數(shù)學(xué)的思維特征與研究方法ppt課件

1、 數(shù)學(xué)的思維特征 與研究方法1課題課題：數(shù)列求和：數(shù)列求和（高三第一輪復(fù)習(xí)課）1.教學(xué)過程：課堂教學(xué)分兩個(gè)階段：第一階段是第一階段是“知識聚焦知識聚焦”（學(xué)案用語）（學(xué)案用語）. 授課教師引導(dǎo)學(xué)生回憶等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式； 回顧一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和，主要是類似自然數(shù)1+2+3+n等構(gòu)成的特殊的等差數(shù)列的求和； 并復(fù)習(xí)了幾種數(shù)列求和的常用方法：（1）分組求和法；（2）裂項(xiàng)相消法；（3）錯(cuò)位相減法；（4）倒序相加法.2第二階段:“點(diǎn)面講考向”分為三個(gè)探究：探究一是分組求和法；探究二是裂項(xiàng)相消法求和；探究三是錯(cuò)位相減法求和. 每個(gè)探究各配有一個(gè)或兩個(gè)例題.在每一個(gè)探究完成之后，教師都

2、要給出一個(gè)小結(jié).32.教學(xué)邏輯的分析： 本節(jié)課授課教師對高三復(fù)習(xí)的定位是怎樣的呢？ 作為高三教師是否明確數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的目的是什么？ 具體到本節(jié)課就是教師是否關(guān)注學(xué)生對數(shù)列求和問題的理解和研究呢？4 我們看到的教學(xué)是教師更關(guān)注學(xué)生對數(shù)列求和公式的記憶是否準(zhǔn)確和對數(shù)列求和四種方法是否能夠準(zhǔn)確地應(yīng)用. 顯然，這位教師的復(fù)習(xí)定位是有問題的.他把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)包括數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)理解為學(xué)生記憶公式、結(jié)論和方法，并能夠應(yīng)用方法解決問題，忽視的是學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的發(fā)展和思維能力的培養(yǎng).5 實(shí)際上，等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的復(fù)習(xí)的落腳點(diǎn)應(yīng)該是放在這兩個(gè)公式推導(dǎo)的數(shù)學(xué)思維過程中. 也就是為什么在等差數(shù)列的前n項(xiàng)的求和采用

3、的是倒序相加法而在等比數(shù)列的前n項(xiàng)的求和時(shí)運(yùn)用的卻是錯(cuò)位相減法？6 對于這兩個(gè)問題的回答最終都要?dú)w結(jié)為對等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的認(rèn)識上. 如果是從這個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生去思考，就會給本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)打下很好的思維基礎(chǔ).7 人人教教B版是通過生產(chǎn)實(shí)踐中的一個(gè)例子版是通過生產(chǎn)實(shí)踐中的一個(gè)例子“計(jì)算按等計(jì)算按等差數(shù)列碼放的一堆鋼管的個(gè)數(shù)差數(shù)列碼放的一堆鋼管的個(gè)數(shù)”為問題情境，設(shè)想在為問題情境，設(shè)想在這堆呈梯形的鋼管倒放的情況下和原來的那堆拼在一這堆呈梯形的鋼管倒放的情況下和原來的那堆拼在一起得平行四邊形，從而計(jì)算出鋼管的總數(shù)起得平行四邊形，從而計(jì)算出鋼管的總數(shù).8 人教A版教材的做法是通過200多

4、年前被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯其家喻戶曉的故事“計(jì)算1+2+3+100”做為引子，通過一個(gè)探究活動(dòng)“高斯的算法妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎？”提出了所謂的“倒序相加”的方法.9 可以看出，兩套教材都不約而同的采取了用生活或生產(chǎn)中的具體的實(shí)際例子為背景作為“倒序相加”方法提出的合理依據(jù)，符合新課程所提出的“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值”的理念.在課堂教學(xué)中很多教師也是采取這樣的引入進(jìn)行等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)的.10 但是，無論是從數(shù)學(xué)知識之間的邏輯看，還是從教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在關(guān)系看，上述做法又顯得牽強(qiáng)、不夠自然.如果每一個(gè)數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)的背

5、后都有這樣的一個(gè)生動(dòng)的實(shí)例作為依據(jù)，那倒真是有趣的數(shù)學(xué)了.11 數(shù)學(xué)教學(xué)的思維含量的多少是數(shù)學(xué)課堂是否有質(zhì)量的標(biāo)志，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)就是要能夠把自己對所教授知識的深入研究和深刻的理解融入到自己的課堂教學(xué)的實(shí)踐中，“人云亦云”式地、缺乏教師個(gè)人研究、思考的教學(xué)，終究是沒有個(gè)人特色的教學(xué)； 缺乏數(shù)學(xué)邏輯的數(shù)學(xué)教學(xué)哪怕是“生動(dòng)的”、哪怕是所謂的能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)“興趣”的教學(xué)設(shè)計(jì)，也終究是違背數(shù)學(xué)教學(xué)理念和數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值的.12 在“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)中，符合邏輯的教學(xué)應(yīng)該是研究等差數(shù)列性質(zhì)的繼續(xù).特別是在上一節(jié)進(jìn)行完“等差數(shù)列”的教學(xué)之后，應(yīng)該是把學(xué)生的研究等差數(shù)列的思維引向深入： 通過對等差數(shù)

6、列的性質(zhì)的分析，學(xué)生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列與“和”有關(guān)的一個(gè)非常重要的性質(zhì)，即這個(gè)數(shù)列的某兩項(xiàng)的序號和如果等于另外的某兩項(xiàng)的序號和，則其對應(yīng)的這兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和就就與另外的兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和相等.13 如果用更形象一點(diǎn)的話來敘述，就是在等差數(shù)列中，與首項(xiàng)和第n項(xiàng)距離相等的任意兩項(xiàng)的和都與首項(xiàng)和第n項(xiàng)的和相等. 如何運(yùn)用等差數(shù)列的這條性質(zhì)求其前n項(xiàng)和呢？能否回避對序號n的奇偶性的討論就可以計(jì)算出等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和呢？教師可以通過類似這樣的問題引發(fā)學(xué)生的思考，盡量能夠比較自然、讓學(xué)生能夠接受的方式提出“倒序相加”的方法.14 上述的教學(xué)設(shè)計(jì)的價(jià)值在于，“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)目的不僅僅是推導(dǎo)出一個(gè)求和公式

7、，更重要的是要讓學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)加深對等差數(shù)列的認(rèn)識，能夠?qū)W會如何運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問題，使學(xué)生對等差數(shù)列的研究方法有更深一層的理解.15課題課題：數(shù)列求和：數(shù)列求和（高三第一輪復(fù)習(xí)課） 對于數(shù)列求和的四種方法的教學(xué)也要把教學(xué)的重點(diǎn)放在對問題的理解上和解決數(shù)列求和的方法的探尋上. 不要像實(shí)際教學(xué)過程那樣，先復(fù)習(xí)方法，再在所謂“探究”的幌子下進(jìn)行方法的操練.這樣的“探究”學(xué)生沒有思維的空間，他（她）不需要想什么，只需要把“探究”名義下的“方法”運(yùn)用到相應(yīng)的例題解決中即可.16 實(shí)際上，符合教學(xué)邏輯的做法是直接給出數(shù)列求和的問題，讓學(xué)生在對問題的理解和分析中去探索相應(yīng)的數(shù)列求和的方法. 而

8、這種方法的確定學(xué)生需要明確：首先要判斷這個(gè)數(shù)列的屬性，如果是特殊的數(shù)列如等差數(shù)列或等比數(shù)列，那就直接用求和公式；如果不是特殊數(shù)列，那就研究這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，選擇合適的方法.17 本節(jié)課授課教師對每一種數(shù)列求和的方法都做了小結(jié)，力圖幫助學(xué)生提煉出一些東西來.但是從教學(xué)的實(shí)際過程看，這樣的提煉有點(diǎn)就事論事，提煉的高度不夠.原因在于授課教師還是滿足于對于具體方法的落實(shí)上，而沒有看到方法背后的思維的價(jià)值.課題課題：數(shù)列求和：數(shù)列求和（高三第一輪復(fù)習(xí)課）18 如果這位教師在和學(xué)生進(jìn)行充分的思維活動(dòng)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生能夠感悟到數(shù)列求和的四種方法其實(shí)就是一種方法. 即在判斷出某數(shù)列

9、不是特殊數(shù)列之后，只要研究它的通項(xiàng)公式，從通項(xiàng)公式也就是從項(xiàng)與n的關(guān)系中找到解決問題的方法.19 本節(jié)課的思維邏輯的基礎(chǔ)是對“數(shù)列的前n項(xiàng)和”這一概念的深刻理解. 數(shù)列的前n項(xiàng)和不是一個(gè)簡單的求和計(jì)算. 我們要明確的是數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn也是一個(gè)數(shù)列，也就是數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn關(guān)于n的函數(shù).20 如此，Sn也有可能是特殊的數(shù)列如等差數(shù)列或等比數(shù)列；而求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn本質(zhì)上是確定Sn和序號n的關(guān)系，也就是明確函數(shù)的自變量n與應(yīng)變量Sn的關(guān)系.課題課題：數(shù)列求和：數(shù)列求和（高三第一輪復(fù)習(xí)課）2122 我們的數(shù)學(xué)教學(xué)是一定要能夠給學(xué)生帶來觀念的轉(zhuǎn)變的，這種轉(zhuǎn)變的基礎(chǔ)在于教師對數(shù)學(xué)概念的深刻理解.我們

10、要堅(jiān)持用最基本概念來給學(xué)生們理解教學(xué)的內(nèi)容，要教會學(xué)生會用最基本的數(shù)學(xué)概念來理解學(xué)習(xí)的知識.只有這樣，我們的課堂教學(xué)才能夠?qū)崿F(xiàn)其真正的教育價(jià)值.231.要挖掘知識背后的思維的素材2.要教給學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題的方法3.要提煉研究問題的一般方法4.要滲透學(xué)科的觀點(diǎn)、思想241.要挖掘知識背后的思維的素材25 我們要教給學(xué)生什么？學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的又是什么？為什么有的教師所上的數(shù)學(xué)課是那么的苦澀、無味？看到學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏懼，甚至有的人把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為自己人生最失敗的經(jīng)歷，作為數(shù)學(xué)教師的我們又作何感想呢？目前課堂教學(xué)中存在的問題是什么？目前課堂教學(xué)中存在的問題是什么？26 數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是什么呢？數(shù)學(xué)

11、教學(xué)的目的是什么呢？ 數(shù)學(xué)教學(xué)的意義又在哪里呢？數(shù)學(xué)教學(xué)的意義又在哪里呢？ 在集合的學(xué)習(xí)中，你能體會到在這部分內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思維層面的東西嗎？272829 在在集合集合的教學(xué)中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維呢？的教學(xué)中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維呢？ 無論是集合的含義，還是集合的關(guān)系、還是集合的運(yùn)算，都是通過研究元素與集合的關(guān)系來進(jìn)行的，這也就告訴我們，集合這種語言的特點(diǎn)，要從元素與集合的關(guān)系來掌握并運(yùn)用這種語言. 集合之間的關(guān)系體現(xiàn)在元素與集合的關(guān)系的：如子集關(guān)系、如相等集合的關(guān)系、如真子集的關(guān)系，無一不是體現(xiàn)在元素與集合的關(guān)系上.30 如在如在“集合集合”的教學(xué)中，集合之間的的教學(xué)中，集合之間的關(guān)系，集合間的運(yùn)算

12、通過簡單的實(shí)例、平關(guān)系，集合間的運(yùn)算通過簡單的實(shí)例、平鋪直敘式的進(jìn)行教學(xué)也能夠鋪直敘式的進(jìn)行教學(xué)也能夠“完成完成”所謂所謂的教學(xué)任務(wù)的教學(xué)任務(wù).31 但經(jīng)歷這樣的但經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)生就數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)生就沒有機(jī)會體會研究沒有機(jī)會體會研究集合問題的思維方集合問題的思維方式，即通過元素與式，即通過元素與集合的關(guān)系來刻畫集合的關(guān)系來刻畫集合之間的關(guān)系以集合之間的關(guān)系以及集合之間的運(yùn)算及集合之間的運(yùn)算.32 學(xué)生可能會很熟練地進(jìn)行交學(xué)生可能會很熟練地進(jìn)行交、并并、補(bǔ)的運(yùn)算，但無從知道這種補(bǔ)的運(yùn)算，但無從知道這種運(yùn)算背后的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)是什么，數(shù)運(yùn)算背后的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)是什么，數(shù)學(xué)原理是什么學(xué)原理是什么. 333

13、43536373839402.要教給學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題的方法41 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)就是要讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考數(shù)學(xué)問題和及解決問題！42能夠讀懂用數(shù)學(xué)的符號語言所表達(dá)出的函數(shù)性質(zhì)能夠讀懂用數(shù)學(xué)的符號語言所表達(dá)出的函數(shù)性質(zhì)434445464748()()2axaxa4950511 27+=2 2312（）2=T3262T2()=2631 +=2 623（）7T=()412352 平面解析幾何的思維特征是什么呢？53 m+k=054555657 立體幾何的思維特征是什么呢？5859通過平面來確定直線的位置60 數(shù)列的思維特征是什么呢？61函數(shù)函

14、數(shù)觀點(diǎn)下的數(shù)列問題觀點(diǎn)下的數(shù)列問題 用函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識數(shù)列用函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識數(shù)列用函數(shù)的思維理解數(shù)列用函數(shù)的思維理解數(shù)列問題問題用研究函數(shù)的方法來解決數(shù)列問題用研究函數(shù)的方法來解決數(shù)列問題.6297( )98xf xx9898979897( )19898xf xxx 633.要提煉研究問題的一般方法642015年全國新課標(biāo)卷（年全國新課標(biāo)卷（1）6566676869707172737475767778132a7980818283( )(0)f xf84這是一種計(jì)算的思維！能不能運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來理解和解決問題呢？85( )(8)f xf8687利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)利用函數(shù)的解析式研究函

15、數(shù)的性質(zhì)88函數(shù) xxxxeeyee89 要會研究函數(shù)的解析式，能夠從函數(shù)的解析式中了解函數(shù).909192939495結(jié)合函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì). 函數(shù)圖象能夠直觀形象的表示出函數(shù)的變化情況，可以幫助我們理解抽象函數(shù)關(guān)系的意義，同時(shí)函數(shù)圖象又是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的基礎(chǔ)，利用函數(shù)圖象可以更好的研究函數(shù)的性質(zhì)；96979899100 當(dāng)我們面對一個(gè)函數(shù)的圖象的時(shí)候，也是要學(xué)會利用圖象去研究這個(gè)函數(shù)的有關(guān)的性質(zhì)，而不是計(jì)算求值.101102 平面解析幾何的研究方法是什么呢？103 解析幾何解析幾何的的研究方法研究方法幾何特征：幾何對象的性質(zhì)及相互的位置關(guān)系104 代數(shù)化的思維代數(shù)化的思維 -滲透

16、滲透“曲線與方程曲線與方程”的思想的思想:2(4)AMyk x1:2(4)BMyxk minOP105 代數(shù)化的思維代數(shù)化的思維 -滲透滲透“曲線與方程曲線與方程”的思想的思想( , )P x y(2 ,0)Ax(0,2 )By(4,2)M0MB MA minOP106 代數(shù)化的思維代數(shù)化的思維 -滲透滲透“曲線與方程曲線與方程”的思想的思想( , )P x y(2 ,0)Ax(0,2 )By(4,2)M107( , )P x y(4,2)M2222(4)(2)xyxy108(2,1)2k 12(2)yx minOP109110111從方程從方程中分析中分析幾何對幾何對象的幾象的幾何特征何特征

17、112 解析幾何的思維解析幾何的思維 -從代數(shù)形式中分析幾何特征從代數(shù)形式中分析幾何特征113 解析幾何的思維解析幾何的思維 -從代數(shù)形式中分析幾何特征從代數(shù)形式中分析幾何特征114 解析幾何的思維解析幾何的思維 -從代數(shù)形式中分析幾何特征從代數(shù)形式中分析幾何特征(0,1)0,5mm0115m1ykx2215xym115 116 117抓住線段抓住線段AB必與橢圓相交的幾何特征必與橢圓相交的幾何特征直線AB的方程： 14yxb 22143xy2213816(3)0 xbxb0 132b 1182213816(3)0 xbxb12813xxbM點(diǎn)的坐標(biāo)： 413xb112413yxbb 1192

18、211143xy2222143xy12121212()()()()43xxxxyyyy AB中點(diǎn)M一定在C內(nèi)120( , )M x y12123144yyxxxy 3yx4yxm(, 3 )Mmm 12121212()()()()43xxxxyyyy 121(, 3 )Mmm229143mm221313m 122123數(shù)列的研究方法是什么呢？1241132nn132 1 ( )2312nn125126（2 2）如果不是等差、等比數(shù)列，要么）如果不是等差、等比數(shù)列，要么轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，要么尋轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，要么尋找其它方法找其它方法. . （1 1）判斷所要求研究的數(shù)列是否）判斷所要求研究的數(shù)列是否為特殊數(shù)列：等差數(shù)列或等比數(shù)為特殊數(shù)列：等差數(shù)列或等比數(shù)列，如是，用公式和性質(zhì)解決列，如是，用公式和性質(zhì)解決. .解決數(shù)列問題的基本思路是：解決數(shù)列問題的基本思路是