新教材-人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊-第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用--知識點考點解題方法提煉匯總

1、第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義- 1 -5.1.1變化率問題- 1 -5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義- 6 -5.2導(dǎo)數(shù)的運算- 11 -5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)- 11 -5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運算法則- 11 -5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)- 15 -5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用- 20 -5.3.1函數(shù)的單調(diào)性- 20 -5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值- 26 -5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.1變化率問題1平均變化率對于函數(shù)yf (x)，從x1到x2的平均變化率：(1)自變量的改變量：xx2x1.(2)函數(shù)值的改變量：yf (x2)f (x1)(3)平均

2、變化率.思考：x，y以及平均變化率一定為正值嗎？提示x，y可正可負(fù)，y也可以為零，但x不能為零，平均變化率可正可負(fù)可為零2瞬時速度與瞬時變化率(1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度(2)函數(shù)f (x)在xx0處的瞬時變化率是函數(shù)f (x)從x0到x0x的平均變化率在x0時的極限，即 .3曲線的切線斜率(1)設(shè)P0(x0，f (x0)，P(x，f (x)是曲線yf (x)上任意不同兩點，則平均變化率為割線P0P的斜率(2)當(dāng)P點逐漸靠近P0點，即x逐漸變小，當(dāng)x0時，瞬時變化率 就是yf (x)在x0處的切線的斜率即k .求平均變化率【例1】(1)如圖，函數(shù)yf (x)在1，5上的平均變化率為(

3、)A BC2D2(2)函數(shù)y2x21在區(qū)間1，1x內(nèi)的平均變化率為_(1)B(2)42x(1).故選B.(2)y2(1x)21(2121)2x(2x)，所以平均變化率為42x.1求函數(shù)平均變化率的三個步驟第一步，求自變量的改變量xx2x1；第二步，求函數(shù)值的改變量yf (x2)f (x1)；第三步，求平均變化率.2求平均變化率的一個關(guān)注點求點x0附近的平均變化率，可用的形式求瞬時速度探究問題1物體的路程s與時間t的關(guān)系是s(t)5t2，如何計算物體在1，1t這段時間內(nèi)的平均速度？提示s5(1t)2510t5(t)2，105t.2當(dāng)t趨近于0時，探究1中的平均速度趨近于多少？怎樣理解這一速度？提

4、示當(dāng)t趨近于0時，趨近于10，這時的平均速度即為當(dāng)t1時的瞬時速度【例2】某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)t2t1表示，求物體在t1 s時的瞬時速度思路探究解3t， (3t)3.物體在t1處的瞬時變化率為3.即物體在t1 s時的瞬時速度為3 m/s.1(變結(jié)論)在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度解求物體的初速度，即求物體在t0時的瞬時速度1t， (1t)1.物體在t0時的瞬時變化率為1，即物體的初速度為1 m/s.2(變結(jié)論)在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9 m/s.解設(shè)物體在t0時刻的瞬時速度為9 m/s.又(2t01)t

5、. (2t01t)2t01.則2t019，t04.則物體在4 s時的瞬時速度為9 m/s.求運動物體瞬時速度的三個步驟設(shè)非勻速直線運動中物體的位移隨時間變化的函數(shù)為ss(t)，則求物體在tt0時刻的瞬時速度的步驟如下：(1)寫出時間改變量t，位移改變量s(ss(t0t)s(t0).(2)求平均速度：.(3)求瞬時速度v：當(dāng)t0時，v(常數(shù)).求函數(shù)在某點的切線斜率及方程【例3】(1)已知函數(shù)yx，則該函數(shù)在點x1處的切線斜率為_(2)求曲線f (x)x21在點P(1，2)處的切線的斜率，并求出切線方程思路探究(1)x1處的瞬時變化率即為斜率(2)(1)2y(1x)x1x，1，斜率k 112.(

6、2)解顯然點P(1，2)在曲線上，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知切線的斜率為k (x2)2.故切線方程為y22(x1)，即y2x.求函數(shù)yf (x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義1導(dǎo)數(shù)的概念如果當(dāng)x0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱yf (x)在xx0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做yf (x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f (x0)或y|，即f (x0) .思考：f (x0)0和f (x0)0反映了怎樣的意義？提示f (x0)0反映了瞬時變化率呈增長趨勢，f (x0)0反映了瞬時變化率呈下降趨勢2導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖，割線

7、P0P的斜率k.記xxx0，當(dāng)點P沿著曲線yf (x)無限趨近于點P0時，即當(dāng)x0時，k無限趨近于函數(shù)yf (x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，因此，函數(shù)yf (x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0 f (x0)(2)切線方程曲線yf (x)在點(x0，f (x0)處的切線方程為yf (x0)f (x0)(xx0)3導(dǎo)函數(shù)對于函數(shù)yf (x)，當(dāng)xx0時，f (x0)是一個唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時，f (x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為yf (x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱為導(dǎo)數(shù))，即f (x)y .求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)【例1】(1)若函數(shù)yf (x)在xx0處可導(dǎo)，則 等于()Af (x

8、0) B2f (x0) C2f (x0) D0(2)求函數(shù)y3x2在x1處的導(dǎo)數(shù)(1)Bx(x0h)(x0h)2h. 2 2f (x0)故選B.(2)解：yf (1x)f (1)3(1x)236x3(x)2，63x，f (1) (63x)6.利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)(1)取極限前，要注意化簡，保證使x0時分母不為0.(2)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)只與x0有關(guān)，與x無關(guān).(3)導(dǎo)數(shù)可以描述事物的瞬時變化率，應(yīng)用非常廣泛.導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用【例2】(1)已知函數(shù)yf (x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)yf (x)的圖象可能是() A B CD(2)某家電制造集團為盡快實現(xiàn)家電下鄉(xiāng)提出四種運輸方案，據(jù)

9、預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定時間T內(nèi)完成預(yù)期的運輸任務(wù)Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如下所示在這四種方案中，運輸效率(單位時間內(nèi)的運輸量)逐步提高的是()A B C D思路探究(1)切線斜率大于零，則f (x)0；切線斜率小于零，則f (x)0；(2)要明確運輸效率的含義，題設(shè)中已經(jīng)給出運輸效率即單位時間內(nèi)的運輸量，因此，運輸效率逐步提高就是指Q(t)不斷增大(1)B(2)B(1)由yf (x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)x0時，f (x)0；當(dāng)x0時，f (x)0；當(dāng)x0時，f (x)0，故B符合(2)從函數(shù)圖象上看，要求圖象在0，T上越來越陡峭，在各選項中，只有B項中圖象的切

10、線斜率在不斷增大，即運輸效率(單位時間內(nèi)的運輸量)逐步提高故選B.導(dǎo)數(shù)幾何意義理解中的兩個關(guān)鍵關(guān)鍵點一：yf (x)在點xx0處的切線斜率為k，則k0f (x0)0；k0f (x0)0；k0f (x0)0.關(guān)鍵點二：|f (x0)|越大在x0處瞬時變化越快；|f (x0)|越小在x0處瞬時變化越慢.求切線方程探究問題1如何求曲線f (x)在點(x0，f (x0)處的切線方程？提示yy0k(xx0)即根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)yf (x)在點(x0，f (x0)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點處的切線的斜率，再由直線方程的點斜式求出切線方程2曲線f (x)在點(x0，f (x0)處的切線與曲線過點(x0

11、，y0)的切線有什么不同？提示曲線f (x)在點(x0，f (x0)處的切線，點(x0，f (x0)一定是切點，只要求出kf (x0)，利用點斜式寫出切線方程即可；而曲線f (x)過某點(x0，y0)的切線，給出的點(x0，y0)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點3曲線在某點處的切線是否與曲線只有一個交點？提示不一定曲線yf (x)在點P(x0，y0)處的切線l與曲線yf (x)的交點個數(shù)不一定只有一個，如圖所示【例3】已知曲線C：yx3.(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x1的點處的切線方程；(2)求曲線C過點(1，1)的切線方程思路探究(1)(2) 解(1)將x1代入曲線C的方程得y1，切點

12、P(1，1)y|x1 33x(x)23.ky|x13.曲線在點P(1，1)處的切線方程為y13(x1)，即3xy20.(2)設(shè)切點為Q(x0，y0)，由(1)可知y|3x，由題意可知kPQy|，即3x，又y0x，所以3x，即2x3x10，解得x01或x0.當(dāng)x01時，切點坐標(biāo)為(1，1)，相應(yīng)的切線方程為3xy20.當(dāng)x0時，切點坐標(biāo)為，相應(yīng)的切線方程為y，即3x4y10.1(變條件)把題中條件“yx3”改成“yx2”，求曲線在x1點處的切線方程解把x1代入yx2得y121.即切點P(1，1)，y|x1 (x2)2，ky|x12.曲線yx2在P(1，1)處的切線方程為y12(x1)，即2xy1

13、0.2(變條件、變結(jié)論)求曲線yx21過點P(1，0)的切線方程解設(shè)切點為Q，k (2ax)2a.在Q點處的切線方程為y(a21)2a(xa)(*)把點(1，0)代入(*)式得(a21)2a(1a)解的a1.再把a1代入到(*)式中即得y(22)x(22)或y(22)x(22)這就是所求的切線方程利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法(1)若已知點(x0，y0)在已知曲線上，求在點(x0，y0)處的切線方程，先求出函數(shù)yf (x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程yy0f (x0)(xx0)(2)若點(x0，y0)不在曲線上，求過點(x0，y0)的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點坐標(biāo)，

14、然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點坐標(biāo)，進而求出切線方程5.2導(dǎo)數(shù)的運算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運算法則1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)f (x)c(常數(shù))，則f (x)0；(2)f (x)x，則f (x)1；(3)f (x)x2，則f (x)2x；(4)f (x)x3，則f (x)3x2；(5)f (x)，則f (x)；(6)f (x)，則f (x).2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f (x)c(c為常數(shù))f (x)0f (x)x(Q，且0)f (x)x1f (x)sin xf (x)cos xf (x)cos xf (x)sin xf (x)ax(a0，且a1)

15、f (x)axln a(a0，且a1)f (x)exf (x)exf (x)logax(a0，且a1)f (x)(a0，且a1)f (x)ln xf (x)3導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)和差的導(dǎo)數(shù)f (x)g(x)f (x)g(x)(2)積的導(dǎo)數(shù)f (x)g(x)f (x)g(x)f (x)g(x)；cf (x)cf (x)(3)商的導(dǎo)數(shù)(g(x)0)利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)ycos ；(2)y；(3)y；(4)ylg x；(5)y5x；(6)ycos.解(1)ycos ，y0.(2)yx5，y5x6.(3)yx，yx.(4)ylg x，y.(5)y5x，y5xln 5.

16、(6)ycossin x，ycos x.1若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解2對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則，避免不必要的運算失誤3要特別注意“與ln x”，“ax與logax”，“sin x與cos x”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo)數(shù)探究問題1如何求函數(shù)ytan x的導(dǎo)數(shù)？提示ytan x，故y.2如何求函數(shù)ysin 2x的導(dǎo)數(shù)？提示ysin 2xsin xcos xy(sin x)cos xsin x(cos x)cos2xsin2xcos 2x.【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx3sin x；(2)y3x2xcos x；(3)y.解(1)y

17、(x3sin x)(x3)(sin x)3x2cos x.(2)y(3x2xcos x)(3x2)(xcos x)32xxcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(3)y.1(變條件)把例2(2)的函數(shù)換成“yx2sin cos ”，求其導(dǎo)數(shù)解yx2sin cosx2sin xy2xcos x.2(變條件)把例2(3)的函數(shù)換成“yxtan x”，求其導(dǎo)數(shù)解y(xtan x).仔細觀察和分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)運算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，不具備求導(dǎo)法則條件的可適當(dāng)進行恒等變形.另外，對較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)時，可先化簡再求導(dǎo)，特別地，對于對數(shù)函數(shù)的真數(shù)是根式或分式時，可先根

18、據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將真數(shù)轉(zhuǎn)化為有理式或整式，然后求導(dǎo).導(dǎo)數(shù)計算的綜合應(yīng)用【例3】(1)已知函數(shù)f (x)，若f (1)，則實數(shù)a的值為()A2 B4C6D8(2)已知函數(shù)f (x)ax3bx2cx的圖象過點(1，5)，其導(dǎo)函數(shù)yf (x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f (x)的解析式為_思路探究(1)先求導(dǎo)，列方程求解(2)先求導(dǎo)，由條件可知1，2是導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(1)B(2)f (x)2x39x212x(1)f (x)，f (x).f (1)，解得a4.故選B.(2)因為f (x)3ax22bxc，f (1)0，f (2)0，f (1)5，所以解得故函數(shù)f (x)的解析式是f (x)2x39x21

19、2x.三次函數(shù)求導(dǎo)問題由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，因此將導(dǎo)數(shù)的計算與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來就很容易理解了.這類題目比較受學(xué)生的青睞，解題時應(yīng)回顧二次函數(shù)的單調(diào)性、最值、圖象的對稱軸、二次項系數(shù)對圖象的影響等.5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)yf (u)和ug(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)yf (u)和ug(x)的復(fù)合函數(shù)，記作yf (g(x)2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)yf (g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf (u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【

20、例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)y.解(1)函數(shù)ye2x1可看作函數(shù)yeu和u2x1的復(fù)合函數(shù)，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)函數(shù)y可看作函數(shù)yu3和u2x1的復(fù)合函數(shù)，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4.(3)函數(shù)y5log2(1x)可看作函數(shù)y5log2u和u1x的復(fù)合函數(shù)，yxyuux(5log2u)(1x).(4)(ln 3x)(3x).y.1解答此類問題常犯兩個錯誤(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)；(2)若是復(fù)合函數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟三角

21、函數(shù)型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)ycos；(2)yx2tan x.思路探究先將給出的解析式化簡整理，再求導(dǎo)解(1)ycoscossincos2sin x(1cos x)(sin xcos x)，y(sin xcos x)(cos xsin x)(2)因為yx2，所以y(x2)2x2x.三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)要求對三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)，往往需要利用三角恒等變換公式，對函數(shù)式進行化簡，再進行求導(dǎo).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則熟悉后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，直接運用公式，從外層開始由外到內(nèi)逐層求導(dǎo).導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用探究問題1若直線yxb與曲線yex相切于點P，你能求出

22、切點坐標(biāo)及b的值嗎？提示設(shè)P(x0，y0)，由題意可知y|e，所以e1，即x00，點P(0，1)由點P(0，1)在直線yxb上可知b1.2曲線yaexxln x在點(1，ae)處的切線方程為y2xb，你能求出a，b的值嗎？提示yaexln x1，y|x1ae1，2ae1，ae1.切點為(1，1)，將(1，1)代入y2xb，得12b，b1，故a，b1.【例3】(1)曲線yln(2x1)上的點到直線2xy30的最短距離是()AB2C3D0(2)設(shè)曲線yeax在點(0，1)處的切線與直線x2y10垂直，則a_.思路探究(1)(2)(1)A(2)2(1)設(shè)曲線yln(2x1)在點(x0，y0)處的切線

23、與直線2xy30平行y，y|2，解得x01，y0ln(21)0，即切點坐標(biāo)為(1，0)切點(1，0)到直線2xy 30的距離為d，即曲線yln(2x1)上的點到直線2xy30的最短距離是.(2)令yf (x)，則曲線yeax在點(0，1)處的切線的斜率為f (0)，又切線與直線x2y10垂直，所以f (0)2.因為f (x)eax，所以f (x)(eax)eax(ax)aeax，所以f (0)ae0a，故a2.1(變條件)本例(1)的條件變?yōu)椤扒€yln(2x1)上的點到直線2xym0的最小距離為2”，求m的值解由題意可知，設(shè)切點P(x0，y0)，則y|xx02，x01，即切點P(1，0)，2

24、，解得m8或12.即實數(shù)m的值為8或12.2(變條件、變結(jié)論)把本例(1)條件變?yōu)椤叭糁本€ykxb是yln x2的切線，也是yln(x1)的切線”，求b的值解函數(shù)yln x2的導(dǎo)函數(shù)為y，函數(shù)yln(x1)的導(dǎo)函數(shù)為y.設(shè)曲線yln x2和曲線yln(x1)上的切點橫坐標(biāo)分別為m，n，則該直線方程可以寫成y(xm)ln m2，也可以寫成y(xn)ln(n1)整理后對比得解得因此b1ln 2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題時的注意點(1)求曲線過某一定點的切線方程或斜率時，首先應(yīng)判斷所給定點是不是切點，如果不是，需將切點坐標(biāo)設(shè)出.(2)切點既在原函數(shù)的圖象上也在切線上，可將切點坐標(biāo)代入兩者的函數(shù)解析式建

25、立方程組.(3)如果切線的斜率存在，那么函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件.(4)與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個.5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.1函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)f (x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f (x)正負(fù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)yf (x)：f (x)的正負(fù)f (x)的單調(diào)性f (x)0單調(diào)遞增f (x)0單調(diào)遞減思考：如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f (x)0，那么函數(shù)f (x)有什么特性？提示f (x)是常數(shù)函數(shù)2判斷函數(shù)yf (x)的單調(diào)性第1步：確定函數(shù)的定義域；第2步：求出導(dǎo)數(shù)f (x)的零點；第

26、3步：用f (x)的零點將f (x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f (x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)yf (x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性3函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)yf (x)，在區(qū)間(a，b)上：導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)聯(lián)圖象【例1】(1)設(shè)函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，f (x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖象可能為()(2)已知函數(shù)yf (x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf (x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()(1)D(2)B(1)由f (x)的圖

27、象可知，yf (x)在(，0)上是增函數(shù)，因此在x0時，有f (x)0(即全部在x軸上方)，故排除A，C.從原函數(shù)圖象上可以看出，在區(qū)間(0，x1)上原函數(shù)是增函數(shù)，f (x)0；在區(qū)間(x1，x2)上原函數(shù)是減函數(shù)，f (x)0；在區(qū)間(x2，)上原函數(shù)是增函數(shù)，f (x)0，故排除B.故選D.(2)法一：由函數(shù)yf (x)的導(dǎo)函數(shù)yf (x)的圖象自左到右先增后減，可知函數(shù)yf (x)圖象的切線的斜率自左到右先增大后減小法二：由于f (x)0恒成立，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，f (x)單調(diào)遞增，即圖象從左至右上升四個圖象都滿足由于當(dāng)x0時，f (x)0且越來越小，則函數(shù)值增加得

28、越來越慢，圖象呈現(xiàn)上凸?fàn)?；?dāng)x0時，f (x)0且越來越大，故函數(shù)值增加得越來越快，圖象呈現(xiàn)下凸?fàn)?，可以判斷B正確故選B.研究函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系的著手點研究一個函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時，注意抓住各自的關(guān)鍵要素.對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增、在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零、在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f (x)3x22ln x；(2)f (x)x2ex.思路探究先求定義域，再對原函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)f (x)的正負(fù)確定函數(shù)的單

29、調(diào)區(qū)間解(1)f (x)3x22ln x的定義域為(0，)，f (x)6x，由x0，f (x)0，解得x.由x0，f (x)0，解得0x.函數(shù)f (x)3x22ln x的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)函數(shù)的定義域為D(，)f (x)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)，令f (x)0，由于ex0，x10，x22，用x1，x2分割定義域D，得下表：x(，0)0(0，2)2(2，)f (x)00f (x)f (0)0f (2)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)和(2，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)用解不等式法求單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f

30、(x)；(3)解不等式f(x)0(或f(x)0)，并寫出解集；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論【例3】設(shè)g(x)ln xax2(a2)x，a0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性思路探究先對原函數(shù)求導(dǎo)得g(x)(x0)，再對a分類討論得函數(shù)g(x)的單調(diào)性解由題意可知g(x)2axa2(x0)a0，g(x)(x0)，(1)當(dāng)a2時，g(x)0等價于(2x1)0，易得函數(shù)g(x)在和上單調(diào)遞增，同理可得在上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)a2時，g(x)0恒成立，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞增；(3)當(dāng)2a0時，g(x)0等價于(2x1)0，易得函數(shù)g(x)在和上單調(diào)遞增

31、，同理可得在上單調(diào)遞減利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)分析參數(shù)對區(qū)間端點、最高次項的系數(shù)的影響，以及不等式解集的端點與定義域的關(guān)系，恰當(dāng)確定參數(shù)的不同范圍，并進行分類討論；(4)在不同的參數(shù)范圍內(nèi)，解不等式f(x)0和f(x)0，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍探究問題1在區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f (x)0，則f (x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立嗎？提示不一定成立比如yx3在R上為增函數(shù)，但其在x0處的導(dǎo)數(shù)等于零也就是說f (x)0是yf (x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件2若函數(shù)f

32、(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，則f (x)滿足什么條件？提示f (x)0(或f (x)0)【例4】已知函數(shù)f (x)x3ax1為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍思路探究解由已知得f (x)3x2a，因為f (x)在(，)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f (x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2對xR恒成立，因為3x20，所以只需a0.又因為a0時，f (x)3x20，f (x)x31在R上是增函數(shù)，所以a0.1(變條件)若函數(shù)f (x)x3ax1的單調(diào)減區(qū)間為(1，1)，求a的取值范圍解由f (x)3x2a，當(dāng)a0時，f (x)0，f (x)在(，)上為增函數(shù)當(dāng)a0

33、時，令3x2a0，得x，當(dāng)x時，f (x)0.f (x)在上為減函數(shù)，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，1，即a3.2(變條件)若函數(shù)f (x)x3ax1在(1，1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍解由題意可知f (x)3x2a0在(1，1)上恒成立，即a3.即a的取值范圍是3，)3(變條件)若函數(shù)f (x)x3ax1在(1，1)上不單調(diào)，求a的取值范圍解f (x)x3ax1，f (x)3x2a，由f (x)0，得x(a0)，f (x)在區(qū)間(1，1)上不單調(diào)，01，即0a3.故a的取值范圍為(0，3)1已知f (x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法(1)利用集合的包含關(guān)系處理f (x)在(a

34、，b)上單調(diào)遞增(減)的問題，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；(2)利用不等式的恒成立處理f (x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問題，則f (x)0(f (x)0)在(a，b)內(nèi)恒成立，注意驗證等號是否成立2解答本題注意：可導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a，b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充要條件是f (x)0(或f (x)0)在(a，b)上恒成立，且f (x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1極值點與極值(1)極小值點與極小值若函數(shù)yf (x)在點xa的函數(shù)值f (a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f (a)0，而且在點xa

35、附近的左側(cè)f (x)0，右側(cè)f (x)0，就把點a叫做函數(shù)yf (x)的極小值點，f (a)叫做函數(shù)yf (x)的極小值(2)極大值點與極大值若函數(shù)yf (x)在點xb的函數(shù)值f (b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f (b)0，而且在點xb附近的左側(cè)f (x)0，右側(cè)f (x)0，就把點b叫做函數(shù)yf (x)的極大值點，f (b)叫做函數(shù)yf (x)的極大值(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值思考：導(dǎo)數(shù)為0的點一定是極值點嗎？提示不一定，如f (x)x3，f (0)0， 但x0不是f (x)x3的極值點所以，當(dāng)f (x0)0時，要判斷xx0是否為f (x)的極

36、值點，還要看f (x)在x0兩側(cè)的符號是否相反2求可導(dǎo)函數(shù)yf (x)的極值的方法解方程f (x)0，當(dāng)f (x0)0時：(1)如果在x0附近的左側(cè)f (x)0，右側(cè)f (x)0，那么f (x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f (x)0，右側(cè)f (x)0，那么f (x0)是極小值不含參數(shù)的函數(shù)求極值【例1】求下列函數(shù)的極值：(1)yx33x29x5；(2)yx3(x5)2.解(1)y3x26x9，令y0，即3x26x90，解得x11，x23.當(dāng)x變化時，y，y的變化情況如下表：x(，1)1(1，3)3(3，)y00y極大值極小值當(dāng)x1時，函數(shù)yf (x)有極大值，且f (1)10；當(dāng)x

37、3時，函數(shù)yf (x)有極小值，且f (3)22.(2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2(x3)(x5)令y0，即5x2(x3)(x5)0，解得x10，x23，x35.當(dāng)x變化時，y與y的變化情況如下表：x(，0)0(0，3)3(3，5)5(5，)y000y無極值極大值108極小值0x0不是y的極值點；x3是y的極大值點，y極大值f (3)108；x5是y的極小值點，y極小值f (5)0.一般地，求函數(shù)yf(x)的極值的步驟(1)求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)解方程f(x)0，得方程的根x0(可能不止一個)；(3)用方程f(x)0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，可將x，

38、f(x)，f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個表格中；(4)由f(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，判斷f(x)在f(x)0的各個根處的極值情況：如果左正右負(fù)，那么函數(shù)f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么函數(shù)f(x)在這個根處取得極小值；如果導(dǎo)數(shù)值在這個根左右兩側(cè)同號，那么這個根不是極值點.含參數(shù)的函數(shù)求極值【例2】已知函數(shù)f (x)16x320ax28a2xa3，其中a0，求f (x)的極值思路探究解f (x)16x320ax28a2xa3，其中a0，f (x)48x240ax8a28(6x25axa2)8(2xa)(3xa)，令f (x)0，得x1，x2.當(dāng)a0時，則隨著x的變化，

39、f (x)，f (x)的變化情況如下表：xf (x)00f (x)極大值極小值當(dāng)x時，函數(shù)f (x)取得極大值，為f ；當(dāng)x時，函數(shù)f (x)取得極小值，為f 0.當(dāng)a0時，則隨著x的變化，f (x)，f (x)的變化情況如下表：xf (x)00f (x)極大值極小值當(dāng)x時，函數(shù)f (x)取得極大值，為f 0；當(dāng)x時，函數(shù)f (x)取得極小值，為f .綜上，當(dāng)a0時，函數(shù)f (x)在x處取得極大值，在x處取得極小值0；當(dāng)a0時，函數(shù)f (x)在x處取得極大值0，在x處取得極小值.函數(shù)極值的注意點(1)求函數(shù)的極值需嚴(yán)格按照求函數(shù)極值的步驟進行，重點考慮兩個問題：一是函數(shù)的定義域，注意判斷使導(dǎo)數(shù)

40、值為0的點是否在定義域內(nèi)，如果不在定義域內(nèi)，需要舍去；二是檢查導(dǎo)數(shù)值為0的點的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號，若異號，則該點是極值點，否則不是極值點.(2)求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值時，有時需要用分類討論的思想才能解決問題.討論的依據(jù)有兩種：一是看參數(shù)是否對f(x)的零點有影響，若有影響，則需要分類討論；二是看f(x)在其零點附近的符號的確定是否與參數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，則需要分類討論.由極值求參數(shù)的值或取值范圍【例3】(1)已知函數(shù)f (x)x3ax2bxa2在x1處取極值10，則a()A4或3B4或11C4D3(2)若函數(shù)f (x)x2(a1)xaln x沒有極值，則()Aa1Ba0Ca1D1a0思

41、路探究(1)由f (1)0且f (1)10.求解a，b，注意檢驗極值的存在條件(2)求導(dǎo)分解因式主要對參數(shù)分類討論(按根的大小)(1)C(2)A(1)f (x)x3ax2bxa2，f (x)3x22axb.由題意得即解得，或當(dāng)，時，f (x)3x26x33(x1)20，故函數(shù)f (x)單調(diào)遞增，無極值，不符合題意a4.故選C.(2)f (x)(x1)，x0，當(dāng)a0時，10，令f (x)0，得0x1；令f (x)0，得x1.f (x)在x1處取極小值當(dāng)a0時，方程10必有一個正數(shù)解xa，若a1，此正數(shù)解為x1，此時f (x)0，f (x)在(0，)上單調(diào)遞增，無極值若a1，此正數(shù)解為x1，f (

42、x)0必有2個不同的正數(shù)解，f (x)存在2個極值綜上，a1.故選A.已知函數(shù)極值求參數(shù)的方法對于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0，極值點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號.(1)已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)問題的解題步驟：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)；由極值點的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程(組)，求解參數(shù).注意：求出參數(shù)后，一定要驗證是否滿足題目的條件.(2)對于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為f(x)0或f(x)0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立.極值問題的綜合應(yīng)用探究問題1如何畫出函數(shù)f (x)2x33x236x16的大致圖象提示f (x)6x26x366

43、(x2x6)6(x3)(x2)由f (x)0得x2或x3，函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間是(，2)和(3，)由f (x)0得2x3，函數(shù)f (x)的遞減區(qū)間是(2，3)由已知得f (2)60，f (3)65，f (0)16.結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及以上關(guān)鍵點畫出函數(shù)f (x)大致圖象如圖所示2當(dāng)a變化時，方程2x33x236x 16a有幾解？提示方程2x33x236x16a解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)ya與y2x33x236x16的圖象有幾個交點的問題，結(jié)合探究點1可知：(1)當(dāng)a60或a65時， 方程2x33x236x16a有且只有一解；(2)當(dāng)a60或a65時，方程2x33x236x16a有兩解；(3)當(dāng)6

44、5a60時，方程2x33x236x16a有三解【例4】已知函數(shù)f (x)x33xa(a為實數(shù))，若方程f (x)0有三個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍思路探究求出函數(shù)的極值，要使f (x)0有三個不同實根，則應(yīng)有極大值大于0，極小值小于0，由此可得a的取值范圍解令f (x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.當(dāng)x0；當(dāng)1x1時，f (x)1時，f (x)0.所以當(dāng)x1時，f (x)有極大值f (1)2a；當(dāng)x1時，f (x)有極小值f (1)2a.因為方程f (x)0有三個不同實根，所以yf (x)的圖象與x軸有三個交點，如圖由已知應(yīng)有解得2a2，故實數(shù)a的取值范圍是(2，2)1(

45、改變條件)本例中，若方程f (x)0恰有兩個根，則實數(shù)a的值如何求解？解由例題知，函數(shù)的極大值f (1)2a，極小值f (1)2a，若f (x)0恰有兩個根，則有2a0，或2a0，所以a2或a2.2(改變條件)本例中，若方程f (x)0有且只有一個實根，求實數(shù)a的范圍解由例題可知，要使方程f (x)0有且只有一個實根，只需2a0或2a0，即a2或a2.3(變條件、變結(jié)論)討論方程a的根的情況解令f (x)，則定義域為(0，)，f (x).令f (x)0，得xe.當(dāng)x變化時，f (x)與f (x)的變化情況如下表：x(0，e)e(e，)f (x)0f (x)因此，xe是函數(shù)f (x)的極大值點，

46、極大值為f (e)，函數(shù)f (x)沒有極小值點其圖象如圖當(dāng)0a時，a有兩個不同的根；當(dāng)a或a0時，a只有一個根；當(dāng)a時，a沒有實數(shù)根利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點的個數(shù)(1)利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)研究函數(shù)的極值情況；(3)在上述研究的基礎(chǔ)上突出函數(shù)的大致圖象；(4)直觀上判斷函數(shù)的圖象與x軸的交點或兩個圖象的交點的個數(shù).若含有參數(shù)，則需要討論極值的正負(fù).第2課時函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf (x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值思考：函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？提示函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值當(dāng)連續(xù)函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個導(dǎo)數(shù)為零的點時，若在這一點處f (x)有極大值(或極小值)，則可以判定f (x)在該點處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無窮區(qū)