界上，作用在邊界上的力為給定的。從內(nèi)力和力矩看，在邊界上共有三個(gè)，即，但其中并不完全獨(dú)立，因?yàn)閺淖鞴嵌葋?lái)看，和并不完全獨(dú)立。事實(shí)上，若邊界上的撓度有一變分，則在上所作之功是 （6-24）利用分部積分，上式又可以寫成 （6-25）由（6-25）式可見(jiàn)，切向扭矩可以分解為沿著周邊邊界的分布載荷及作用于兩端的集中力，而兩端是支座（不是固支邊便是簡(jiǎn)支邊）。從實(shí)際板的受力來(lái)分析，可以看到集中力為作用在角點(diǎn)上，一般是影響到支座上的力，而對(duì)板的變形

8、無(wú)影響。因此，分布載荷與剪力構(gòu)成沿自由邊界上的分布力，這部分邊界力的虛功為與相對(duì)應(yīng)的廣義力為，自由邊的邊界條件應(yīng)取為 （在上） (6-26)為已知的作用在上的線分布載荷。§6.2 虛功原理和功的互等定理力學(xué)上，可能位移是指滿足位移連續(xù)條件的位移。在薄板彎曲問(wèn)題中只有一個(gè)廣義位移，因此，可能作為可能位移的條件是：是,的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，并且在邊界上滿足連續(xù)條件： （6-27）同樣，由可能位移按式（6-10）也可得到相應(yīng)的可能曲率?？赡軆?nèi)力是指與某種外力保持平衡關(guān)系的內(nèi)力。在薄板彎曲問(wèn)題中，內(nèi)力有, ，這三個(gè)內(nèi)力組成一組可能內(nèi)力的條件是：在板的內(nèi)部滿足平衡方程（6-5）式，在板的邊界上滿足條

9、件 （6-28）根據(jù)能量守恒定理，外力在可能位移上所作的功等于可能內(nèi)力在可能應(yīng)變上所作的功，通常把這一關(guān)系叫做虛功原理。在薄板彎曲問(wèn)題中，若把支座反力也看作外力，則虛功原理的數(shù)學(xué)形式是 （6-29）上式中，為可能撓度，是可能內(nèi)力，它們之間可以完全獨(dú)立而彼此無(wú)任何聯(lián)系。下面給出（6-29）式的數(shù)學(xué)證明。為了書寫簡(jiǎn)單，引入下面符號(hào)：現(xiàn)在將取為的方向，取為的方向，則可以利用（6-18）、（6-20）、（6-21）式等將等用 等表示出來(lái)，下面證明中將用到這些公式。從（6-29）式中，等號(hào)右邊兩個(gè)線積分可作如下化簡(jiǎn)（并引用（6-22）、（6-23）式的邊界條件），并得到 （6-30）再將（6-4）式的關(guān)

10、系代入（6-29）式右邊第一個(gè)積分項(xiàng)里的中，展開(kāi)后為 （6-31）將（6-30）式和（6-31）式代入（6-29）式的右端，可以證明其左端等于右端。對(duì)于虛功原理方程（6-29）式，還可以表示為以下恒等式 （6-32）式中的代表（6-4）式前兩個(gè)方程的縮寫。這里所謂恒等式，是指公式（6-32）中的是四個(gè)可以任意選取的函數(shù)。該式要求具有一定連續(xù)可導(dǎo)性質(zhì)，例如要求的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是連續(xù)而且是可導(dǎo)的。利用上面說(shuō)明的虛功方程（6-29）式，我們很容易導(dǎo)出功的互等定理。在（6-29）式中，應(yīng)再次指明內(nèi)力與撓度是彼此獨(dú)立的，它們之間是無(wú)任何聯(lián)系的?，F(xiàn)在有兩組載荷對(duì)同一塊板作用，形成兩組解，分別為第一組載荷作用

11、下，產(chǎn)生的內(nèi)力與撓度為第二組載荷作用下，產(chǎn)生的內(nèi)力與撓度為分別形成的虛功方程為第一組外載及內(nèi)力取第二組的位移（）為虛位移，有 （6-33）第二組外載及內(nèi)力取第一組的位移（）為虛位移，有 （6-34）（6-33）式等號(hào)右邊可以引用（6-11）式，得到下式（6-35）考慮到，則（6-35）式可寫成 （6-36）（6-36）式即是薄板的功的互等定理，還可以寫成 （6-37）由于采用了線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，所以無(wú)論是外力功的互等定理（6-37）式，還是內(nèi)力功的互等定理（6-36）式，都是能量守恒原理和線性性質(zhì)的后果。§6.3 最小位能原理考慮板在橫向分布載荷作用下處于平衡，并假定在板的邊界上三

12、種支持都存在的情況。整個(gè)板的總位能包括兩部分，一部分為板的應(yīng)變能，它的算式為 （6-38）為板的應(yīng)變能密度，其算式如（6-12）式。另一部分為外力包括分布載荷及邊界力的位能，可寫為 （6-39）于是，整個(gè)板的總位能為 （6-40）在最小位能原理中，撓度為唯一經(jīng)受變分的自變函數(shù)，稱這種變分為“一個(gè)自變函數(shù)的變分問(wèn)題”。令是精確解，與相應(yīng)的彎矩、剪力為等，它們滿足方程（6-4）式、（6-11）式和邊界條件（6-22）、（6-23）及（6-26）式。令為一個(gè)可能撓度，則最小位能原理指出：與精確解相應(yīng)的總位能小于任何其它可能撓度相應(yīng)的總位能?，F(xiàn)在令 （6-41）滿足下面的邊界條件 （在邊界上） （在邊

13、界上） （6-42）與相應(yīng)的總位能為 （6-43）式中是把（6-41）式代入（6-38）式，以代替所得到的結(jié)果，即 （6-44）其中 （6-45）而 （6-46）根據(jù)（6-29）式的虛功方程，可以證明這樣便有 （6-47）從（6-44）式，不論為任何不全為零的組合，恒有。因此有 （6-48）這便是最小位能原理。若將最小位能原理寫成變分的形式，則有 （6-49）利用分部積分，參考（6-30）的推導(dǎo)，由（6-40）式可以得到 （6-50）§6.4 最小余能原理考慮與上節(jié)相同的薄板彎曲問(wèn)題。令為精確解。再命為一組可能內(nèi)力，它們滿足下列方程 （6-51）和在邊界、上的邊界條件在上： （6-5

14、2a）在上： ， （6-52b）系統(tǒng)的余能包括兩部分。一部分為余應(yīng)變能，它的算式為 （6-53）式中為余應(yīng)變能密度。對(duì)于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，它可以表示為（6-15）式。另一部分為已知的邊界位移的余功，它的算式為 （6-54）整個(gè)板的總余能為 （6-55）總余能為自變函數(shù)的泛函?，F(xiàn)在取， 且滿足下列方程和邊界條件 （6-56）在上： （6-57a）在上： （6-57b）以上兩式表示內(nèi)力增量在邊界上對(duì)應(yīng)為零的外載荷。并有 （6-58）于是有（6-59）式中為內(nèi)力增量相應(yīng)的余應(yīng)變能，而中間一項(xiàng)代表下列算式： （6-60）根據(jù)（6-29）式的虛功方程，可以證明這樣（6-59）式可以化為 （6-61）

15、如果不全為零，那么由（6-15）式可知于是可得到 （6-62）這便是最小余能原理。將最小余能原理表達(dá)成變分形式，為 （6-63）最小余能原理是一種條件變分原理，因?yàn)榭赡軆?nèi)力必須滿足平衡條件（6-51）式。Southwell（索斯韋爾）指出，利用應(yīng)力函數(shù)方法可以把以上條件變分問(wèn)題化為無(wú)條件變分問(wèn)題。齊次方程的解可以用兩個(gè)應(yīng)力函數(shù)與表示之，如 （6-64）再命是平衡方程的一組特解。于是可將內(nèi)力表達(dá)為 （6-65）將以上算式代入（6-63）式，可將余能表示成自變量和的泛函。自變量和除滿足力的邊界條件（6-52）式外，不受其它條件的限制，這就把原來(lái)的條件變分原理轉(zhuǎn)化為無(wú)條件變分原理。§6.5

16、 二類自變量廣義變分原理上面所介紹的二種變分原理都是最小值原理。在最小值原理中，自變量必須事前滿足一定的條件，所以稱它們?yōu)闂l件變分原理。最小值原理雖然具有突出的優(yōu)點(diǎn)，但用起來(lái)不夠方便。而無(wú)條件廣義變分原理，因?yàn)樽宰兞靠梢元?dú)立自主變動(dòng)，事前不受任何限制，用起來(lái)則方便多了。但也同時(shí)帶來(lái)共同的缺點(diǎn)，就是所涉及的泛函都只取駐值，而不是極值。廣義的變分原理不過(guò)是拉格朗日乘子法在組成泛函過(guò)程的具體應(yīng)用而已，或?qū)窭嗜粘俗淤x以力學(xué)上的說(shuō)明。繼續(xù)考慮前面兩節(jié)中討論過(guò)的問(wèn)題，對(duì)同一塊板的彎曲定義兩個(gè)泛函如下： （6-66） （6-67）利用（6-32）式，注意到邊界的條件，可以證明 （6-68）顯然，當(dāng)滿足物

17、理關(guān)系，及位移邊界連續(xù) （在邊界上） （在邊界上） 的條件下，就等于總位能。這里的下標(biāo)“2”表示這類泛函包括有二類變量的廣義位能，一類為內(nèi)力矩、和，另一類為撓度。所謂二類變量廣義變分原理，是指薄板彎曲問(wèn)題的精確解，使二類變量廣義位能和二類變量廣義余能取駐值。即把、四個(gè)函數(shù)看作是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的函數(shù)，并且使它們的變分不受任何限制，那么變分式 或 （6-69）相當(dāng)于薄板彎曲問(wèn)題中的全部方程和邊界條件，即平衡方程（6-4）式，內(nèi)力矩與撓度關(guān)系（6-11），以及邊界條件（6-22）、（6-23）、（6-26）式?，F(xiàn)在證明上述結(jié)論。從公式（6-66）得到 （6-70）（6-32）式中將改為，有 （6-71

18、）將上式代入（6-70）式，經(jīng)過(guò)整理后，可得 （6-72）因?yàn)?（其中,均為任意獨(dú)立自變函數(shù)的組合，故也為任意的）為任意的，故有第一、二、三項(xiàng)形成物理關(guān)系（6-14）式，第四項(xiàng)為平衡方程（6-4）式，最后的四個(gè)邊界積分中的被積函數(shù)式分別表示了邊界條件（6-22）、（6-23）及（6-26）各式。由此可知，因?yàn)橛煽梢詫?dǎo)出以上各方程，故精確解能使。二類變量廣義變分原理既是最小位能原理的推廣，也是最小余能原理的推廣。從公式上來(lái)看是的推廣表現(xiàn)的格外明顯，在最小余能原理中，自變量?jī)?nèi)力要求滿足平衡方程（6-4）是和有關(guān)力的邊界條件。將這些方程和條件通過(guò)恰當(dāng)?shù)睦窭嗜粘俗?并入泛函之中，得到 （6-73）根

19、據(jù)乘子，所滿足的方程可以求出其相應(yīng)的關(guān)系。對(duì)（6-73）式取變分，可得 （6-74）對(duì)上式中右側(cè)第一項(xiàng)，注意到（6-14）式和（6-10）式，可以展開(kāi)如下引用（6-32）式，其中以,代替原式中的, ,等，得到下式（6-75）將（6-75）式代入（6-74）式中，經(jīng)過(guò)整理可得下式 （6-76）因?yàn)?為任意的，故由可得到以下各項(xiàng)（1）和（在內(nèi)）；（2）（在邊界上），（在，邊界上）；（3）滿足所有邊界條件（6-22）、（6-23）、（6-26）式。將上面求出的,代回到（6-73）式，便得到無(wú)條件廣義余能泛函。現(xiàn)在再舉板彎曲例子，說(shuō)明拉格朗日乘子法的應(yīng)用。處理此類問(wèn)題，關(guān)鍵在于靈活使用拉格朗日乘子法。

20、在有限元分析中，諸如“雜交元素”等，其實(shí)質(zhì)都是利用拉格朗日乘子法處理具體的變分問(wèn)題。下面將討論如何利用拉格朗日乘子法解決指定邊界位移的薄板彎曲問(wèn)題的廣義變分原理泛函。有一周邊簡(jiǎn)支的薄板，設(shè)簡(jiǎn)支邊與板不在同一平面上，而略有差異，其差別為。這里就是邊界上的指定位移，它屬于泛函變分的約束條件。板的應(yīng)變能為 （6-77）因?yàn)樵摪暹吔缟衔灰剖墙o定的，由此將引起板的撓度，即是由邊界指定位移引起的，板上無(wú)外載荷作用，故知板的總位能就等于其應(yīng)變能，即 （6-78）為板的周邊所圍的面積，在周邊上（也包括角點(diǎn)上）應(yīng)滿足條件 （6-79）因?yàn)橹苓吅?jiǎn)支（對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度不大的支持近似地可作這一假定），邊的轉(zhuǎn)角不受限制。最小

21、位能原理指出：在滿足（6-79）式的一切中使（6-78）式的勢(shì)能最小的為本題的解。這一原理是在滿足（6-79）式為前提下，提出的泛函變分問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是屬于條件變分極值問(wèn)題。將此條件變分極值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為無(wú)條件變分問(wèn)題。為此，我們可以利用拉格朗日乘子法，組成新的泛函 （6-80）其中,為待定的拉格朗日乘子，為周邊坐標(biāo)的函數(shù)，為角點(diǎn)的值。將變分，（6-81）對(duì)（6-81）式的變分可以作如下運(yùn)算，如可寫為 （6-82）首先，利用分部積分，（6-82）式第一項(xiàng)中展開(kāi)可以化為以上四式代入（6-82）式中之第一項(xiàng)，可得（暫不考慮積分） （6-83）利用第一章中的（1-48）、（1-52）式，并將及的關(guān)系代入

22、，（6-82）式前一項(xiàng)可寫為（6-84）現(xiàn)在，再來(lái)分解（6-82）式中的第二項(xiàng)利用第一章中的（1-48）、（1-51）、（1-52）式，上式可以化為上式第一項(xiàng)中的及分別利用（1-51）式展開(kāi)，并分別運(yùn)算，可得下式利用（1-51）、（1-52）式，上式可化為 （6-85）將（6-84）、（6-85）式代入（6-82）式中，然后再代入（6-81）式，經(jīng)過(guò)整理后，可得 （6-86）由于都是獨(dú)立的變量，即可得到（1） （在內(nèi)）（2） （在內(nèi)）（3） （在內(nèi)）（4） （在內(nèi)）（5） （在角點(diǎn)上）（6） （在角點(diǎn)上） （6-87）上式中的各式分別表示：（1）為板的平衡方程，即是歐拉方程；（2）為邊界已知的

23、約束條件；（3）為邊界上彎矩為零的自然邊界條件；（4）、（6）分別表示了拉格朗日算子的表達(dá)式，這里的及分別代表了邊界上的等效剪力和角點(diǎn)反力；（5）為角度上已知的邊界條件。將（6-87）式中（4）的及（6）的代入（6-80）式，即得 （6-88）在利用這個(gè)廣義變分原理的泛函進(jìn)行變分時(shí)，邊界約束條件（6-87）式中的（2），角點(diǎn)約束條件（6-87）式中的（5）以及（6-87）式中的（4）和（6）都是這個(gè)變分的自然邊界條件。在近似計(jì)算中，這類自然邊界條件是可以自動(dòng)近似滿足的。如果錯(cuò)誤地使用拉格朗日乘子法，把原變分泛函中自然能滿足的自然邊界條件，作為約束邊界條件處理時(shí)，廣義變分的結(jié)果可以得到所設(shè)的拉格朗日乘子等于零。如果得到這樣的結(jié)果，則就直接告訴人們，原來(lái)認(rèn)為是附加條件的約束條件，在實(shí)質(zhì)上是原泛函的自然邊界條件，所設(shè)的拉格朗日乘子是多余的。同時(shí)，也說(shuō)明拉格朗日乘子法具有自動(dòng)防止錯(cuò)誤的能力?？傊?，如果所給條件并非原泛函的自然邊界條件，則我們就能用待定的拉格朗日乘子