定積分的計算方法.

1、定積分的計算方法摘要定積分是積分學中的一個基本問題，計算方法有很多， 常用的計算方法有四種： （ 1）定義法、（ 2）牛頓萊布尼茨公式、 （ 3）定積分的分部積分法、 （ 4）定積分的換元積分法。以及其他特殊方法和技巧。本論文通過經典例題分析探討定積分計算方法，統(tǒng)總結中簡化計算方法！并注重在解題中用的方法和技巧。并在系關鍵字：定積分，定義法，萊布尼茨公式，換元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its cal

2、culation method is a lot of,(1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in thesystem of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay atten

3、tion to problem in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method目錄目錄21 緒論31.1 定積分的定義31.2 定積分的性質42 常用計算方法52.1 定義法52.2 牛頓 -萊布尼茨公式62.3 定積分的分部積分法72.4 定積分的換元積分法73 簡化計算方法錯誤！未定義書簽。3.1 含參變量的積分錯誤！未定義書簽。3.2 有理積分和可化為有理積分的積分錯誤！未定義書簽。4 總結9致謝10參考文

4、獻101 緒論1.1 定積分的定義定積分就是求函數(shù)f(X) 在區(qū)間 a,b 中圖線下包圍的面積，如圖1.1 所示。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X) 所圍成圖形的面積1 。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。設函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，將區(qū)間 a,b 分成 n 個子區(qū)間 x 0 ,x1, (x 1,x2, (x 2 ,x3,(xn-1,xn ，其中 x0=a，xn=b?？芍鲄^(qū)間的長度依次是： x1 =x 1-x0, x2=x 2-x1, , xn=x n-xn-1。在每個子區(qū)間 (x（ 1,2,.,n ），作和式i-1 ,xi 中任取一點 i設 =max x1, x2

5、, , xn （即 是最大的區(qū)間長度） ，則當 0時，該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間 a,b 的定積分 2 ，記為其中： a 叫做積分下限，b 叫做積分上限，區(qū)間函數(shù)， x 叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達式，a, b 叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做積分號。f(x) 叫做被積之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。根據上述定義，若函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b 上可積分，則有n 等分的特殊分法：特別注意，根據上述表達式有，當a,b 區(qū)間恰好為 0,1 區(qū)間時，則 0,1 區(qū)間積分表達式為：1.2 定積分的性質性質 1bbbg( x)d

6、x f ( x)g( x) dxf (x)dxaaa性質 2b( )kb f ( x)dx, (k為常數(shù) )kf x dxaa性質 3bcf ( x)dxb假設 a<b<cf (x)dxaf ( x)dxac性質 4如果在區(qū)間 a, b 上，恒有 f ( x)g (x) , 則 b f ( x) dxbg (x)dxaa性質 5如果在區(qū)間 a, b 上， f (x)0 , 則 b f (x)dx0. (a<b)a性質 6設 M 及 m 分別是函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a,b 上的最大值及最小值，則()bM (ba) ,此性質可用于估計積分值的大致范f ( x)dx(a &l

7、t; b)m baa圍 3。性質 7若 f(x) 在a,b上可積，則 f(x)在 a,b上也可積，bb且f ( x)dxf (x) dxaa性質 8（積分第一中值定理） 設函數(shù) f(x) 在a,b 上連續(xù)， g(x) 在 a,b 上可積，且在 a,b 上不變號，則在 a,b 上至少存在一點 ，使得：bbaf ( x)g (x) dxf ( )g (x) dxa2 常用計算方法2.1 定義法定積分的定義法計算是運用極限的思想, 簡單的來說就是分割求和取極限。以bf (x)dx 為例：任意分割 , 任意選取Ik 作積分和再取極限。任意分割任意取k 所計算a出的 I值如果全部相同的話，則定積分存在。

8、如果在某種分法或者某種k 的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者k 的取法下計算出來的值不相同，那么則說定積分不存在。如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計算定積分是相當困難的，涉及到怎樣才是任意分割任意取k 。但是如果根據上述三類可積函數(shù)判斷出被積函數(shù)可積，那么就可以根據積分和的極限唯一性可作a, b的特殊分法，選取特殊的k ，計算出定積分4 。第一步：分割 .將區(qū)間 a,b 分成 n 個小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式。hb a，那么分割點n的坐標為 a,0， ah,0 ， a2h,0.a(n1)h,0， b,0， k 在 xk1, xk 任意選取，但是我們在做題過程中會選取特殊的

9、k ，即左端點，右端點或者中點。經過分割將曲邊梯形分成n 個小曲邊梯形。我們近似的看作是n 個小長方形。第二步：求和 .n計算 n 個小長方形的面積之和，也就是fkh 。k1第三步：取極限 .nnIlimfk hhlimf k， h0 即 n，也就是說分的越細，h 0 k 1h 0 k 1那么小曲邊梯形就越接近小長方形，當 n 趨于無窮之時， 小曲邊梯形也就是小長方形， 那么小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積，也就是定積分的積分值。1例 1、用定義法求定積分xdx 。0解：因為f ( x)x 在 0,1 連續(xù)所以 f ( x)x 在 0,1 可積101令 hnn將0,1 等分成 n 個小區(qū)間，

10、分點的坐標依次為0 h2h. nh1取k 是小區(qū)間(k1)h, kh 的右端點，即k kh 于是11n(n 1)2n(n1)11xdxlim khhlim1limlimn20nn2nn2nn2211所以，xdx022.2 牛頓 -萊布尼茨公式牛頓 - 萊布尼茨公式很好的把定積分與不定積分聯(lián)系在一起。利用此公式，可以根據不定積分的計算計算出定積分。這個公式要求函數(shù)f (x) 在區(qū)間a, b內必須連續(xù)。求連續(xù)函數(shù) f (x) 的定積分只需求出f ( x) 的一個原函數(shù)，再按照公式計算即可。定理：若函數(shù)f (x) 在區(qū)間 a,b 連續(xù)，且 F ( x) 是 f ( x) 的原函數(shù)，則bF (a) 。

11、f (x)dx F (b)a證明：因為 F (x) 是 f (x) 的原函數(shù)，即xa,b 有 F ' (x) f (x)積分上限函數(shù)xf( )dt也是 f ( x) 的原函數(shù)atx'f (t) dtf ( x)所以a所以xf (t)dt F ( x)Caxaaf()( )C即 CF (a)令有atdt F a再令 xb 有bf( )dx()()xF bF aa我們知道，不定積分與定積分是互不相關的，獨立的。但是在連續(xù)的條件下，微積分基本定理把這兩個互不相關的概念聯(lián)系起來，這不僅給定積分的計算帶來極大的方便，在理論上把微分學與積分學溝通起來，這是數(shù)學分析的卓越成果，有著重大的意義

12、。例 1、用牛頓萊布尼茨公式計算定積分1xdx 。0原式 = 1 x211解：202同樣的一道題目，用牛頓- 萊布尼茨公式明顯比定義法簡單，容易計算。2.3 定積分的分部積分法公式：函數(shù)u( x) ， v( x) 在 a, b 有連續(xù)導數(shù)則bbba u( x)dv( x)u( x)v( x) aa v( x)du( x)證明：因為 u( x) ， v( x) 在 a, b 有連續(xù)導函數(shù)所以 u( x)v( x)'' (x)u( x)v' (x) v( x)ubu( x)v( x)'所以u(x)v(x)abbu( x)v'(x) v( x)u'ba

13、a(x) dx u( x)v( x) ab'b即u(x)v ( x)dxu(x)v( x) aabbbabv( x)u' ( x)dx或u() ()u(x) ()x dv xv xaav(x)du(x)a2例 1、求定積分ln xdx 。12222解： 1ln xdx x ln x 11xd ln x2ln 2 0 x 1 2ln 2 12.4 定積分的換元積分法應用牛頓 - 萊布尼茨公式求定積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計算。一般情況下， 把這兩步截然分開是比較麻煩的，通常在應用換元積分法求原函數(shù)的過程中也相應交換積分的上下限，這樣可以簡化計算。公式：若函數(shù)f (

14、x) 在區(qū)間a,b 連續(xù)，且函數(shù)x(t) 在,有連續(xù)導數(shù)，當t時，有 a(t )b 則：bf(t) ' (t )dtf(t) d(t )f ( x)dxa證明：bf( )(x)bF( )(a)aax dx Fb Ff(t)' (t)dtF(t)F()F()F (b)F (a)b' (t)dt即 f ( x)dxf (t)a這個公式有兩種用法：b（1）、若計算f ( x)dxa、選取合適的變換x(t ) ，由 a,b通過 b(t ) ，a(t ) 分別解出積分限與；12、把 xbf(t )' (t )dt ；(t ) 代入f ( x)dx 得到a3、計算 .例1、

15、 計算定積分aa2x2 dx 。0解：設 xa sin t 有 dxa costdtx0 時， t0 ； xa 時， t2a22dxa22tdta2sin 2t2a2ax2 cos(t)002204（2）、計算g(t)dt ，其中 g (t )f (t)' (t)1 、把 g(t ) 湊成 f (t)' (t) 的形式；2 、檢查 x(t ) 是否連續(xù)；、根據與通過 x(t) 求出左邊的積分限a,b ；34 、計算 .例2、11dt 。計算定積分514t解：令 54tx ，則 t5 x2， dt1 xdx42當 t1 時， x3；當 t1 時， x 111111所以原式 =(x)dx13x22 34 總結定積分計算中最常用的四種方法，本文通過舉例分析定積分的幾種計算方法，來體現(xiàn)定積分的計算。 定積分的計算類型很多，要熟練地進行定積分的各種運算，就要對定積分的運算技巧不斷熟悉和掌握。其實，在實際計算中，遇到的題目不一樣，用的計算方法也不一樣。定義法一般不常用，計算起來比較困難，所以一般不會用定義法計算。常用的就是其他三種，即牛頓 - 萊布尼茨公式，分部積分法和換元積分法。致謝在老師的悉心指導下我完成了這篇關于定積分的計算方法的論文， 感謝老師以以其嚴謹求實的教學態(tài)度、 高