第一章-量子論基礎(chǔ)

1、第五章 近似方法一、概念與名詞解釋1. 斯塔克效應(yīng)2. 躍遷概率3. 費(fèi)米黃金規(guī)則4. 選擇定則二、計(jì)算1. 如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為ro,電荷均勻分布的小 球，計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正 .2. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，電矩為D的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場(chǎng) E中，如果電 場(chǎng)較小，用微擾理論求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級(jí)修正 .3. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，電矩為D的平面轉(zhuǎn)子處在均勻弱電場(chǎng) E中，電場(chǎng) 處在轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的平面上，用微擾法求轉(zhuǎn)子的能量的二級(jí)修正 .E0 a b4. 設(shè)哈密頓量在能量表象中的矩陣是El a 0 b ,a、b是實(shí)數(shù).b E02 a(1) 用微擾公式求能量至二級(jí)修正；(2) 直接用

2、求解能量本征方程的方法求能量的準(zhǔn)確解，并與(1)的結(jié)果比較.E10 0 a5. 設(shè)哈密頓量在能量表象中的矩陣是 0 E10b ，(E02 E10)* * E0a b E2(1) 用簡(jiǎn)并微擾方法求能量至二級(jí)修正；(2) 求能量的準(zhǔn)確值，并與 (1)的結(jié)果比較 .6. 在簡(jiǎn)并情況下，求簡(jiǎn)并微擾論的波函數(shù)的一級(jí)修正和能量的二級(jí)修正.7. 線諧振子受到微擾aexp(-似2)的作用，計(jì)算基態(tài)能量的一級(jí)修正，其中常數(shù)(3>0.8. 設(shè)線諧振子哈密頓算符用升算符a+與降算符a表示為Ho (a a 1/2)，此體系受到微擾I?'(a a)的作用，求體系的能級(jí)到二級(jí)近似.已知升與降算符對(duì)Ho的本征

3、態(tài)|n>的作用為 a |n Jn l|n 1J; a n) Vn|n1.9. 一個(gè)電荷為q的線諧振子受到恒定弱電場(chǎng)E i的作用，利用微擾 論求其能量至二級(jí)近似，并與其精確結(jié)果比較.10. 一維非簡(jiǎn)諧振子的哈密頓量為H=p2/2m+m忍x2/2+僅3. B是常數(shù)，若將H'x3看成是微擾，用微擾論求能量至二級(jí)修正，求能量本征函數(shù)至一級(jí)修正.11. 二維耦合諧振子的哈密頓量為H=(px2+Py2)/2卩+卩w(x2+y2)/2+ ?xy.若X<1，試用微擾論求其第一激發(fā)態(tài)的能級(jí)與本征函數(shù).12. 在各向同性三維諧振子上加一微擾H' axy bz2,求第一激發(fā)態(tài)的一級(jí)能量修

4、正.13. 一維無(wú)限深勢(shì)阱(0<xva)中的粒子，受到微擾H' 2 x/a /、(0旳作用，求基態(tài)能量的一級(jí)修正.2x(1 - x/a) (a/2 x a)14. 處于一維無(wú)限深勢(shì)阱(0<xva)中的粒子，受到微擾H' ° (° x a/3,2a/3 x a)的作用，計(jì)算基態(tài)能量的一級(jí)修正.-V1 (a/3 x 2a/3)15. 在一維無(wú)限深勢(shì)阱(0<x<a)中運(yùn)動(dòng)的粒子，受微擾16. 一個(gè)粒子處在二維無(wú)限深勢(shì)阱V(x,y) 0 (0a)中運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)加(其他 )上微擾 H' xy(0 x,y a), 求基態(tài)能量和第一激發(fā)態(tài)的能量

5、修正值 .2 2 217. 粒子在如下勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng) V(x) 2 2sin( x/a)/80 a2 (0 x a) ,求其(x 0,x a)基態(tài)能量的一級(jí)近似 .0(0 x a/2)18. 粒子處于如下勢(shì)阱中 V(x)2 2/80 a2 (a/2 x a) , 求其能級(jí)的一(x 0,X a)級(jí)近似值 .19. 自旋為?/2的粒子處于一維無(wú)限深方勢(shì)阱(0<xva)中，若其受到微擾 H'cos(2 x/a)s?y (0 x a) 的作用，求基態(tài)能量至一級(jí)修正，0(x 0,x a)其中入為一小量.20. 兩個(gè)自旋為 ?/2，固有磁矩算符分別為 ?1?1和 ?2?2的粒子，處于均勻磁場(chǎng) B

6、 B0k 中，若粒子間的相互作用?1 ?2可視為微擾，求體系能量的二級(jí)近似，其中a僅丫為實(shí)常數(shù).21. 類氫原子中，電子與原子核的庫(kù)侖作用為U(r)= Ze2/r，當(dāng)核電荷增加e(從Z-Z+1)，相互作用增加H' -e2/r，試用微擾論求能量的一級(jí)修正并與嚴(yán)格解比較 .22. 設(shè)氫原子處于均勻的弱電場(chǎng)0k 和弱磁場(chǎng) B B0k 中，不考慮自旋效應(yīng)，用微擾論討論其n=2的能級(jí)劈裂情況.23. 求氫原子n=3簡(jiǎn)并度n2=9時(shí)的斯塔克效應(yīng).24. 設(shè)在t=0時(shí)，電荷為e的線性諧振子處于基態(tài).在t>0時(shí)起，附加一與諧振子振動(dòng)方向相同的恒定外電場(chǎng)£,求其處在任意態(tài)的概率.25.

7、一個(gè)自旋為？/2,磁矩為？ g?的粒子處于如下弱旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中B B°cos( t)iBos in (t)j Bk ,粒子與磁場(chǎng)的作用為-g?B.若粒子開(kāi)始處于Sz= ?/2的狀態(tài)，討論躍遷情況并計(jì)算躍遷概率.26. 求氫原子的第一激發(fā)態(tài)的自發(fā)輻射系數(shù).27. 一個(gè)處在第一激發(fā)態(tài)(2p)的氫原子位于一空腔中，求空腔溫度等于多少時(shí)，自發(fā)躍遷概率和受激躍遷概率相等.28. 一個(gè)粒子在吸引勢(shì)V(r)二-g2/r3/2中運(yùn)動(dòng)，試用類氫原子的波函數(shù) 作為嘗試波函數(shù)，求基態(tài)能量.29. 以(r) exp(-cr2)為試探波函數(shù)，求氫原子基態(tài)能量與波函數(shù)，其中 c>0.30. 設(shè)一維非簡(jiǎn)諧振子的

8、哈密頓算符為I? p2/2x4,以(x). a/ exp(-a 2x2/2)為試探波函數(shù)，a為變分參數(shù)，求其基態(tài)能量.231. 取嘗試波函數(shù)為Ce-ax , C為歸一化常數(shù)，a是變分參數(shù)，試用變分法求諧振子的基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)，并算出歸一化常數(shù)C.32. 設(shè)粒子在中心力場(chǎng) V(r)二-Ar n(n為整數(shù))中運(yùn)動(dòng)，選R(r)=Nexp(-町 為試探波函數(shù)，求其基態(tài)能量.進(jìn)而求出庫(kù)侖場(chǎng)(n= -1,A>0)和諧 振子勢(shì)(n=2,A<0)的結(jié)果，并與嚴(yán)格解比較.33. 試用二exp-f(x-1)2(x+2)/3/(x+1)為試探波函數(shù)，f為變分參數(shù)，求勢(shì)場(chǎng)為V(x)=g2(x2-1)2

9、/2的基態(tài)能量，其中g(shù)是個(gè)很大的常數(shù).三、證明1.在無(wú)簡(jiǎn)并的微擾論中，證明(0)nE(0)匚nE匚n(0)n(1) n /E(0)E nnW-E(1)1 n(1)、 n /n爭(zhēng) n爭(zhēng) E(?)En2. 一維運(yùn)動(dòng)的體系，定義從|m態(tài)躍遷到|n態(tài)相應(yīng)的振子強(qiáng)度為nm2m nm (nxm)|/ , m是粒子質(zhì)量，求證:nm3. 設(shè)體系在t=0時(shí)處于基態(tài)|0，若長(zhǎng)時(shí)間加上微擾V?(x, t) F(x)exp(-t/ ),證明該體系處于另一能量本征態(tài)|1的概率為(Ei-Eo)2亍四、綜合題1. 一根長(zhǎng)度為d質(zhì)量均勻分布的棒可繞其中心在一平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，棒 的質(zhì)量為M.在棒的兩端分別有電荷+Q和-Q.(1)寫(xiě)

10、出體系的哈密頓量、本征函數(shù)和本征值； 如果在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)存在一電場(chǎng)強(qiáng)度為 E的弱電場(chǎng)，準(zhǔn)確到一級(jí)修正，它的本征函數(shù)和能量如何變化？如果這個(gè)電場(chǎng)很強(qiáng)，求基態(tài)的近似波函數(shù)和相應(yīng)的能量值.2. 對(duì)于一個(gè)球形核來(lái)說(shuō)，可以假定核子處在一個(gè)半徑為R的球?qū)ΨQ勢(shì)阱中，勢(shì)場(chǎng)是V 0(r R).相應(yīng)地，對(duì)發(fā)生微小形變的核，可以認(rèn)為核子處在橢球形勢(shì)阱中，勢(shì)壁高仍為無(wú)限大，即勢(shì)場(chǎng)是0 (在(xy )/b z /a(其他地方)1 內(nèi)),其中 a探(1+2 卩3), bR(1- 03)，且p1，利用微擾論，準(zhǔn)確到一級(jí)近似，求橢球形核相對(duì)于球形核基態(tài)能量的變化(提示：作變量代換，將橢球形勢(shì)阱化成球形勢(shì)阱后再討論微擾影響.)3

11、. 一個(gè)量子體系由哈密頓量 H=Ho+H'描述，其中H' = i兀A,H°是一個(gè) 加在非微擾哈密頓量Ho上的微擾，A是個(gè)厄米算符，入是個(gè)實(shí)數(shù). 設(shè)B是另一個(gè)厄米算子，而且 C=iB,A.(1)已知A、B、C在無(wú)微擾(非簡(jiǎn)并)基態(tài)的平均值為<A>o、<B>o、<C>o當(dāng)微擾加入時(shí)，求B在微擾后的基態(tài)上的平均值至入的第一級(jí)； 3p21 將這個(gè)結(jié)果用到如下三維問(wèn)題上：Ho 匹 丄m 2x2 , H' X3.i i 2m 2計(jì)算Xi在基態(tài)的平均值<Xi>(i=1,2,3)至入的最低階，并將這個(gè)結(jié)果 和精確解相比較.4.

12、把處在基態(tài)的氫原子放在平行板電容器中，取平行板法線方向?yàn)閦軸方向.電場(chǎng)沿z軸方向，可視為均勻電場(chǎng).設(shè)電容器突然充電，然后放電，電場(chǎng)隨時(shí)間的變化是 ° t/(t o)(為常數(shù)).求時(shí)間充 oe-t/ (t o)分長(zhǎng)后，氫原子躍遷到2s態(tài)和2p態(tài)的概率.5. 考慮勢(shì)U=g|x|的能級(jí).(1)用量綱分析，推導(dǎo)本征值和參數(shù)(質(zhì)量m、？、g)的關(guān)系;用嘗試波函數(shù)忙C qx+a) &a-x)(1-|x|/a)對(duì)基態(tài)能量作變分計(jì)算這里C、a是復(fù)數(shù)，(x)0 (x 0)1 (x 0)為什么忙cqx+c)qa-x)不是一個(gè)好的嘗試波函數(shù)?(4)如果要求第一激發(fā)態(tài)能量，你將如何處理？6. 一個(gè)質(zhì)量為m的粒子在湯川勢(shì)U(r)=-洽口斤中運(yùn)動(dòng)，用變分法， 取嘗試波函數(shù)©= e-ar,問(wèn)入的臨界值加等于多少時(shí)，能使得 e 無(wú)束縛態(tài)，>