【考點(diǎn)訓(xùn)練】換元法解一元二次方程-1

1、【考點(diǎn)訓(xùn)練】換元法解一元二次方程-1一、選擇題（共5小題）1（2016羅平縣校級(jí)模擬）方程x2+8x+9=0配方后，下列正確的是（）A（x+4）2=7B（x+4）2=25C（x+4）2=9D（x+8）2=72（2014始興縣校級(jí)模擬）已知a，b為實(shí)數(shù)，（a2+b2）2（a2+b2）6=0，則代數(shù)式a2+b2的值為（）A2B3C2D3或23（2015秋盧龍縣期中）已知實(shí)數(shù)a、b滿足（a2+b2）22（a2+b2）=8，則a2+b2的值為（）A2B4C4或2D4或24（2014秋沈丘縣校級(jí)期末）若（x+y）（1xy）+6=0，則x+y的值是（）A2B3C2或3D2或35（2014秋鄧州市校級(jí)期末）

2、如果（x+2y）2+3（x+2y）4=0，那么x+2y的值為（）A1B4C1或4D1或3二、填空題（共5小題）（除非特別說明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值）6（2016春蕭山區(qū)期中）若（x2+y2）（x2+y21）=12，則x2+y2=7（2016磴口縣校級(jí)二模）若（x2+y2）25（x2+y2）6=0，則x2+y2=8（2013秋蘇州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，則x2+y2的值為9（2014春鶴崗校級(jí)期末）若（x2+y2）24（x2+y2）5=0，則x2+y2=10（2015呼和浩特）若實(shí)數(shù)a、b滿足（4a+4b）（4a+4b2）8=0，則a+b=三、解答題（共16小題）（選答題，不自

3、動(dòng)判卷）11（2011秋西吉縣校級(jí)期中）閱讀材料：為了解方程（x21）25（x21）+4=0，我們可以將x21視為一個(gè)整體，然后設(shè)x21=y，（x21）2=y2，則原方程可化為y25y+4=0解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，x21=1，x2=2，x=±當(dāng)y=4時(shí)，x21=4，x2=5，x=±原方程的解為：x1=解答問題：仿造上題解方程：x46x2+8=012（2013秋詔安縣期中）解下列方程x28x+9=0（5x1）23（5x1）=013（2012秋新都區(qū)期末）閱讀材料：x46x2+5=0是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的通常解法是：設(shè)x2=y，那么x4=y2，于

4、是方程變?yōu)閥26y+5=0，解這個(gè)方程，得y1=1，y2=5，當(dāng)y1=1時(shí)，x2=1，x=±1，當(dāng)y=5時(shí)，x2=5，x=±，所以原方程有四個(gè)根x1=1，x2=1，x3=，x4=（1）在由原方程得到方程的過程中，利用法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了的教學(xué)思想（2）解方程（x2x）24（x2x）12=014（2011秋安寧市校級(jí)期中）解方程：（x+2）23（x+2）+2=015（2015秋咸陽(yáng)校級(jí)月考）已知（a2+b2）2（a2+b2）6=0，求a2+b2的值16（2015秋微山縣校級(jí)期中）為解方程x45x2+4=0，我們可以將x2視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2=y，則x4=y2，原方程化

5、為y25y+4=0解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，x2=1x=±1當(dāng)y=4時(shí)，x2=4，x=±2原方程的解為x1=1，x2=1，x3=2，x4=2解答問題：（1）填空：在由原方程得到方程的過程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想（2）解方程：（x22x）2+x22x6=017（2008秋鄭州校級(jí)期末）閱讀下面的解題過程：解方程：（4x1）210（4x1）+24=0解：把4x1視為一個(gè)整體，設(shè)4x1=y則原方程可化為：y210y+24=0解之得：y1=6，y2=4，4x1=6或4x1=4x1=，x2=這種解方程的方法叫換元法請(qǐng)仿照上例，用換元法解方程：（x2）23（

6、x2）10=018（2012春潁上縣校級(jí)期中）（y3）2+3（y3）+2=019（2011秋榮昌縣期中）（換元法）解方程：（x23x）22（x23x）8=0解：設(shè)x23x=y則原方程可化為y22y8=0解得：y1=2，y2=4當(dāng)y=2時(shí)，x23x=2，解得x1=2，x2=1當(dāng)y=4時(shí)，x23x=4，解得x1=4，x2=1原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=1，根據(jù)以上材料，請(qǐng)解方程：（2x23x）2+5（2x23x）+4=020（2013長(zhǎng)汀縣一模）閱讀下面材料：解答問題為解方程（x21）25（x21）+4=0，我們可以將（x21）看作一個(gè)整體，然后設(shè)x21=y，那么原方程可化為y

7、25y+4=0，解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，x21=1，x2=2，x=±；當(dāng)y=4時(shí)，x21=4，x2=5，x=±，故原方程的解為x1=，x2=，x3=，x4=上述解題方法叫做換元法；請(qǐng)利用換元法解方程（x2x）24（x2x）12=021（2009中山）小明用下面的方法求出方程23=0的解，請(qǐng)你仿照他的方法求出下面另外兩個(gè)方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中方程換元法得新方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解23=0令=t，則2t3=0t=t=0=，所以x=x2+1=0x+2+=022（2015遂寧）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題計(jì)算：（1）×（+）

8、（1）×（+）令+=t，則原式=（1t）（t+）（1t）t=t+t2tt+t2=問題：（1）計(jì)算（1）×（+）（1）×（+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=723（2012秋太原期中）請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀下面材料，然后解答問題解方程（x21）25（x21）+4=0解：設(shè)y=x21則原方程化為：y25y+4=0 y1=1 y2=4當(dāng)y=1時(shí)，有x21=1，即x2=2x=±當(dāng)y=4時(shí)，有x21=4，即x2=5x=±原方程的解為：x1=x2=x3=x4=解答問題：（1）填空：在由原方程得到的過程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)

9、思想（2）解方程（x23）23（x23）=024（2012秋南雄市期中）閱讀下面的例題，解方程（x1）25|x1|6=0，解方程x2|x|2=0；解：原方程化為|x|2|x|2=0令y=|x|，原方程化成y2y2=0解得：y1=2y2=1當(dāng)|x|=2，x=±2；當(dāng)|x|=1時(shí)（不合題意，舍去）原方程的解是x1=2，x2=225（2013秋源城區(qū)校級(jí)期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń猓海?）（x+4）2=5（x+4）（2）2x210x=326（2015秋太倉(cāng)市期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程x45x2+4=0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)x2=y，那么x4=y2，

10、于是原方程可變?yōu)閥25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，x2=1，x=±1；當(dāng)y=4時(shí)，x2=4，x=±2；原方程有四個(gè)根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的過程中，利用法達(dá)到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）12=0【考點(diǎn)訓(xùn)練】換元法解一元二次方程-1參考答案與試題解析一、選擇題（共5小題）1（2016羅平縣校級(jí)模擬）方程x2+8x+9=0配方后，下列正確的是（）A（x+4）2=7B（x+4）2=25C（x+4）2=9D（x+8）2=7【解答】解：x2+8x+9=0，x2+8x=9，x2+8x+

11、42=9+42，（x+4）2=7，故選：A2（2014始興縣校級(jí)模擬）已知a，b為實(shí)數(shù)，（a2+b2）2（a2+b2）6=0，則代數(shù)式a2+b2的值為（）A2B3C2D3或2【解答】解：設(shè)a2+b2=x，原方程變形為，x2x6=0，解得x=3或2，a2+b20，a2+b2=3，故選B3（2015秋盧龍縣期中）已知實(shí)數(shù)a、b滿足（a2+b2）22（a2+b2）=8，則a2+b2的值為（）A2B4C4或2D4或2【解答】解：設(shè)a2+b2=x，原方程變?yōu)椋簒22x=8，x22x8=0，（x4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=2，因?yàn)槠椒胶褪欠秦?fù)數(shù)，所以a2+b2的值為4；故選B4（2014秋沈

12、丘縣校級(jí)期末）若（x+y）（1xy）+6=0，則x+y的值是（）A2B3C2或3D2或3【解答】解：設(shè)t=x+y，則原方程可化為：t（1t）+6=0即t2+t+6=0t2t6=0t=2或3，即x+y=2或3故選C5（2014秋鄧州市校級(jí)期末）如果（x+2y）2+3（x+2y）4=0，那么x+2y的值為（）A1B4C1或4D1或3【解答】解：設(shè)x+2y=a，則原方程變形為a2+3a4=0，解得a=4或a=1故選C二、填空題（共5小題）（除非特別說明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值）6（2016春蕭山區(qū)期中）若（x2+y2）（x2+y21）=12，則x2+y2=4【解答】解：設(shè)t=x2+y2（t0），則原方程可化為：

13、t（t1）12=0，即t2t12=0，（t4）（t+3）=0，t=4，或t=3（不合題意，舍去），x2+y2=4故答案是：47（2016磴口縣校級(jí)二模）若（x2+y2）25（x2+y2）6=0，則x2+y2=6【解答】解：設(shè)x2+y2=t（t0）則t25t6=0，即（t6）（t+1）=0，解得，t=6或t=1（不合題意，舍去）；故x2+y2=6故答案是：68（2013秋蘇州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，則x2+y2的值為1【解答】解：令x2+y2=t，將原方程化為（t+1）（t+2）=6，即（t1）（t+4）=0，解得t1=1，t2=4，t0，t=1，x2+y2=1，故答

14、案為19（2014春鶴崗校級(jí)期末）若（x2+y2）24（x2+y2）5=0，則x2+y2=5【解答】解：設(shè)x2+y2=t，則原式變形為：t24t5=0，（t2）29=0，（t2）2=9，t=5或1x2+y20，x2+y2=510（2015呼和浩特）若實(shí)數(shù)a、b滿足（4a+4b）（4a+4b2）8=0，則a+b=或1【解答】解：設(shè)a+b=x，則由原方程，得4x（4x2）8=0，整理，得16x28x8=0，即2x2x1=0，分解得：（2x+1）（x1）=0，解得：x1=，x2=1則a+b的值是或1故答案是：或1三、解答題（共16小題）（選答題，不自動(dòng)判卷）11（2011秋西吉縣校級(jí)期中）閱讀材料：

15、為了解方程（x21）25（x21）+4=0，我們可以將x21視為一個(gè)整體，然后設(shè)x21=y，（x21）2=y2，則原方程可化為y25y+4=0解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，x21=1，x2=2，x=±當(dāng)y=4時(shí)，x21=4，x2=5，x=±原方程的解為：x1=解答問題：仿造上題解方程：x46x2+8=0【解答】解：設(shè)x2=y，x4=y2，則原方程可化為y26y+8=0，解得y1=2，y2=4當(dāng)y=2時(shí)，當(dāng)y=4時(shí)，x2=4，x=±2原方程的解為：12（2013秋詔安縣期中）解下列方程x28x+9=0（5x1）23（5x1）=0【解答】解：（1）移項(xiàng)為：x28x

16、=9，配方為：x28x+16=7（x4）2=7，開平方為：x4=±，x1=+4，x2=+4；（2）設(shè)5x1=a，則原方程變形為：a23a=0，a（a3）=0，a1=0，a2=3當(dāng)5x1=0，時(shí)，x1=，當(dāng)5x1=3時(shí)，x2=，x1=，x2=13（2012秋新都區(qū)期末）閱讀材料：x46x2+5=0是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的通常解法是：設(shè)x2=y，那么x4=y2，于是方程變?yōu)閥26y+5=0，解這個(gè)方程，得y1=1，y2=5，當(dāng)y1=1時(shí)，x2=1，x=±1，當(dāng)y=5時(shí)，x2=5，x=±，所以原方程有四個(gè)根x1=1，x2=1，x3=，x4=（1）在由原

17、方程得到方程的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的教學(xué)思想（2）解方程（x2x）24（x2x）12=0【解答】解：（1）換元，轉(zhuǎn)化（2）解：設(shè)x2x=a，原方程可化為a24a12=0，解得a=2或6，當(dāng)a=2時(shí)，x2x+2=0=（1）28=70，此方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)a=6時(shí)，即x2x6=0，（x3）（x+2）=0，x1=3，x2=2原方程有兩個(gè)根x1=3，x2=214（2011秋安寧市校級(jí)期中）解方程：（x+2）23（x+2）+2=0【解答】解：令x+2=t，原方程可化為t23t+2=0，（t1）（t2）=0，解得t1=1，t2=2，x+2=1或x+2=2，x1=1，x2=015（20

18、15秋咸陽(yáng)校級(jí)月考）已知（a2+b2）2（a2+b2）6=0，求a2+b2的值【解答】解：設(shè)a2+b2=y據(jù)題意得y2y6=0解得y1=3，y2=2a2+b20a2+b2=316（2015秋微山縣校級(jí)期中）為解方程x45x2+4=0，我們可以將x2視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2=y，則x4=y2，原方程化為y25y+4=0解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，x2=1x=±1當(dāng)y=4時(shí)，x2=4，x=±2原方程的解為x1=1，x2=1，x3=2，x4=2解答問題：（1）填空：在由原方程得到方程的過程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想（2）解方程：（x22x）2+x2

19、2x6=0【解答】解：（1）在由原方程得到方程的過程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想故答案為換元，轉(zhuǎn)化；（2）設(shè)x22x=t，原方程化為t2+t6=0，解得t1=3，t2=2，當(dāng)t=3時(shí)，x22x=3，即x22x+3=0，此方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)t=2時(shí)，x22x=2，解得x1=1+，x2=1，所以原方程的解為x1=1+，x2=117（2008秋鄭州校級(jí)期末）閱讀下面的解題過程：解方程：（4x1）210（4x1）+24=0解：把4x1視為一個(gè)整體，設(shè)4x1=y則原方程可化為：y210y+24=0解之得：y1=6，y2=4，4x1=6或4x1=4x1=，x2=這種解方程的方法叫換元

20、法請(qǐng)仿照上例，用換元法解方程：（x2）23（x2）10=0【解答】解：設(shè)x2=y，則原方程可化為：y23y10=0，解之得：y1=5，y2=2，x2=5或x2=2x1=7，x2=018（2012春潁上縣校級(jí)期中）（y3）2+3（y3）+2=0【解答】解：設(shè)y3=t，則原方程即t2+3t+2=0解得t=1或2所以y2=0或y1=0，解得，y=2或y=119（2011秋榮昌縣期中）（換元法）解方程：（x23x）22（x23x）8=0解：設(shè)x23x=y則原方程可化為y22y8=0解得：y1=2，y2=4當(dāng)y=2時(shí)，x23x=2，解得x1=2，x2=1當(dāng)y=4時(shí)，x23x=4，解得x1=4，x2=1原

21、方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=1，根據(jù)以上材料，請(qǐng)解方程：（2x23x）2+5（2x23x）+4=0【解答】解：設(shè)2x23x=y，原方程轉(zhuǎn)化為：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=4，y2=1（3分）當(dāng)y1=4時(shí)，2x23x+4=0，無實(shí)數(shù)根（4分）當(dāng)y2=1時(shí)，2x23x+1=0，解得x1=，x2=1故原方程根為x1=，x2=1（6分）20（2013長(zhǎng)汀縣一模）閱讀下面材料：解答問題為解方程（x21）25（x21）+4=0，我們可以將（x21）看作一個(gè)整體，然后設(shè)x21=y，那么原方程可化為y25y+4=0，解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時(shí)，x21=1，x2=2，x=&#

22、177;；當(dāng)y=4時(shí)，x21=4，x2=5，x=±，故原方程的解為x1=，x2=，x3=，x4=上述解題方法叫做換元法；請(qǐng)利用換元法解方程（x2x）24（x2x）12=0【解答】解：設(shè)x2x=y，那么原方程可化為y24y12=0解得y1=6，y2=2當(dāng)y=6時(shí)，x2x=6即x2x6=0x1=3，x2=2當(dāng)y=2時(shí)，x2x=2即x2x+2=0=（1）24×1×20方程無實(shí)數(shù)解原方程的解為：x1=3，x2=221（2009中山）小明用下面的方法求出方程23=0的解，請(qǐng)你仿照他的方法求出下面另外兩個(gè)方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中方程換元法得新方程解新方程檢

23、驗(yàn)求原方程的解23=0令=t，則2t3=0t=t=0=，所以x=x2+1=0令=t，則t22t+1=0t1=t2=1t1=t2=10=1，所以x=1x+2+=0令=t，則t2+t=0t1=0，t2=1t1=00，t2=10=0，所以x=2，【解答】解：填表如下：方程換元法得新方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解x2+1=0令=t，則t22t+1=0t1=t2=1t1=t2=10=1，所以x=1x+2+=0令=t，則t2+t=0t1=0，t2=1t1=00，t2=10=0，所以x=222（2015遂寧）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題計(jì)算：（1）×（+）（1）×（+）令+=t

24、，則原式=（1t）（t+）（1t）t=t+t2tt+t2=問題：（1）計(jì)算（1）×（+）（1）×（+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7【解答】解：（1）設(shè)+=t，則原式=（1t）×（t+）（1t）×t=t+t2tt+t2+t=；（2）設(shè)x2+5x+1=t，則原方程化為：t（t+6）=7，t2+6t7=0，解得：t=7或1，當(dāng)t=1時(shí)，x2+5x+1=1，x2+5x=0，x（x+5）=0，x=0，x+5=0，x1=0，x2=5；當(dāng)t=7時(shí)，x2+5x+1=7，x2+5x+8=0，b24ac=524×1×80，此時(shí)方

25、程無解；即原方程的解為：x1=0，x2=523（2012秋太原期中）請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀下面材料，然后解答問題解方程（x21）25（x21）+4=0解：設(shè)y=x21則原方程化為：y25y+4=0 y1=1 y2=4當(dāng)y=1時(shí)，有x21=1，即x2=2x=±當(dāng)y=4時(shí)，有x21=4，即x2=5x=±原方程的解為：x1=x2=x3=x4=解答問題：（1）填空：在由原方程得到的過程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想（2）解方程（x23）23（x23）=0【解答】解：（1）答案分別是：換元，轉(zhuǎn)化（2）設(shè)y=x23，則原方程化為：y23y=0y（y3）=0y1=0，y2=3當(dāng)y1=0時(shí)，x23=0，x1=，x2=當(dāng)y2=3時(shí)，x23=3，x2=6，x3=，x4=因此原方程的根為：x1=，x2=，x3=，x4=24（2012秋