數(shù)學(xué)預(yù)備知識 微積分初步ppt課件

1、2011年秋季學(xué)期2022-2-8力力 學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)預(yù)備知識數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步微積分初步本部分內(nèi)容可參閱本部分內(nèi)容可參閱m趙凱華、羅蔚茵，趙凱華、羅蔚茵，新概念物理教程新概念物理教程 力學(xué)力學(xué)“ 附錄附錄A 微積分初步微積分初步”，高教社，高教社，2004年年7月第月第2版版m漆安慎、杜嬋英，漆安慎、杜嬋英，普通物理教程普通物理教程 力學(xué)力學(xué)“附錄附錄 數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)知識”，高教社，高教社，2005年年6月第月第2版版A.1 函數(shù)及其圖形數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 2m 函數(shù)函數(shù) 變量和常量變量和常量或 有兩個變量 和 ，如果每當(dāng)變量 取定了某個數(shù)值后，按

2、照一定的規(guī)律就可以確定 的對應(yīng)值，則稱 是 的函數(shù)，記作為自變量自變量， 為因變量因變量， 為函數(shù)記號函數(shù)記號。 例如絕對常量：在一切問題中數(shù)值都是確定不變的量，如 任意常量：數(shù)值需要在具體問題中具體給定的量，如 A.1 函數(shù)及其圖形數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 3m函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形在物理學(xué)中經(jīng)常用二（三）維曲線來表示兩（三）個變量之間的函數(shù)關(guān)系，以直觀地了解一個函數(shù)的特征。 2112246A.1 函數(shù)及其圖形數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 4m物理學(xué)中函數(shù)的實例物理學(xué)中函數(shù)的實例勻速直線運動公式 1.52.02.53.06

3、789勻加速直線運動公式 4681020406080100120每個物理公式都反映了一些物理量之間的函數(shù)關(guān)系 A.1 函數(shù)及其圖形數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 5m物理學(xué)中函數(shù)的實例物理學(xué)中函數(shù)的實例玻意耳定律 點電荷的電場 0.51.01.52.02.53.046810120.51.01.52.02.53.05101520253035A.2 導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 6m 極限極限m無窮小量的性質(zhì)無窮小量的性質(zhì)m限個無窮小量的和是無窮小量； m有限量與無窮小量的積是無窮小量。 在自變量 與某一定值 的差為無窮小量時，

4、 函數(shù) 與數(shù) 的差也為無窮小量，則 是 在 趨于 時的極限。A.2 導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 7例如一個有限的函數(shù)與常數(shù)積的極限，等于該函數(shù)極限與常數(shù)之積有限個極限的函數(shù)的積（商）的極限，等于它們的極限的積（商）有限個有極限的函數(shù)的和（差）的極限等于它們極限的和（差）m極限的運算法則極限的運算法則A.2 導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 8m物理學(xué)中的幾個實例物理學(xué)中的幾個實例直線運動的瞬時速度 設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則從 時刻到 時刻間的平均速度為例如：勻加速直線運動A.2 導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)

5、備知識A 微積分初步Page 9例如：勻加速直線運動在 時刻的瞬時速度應(yīng)為 時平均速度的極限A.2 導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 10 水渠的坡度 設(shè)各處渠底的高度為則從 到 兩地水渠的平均坡度為在 點的坡度應(yīng)為 時平均坡度的極限，即A.2 導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 11m函數(shù)的變化率函數(shù)的變化率 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù) 的自變量 在點 處有增量相應(yīng)地函數(shù)有增量則定義函數(shù)在 到 區(qū)間內(nèi)的平均變化率為A.2 導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 12 導(dǎo)數(shù) 若當(dāng) 時 的極限存在，則稱 在 處可導(dǎo)

6、，該極限值稱為函數(shù) 對 的導(dǎo)數(shù)或微商，記作 導(dǎo)數(shù)與增量不同，它代表函數(shù)在一點的性質(zhì)，即在該點的變化率。導(dǎo)數(shù)還可以表示為A.2 導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 13 函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 本身也是 的一個函數(shù)，因此我們可以再取它對 的導(dǎo)數(shù)，稱為函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù)，記作 在物理學(xué)中，對空間和時間的導(dǎo)數(shù)習(xí)慣如下表示，不能混用表示對空間求導(dǎo)表示對時間求導(dǎo)A.2 導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 14 導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖，過曲線上兩點 、 的割線的斜率為當(dāng) 時，割線成為過 點的切線故導(dǎo)數(shù) 表示曲線在 處切線的斜率。A.3 導(dǎo)數(shù)的運算數(shù)學(xué)預(yù)備知識

7、 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 15m 基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式A.3 導(dǎo)數(shù)的運算數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 16A.3 導(dǎo)數(shù)的運算數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 17A.3 導(dǎo)數(shù)的運算數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 18A.3 導(dǎo)數(shù)的運算數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 19m有關(guān)導(dǎo)數(shù)運算的幾個定理有關(guān)導(dǎo)數(shù)運算的幾個定理 A.3 導(dǎo)數(shù)的運算數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 20m基本導(dǎo)數(shù)公式基本導(dǎo)數(shù)公式

8、A.4 微分和函數(shù)的冪級數(shù)展開數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 21m微分微分 自變量 無限小的增量 稱為 的微分為函數(shù) 的微分。微分微分是對函數(shù)的局部變化率的一種線性描述線性描述 幾何意義A.4 微分和函數(shù)的冪級數(shù)展開數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 22m泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)的形式，在理論上和應(yīng)用中都是十分重要的。在 處的 階導(dǎo)數(shù)泰勒展開式泰勒展開式 A.4 微分和函數(shù)的冪級數(shù)展開數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 23常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式 A.4 微分和函數(shù)的冪級

9、數(shù)展開數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 24常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式 A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 25m幾個物理中的實例幾個物理中的實例 變速直線運動的路程 物體的速率是時間的函數(shù)把 到 這段時間間隔分割成許多小段，當(dāng)小段足夠短時，每段可以近似地看成勻速運動，則有A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 26 越短，把各小段里的運動看成勻速運動也就越接近實際情況，故應(yīng)對求和取 時的極限，即幾何意義到 區(qū)間內(nèi) 曲線下的面積A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)

10、預(yù)備知識A 微積分初步Page 27變力的功考慮力是位置的函數(shù)，即 物體由 運動到 的過程中，力 對它所做的功為A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 28要精確求解，就需要對求和取 時的極限，即幾何意義到 區(qū)間內(nèi) 曲線下的面積A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 29m定積分定積分 給定一個函數(shù) ，用 把自變量 在 區(qū)間內(nèi)的數(shù)值分成 小段，設(shè)每小段的大小為 ，若當(dāng) 時 的極限存在，則將該極限稱為函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)對 的定積分，記作A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 30定積分的幾何

11、意義定積分的幾何意義曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值abyx1A2A3A4A5A各部分面積的代數(shù)和A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 31如果被積函數(shù) 是某個函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，即則在 到 區(qū)間內(nèi) 對 的定積分等于 在這區(qū)間內(nèi)的增量，即A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 32m不定積分不定積分 原函數(shù)如果 是 的導(dǎo)數(shù)，則稱 是 的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)求 的定積分就可以歸結(jié)為求它的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)。A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 2011數(shù)學(xué)預(yù)備知識A 微積分初步Page 33不定積分 一般說來，在函數(shù) 的某個逆導(dǎo)數(shù) 上加一任意常量 ，仍舊是 的逆導(dǎo)數(shù)。通常把一個函數(shù) 的逆導(dǎo)數(shù)的通式稱為它的不定積分不定積分，并記作 ， 即不定積分代表一組函數(shù)。不定積分代表一組函數(shù)。 A.5 積分數(shù)學(xué)預(yù)備知識 力學(xué) 20