高等數(shù)學(xué)第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用142P內(nèi)有在平面閉區(qū)域設(shè)定理DyxQyxP),(, ),(1則連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,)(1DDydQxdPydxdyPxQ :,的正向這樣規(guī)定的邊界曲線是其中DDD .,的內(nèi)點在左手邊正向行走沿DD .Green)(公式式就是1DDDDydQxdPydxdQPyxxyoab)(:xyL11 )(:xyL22 分分別計算公式兩邊的積證)()(:xyxbxaD21 可表示為設(shè)baxxDydyPxdydxdyP)()(21 則baxxyxdyxP)()(),(21 )()(,)(,212badxxxPxxP 21LLDxdyxPxdyxPxdyxP),(),(

2、),( abbaxdxxPxdxxP)(,)(,21 )()(,)(,321baxdxxPxxP :)()(知和比較32)(4DDxdPydxdyP :類似地可證)(5DDydQydxdxQ )()(yxydycD21 (4)+(5) 得 Green 公式. 證畢.1D2DABCEFG1D2D21211DDDDD,.在分成將其中公式后相加上分別應(yīng)用,Green, 方向相反上積分兩次分割線 AB.相加時相互抵消.,.稱為多連通域中有洞D2FGCED, 注意分割線進行分割對,相加時相互抵消方向相反上都積分兩次)( .洞邊界為外邊界此時注意洞邊界的的方向 D .Green,也成立公式對于較復(fù)雜的區(qū)域

3、因此D:,Green,例如公式仍然成立區(qū)域 D,很簡單以上證明中所用區(qū)域 D對于較復(fù)雜的型又是型既是),(YX:Green的面積公式可用來求閉區(qū)域 D:Green),(,),(.公式得代入令xyxQyxP 01)(6 DDxdydxdy :Green),(,),(.公式得代入令02 yxQyyxP)(7 DDydxdxdy :合并得)(821ydxxdyydxxdydxdyDDDD .sincosAbyax的面積求橢圓例 1 20dbaxdyADcoscos解 dab 202cos dab 2024cos44 ab.ba ydxxdyAD 21或 2021dabba)sin(sincoscos

4、 202dab.ba .sin,的正向邊界是域其中xyxDL00 Lxydyyxdye)sin()cos(12例)cos(),(yeyxPx 1解)sin(),(yyeyxQx )sin(yyexQx yeyPxsin DdxdyyPxQ 原式dxdyyeDx xxydydxesin00 0221dxxexsin 01241dxxex)(cos151 eD 1 Dx2cosxexexex22sinx24cos )sin(cosxxex222 )sin(cos)(cosxxedxexxx222512 dxexx)(cos2 dxexx)(cos24 01241dxxex)(cos 0222514

5、1 xxexxe)sin(cos151 eD,)cos()sin(I.Ldyyxdxyyx12232計算例經(jīng)上從點為圓周其中),(0222RARyxL.),(的一段弧第一象限到點RB 0.解OxyAB,sinyyxP2記,cos122yxQyPxQ則yx22 cos)cos(122yx.1dyyxdxyyx)cos()sin(J1222OABOLDdydxyPxQDdydx.241R dyyxdxyyx)cos()sin(1222OABOL.241R BOdyyxdxyyx)cos()sin(1222yyx000RdyROAdyyxdxyyx)cos()sin(12220yxxRdx000OA

6、BOQdyPdxQdyPdxR241 I.RR 241 DOxyAB內(nèi)在公式一DyxQyxP),(),(:Green單連通或多()連通閉區(qū)域則有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),)(1DDydQxdPydxdyPxQ 在二),(),(yxQyxP單連通區(qū)域,內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)G:則下列四個命題等價,.內(nèi)處處成立在GxQyP 1,.02LydQxdPLG有內(nèi)任意閉曲線對于,.內(nèi)與路徑無關(guān)在GydQxdPL3.),(.內(nèi)恒成立在使存在GydQxdPudyxuu4的一個原函數(shù)稱為ydQxdPyxu),(:14321證明過程為GGDL圍成內(nèi)任取一條閉曲線在LLG,:21,D一閉域.)(01由DLdxdyyPxQQdyPdx :

7、Green 定理上應(yīng)用在 D用兩條和內(nèi)任取兩點在.BAG32則和聯(lián)結(jié)和曲線,BALL21AB1L2L21LLQdyPdxQdyPdx0221)()(由LLQdyPdx21LLQdyPdxQdyPdxG),(),(yxCyxAG和內(nèi)任取兩點在0043),(0yxB),(00yxA),(yxCD ),(),(),(yxyxQdyPdxyxu00令),(才可以這樣記線積分與路徑無關(guān))(),(),(1000 yydyyxQyxuABQdyPdxxxyydxyxP000),(BCQdyPdxyyxdyyxQ0),(不變)(),(),(),(9000 yyxxdyyxQdxyxPyxu)(ADC經(jīng)路徑同理

8、),()(yxPxu 10由),()(yxQyu 9由 xxdxyxP0),(),(yxQyu ),(yxPxu .的一個原函數(shù)為QdyPdx dyyudxxudu dyyxQdxyxP),(),( ),(),(),(yxyxQdyPdxyxu00即),(yxuG上的函數(shù)設(shè)有定義在14,ydQxdPud使, ),(yxPxu 則有),(yxQyu,yPyxu 2進一步xQxyu 2.xQyP 即xQxyu 2yPyxu 2的連續(xù)性立得及由xQyP xyuyxu 22 .證畢DLyxydxxdy223I例曲線為包圍原點的任意光滑L,),(22yxyyxP 解22yxxyxQ ),(,義這兩個函數(shù)

9、在原點無定以原點)( ,充分小的圓畫半徑為為圓心rr,D圍成多連通區(qū)域和LxyL:Green公式上應(yīng)用在D)(11DDydxdyPxQydQxdP 22222222222222yxyyxyPyxxyxxQ ,0 QdyPdxQdyPdxL式左端)(11 QdyPdxQdyPdxL sincosryrx02 :0222 drrrrrrcoscos)sin(sin 20d 2 ,yPxQYX 平面上除原點外處處有在此例!是零但是閉曲線的積分卻不.!洞原點是一個是單連通域平面不除去原點的YX ),(),(I432122323664ydxyyxxdyxy例解.),(再計算積分值先證明與路徑無關(guān),326

10、yxyP2236xyyxQ,2312yxyyP 2312yxyxQ .,原積分與路徑無關(guān)在全平面成立xQyP .),(),(),(為積分路徑選擇折線432321),(),(I232122321366ydxyyxxdyxy)(2y31824dxx80 xy),( 21),( 23),( 43xy),( 21),( 23),( 43),(),(I432322322366ydxyyxxdyxy)(3x422954ydyy15621III原積分236Lydyxxyxdxyxy222332125sincosI例.,),(的一段弧到上由點為在拋物線120022 yxLBoxAy,cos xyxyP232解

11、22321yxxyQsin,cos xyxyyP262 262xyxyxQcos .,原積分與路徑無關(guān)在全平面成立xQyP 120200,),( ABO改變積分路徑為折線BoxAyOBydyxxyxdxyxy222313212sincosI)(0yOB上在0BAydyxxyxdxyxy222323212sincosI)(2 xBA上在10224321dyyy 42 21III42 oxyYXyxdyydxx在整個證明例226區(qū)域的負(fù)半軸及原點外的開平面上除 Y,),(的全微分內(nèi)是某個二元函數(shù)yxuG.函數(shù)并求出一個這樣的二元),( 10A),(1xB),(yxC,22yxxP解,22yxyQ,

12、除原點外處處成立容易驗證xQyP 在單所以xQyP ,內(nèi)處處成立連通區(qū)域G的原函數(shù)內(nèi)存在在dyQdxPG., yxu:),(),(),(),(yxuyxCxBA計算選取路徑110),(),(,yxyxydyxdxyxu1022內(nèi)任意一點為GyxC),(AByxdyydxxu221oxy),( 10A),(1xB),(yxCxyxxdx0211)(1212xlnBCyxdyydxxu222yxyxydy122)( 不變.lnln12121222xyx222121yxuuuln.的一個原函數(shù)為22yxdyydxx.ln,的原函數(shù)都是事實上222221yxdyydxxCyx)(驗證oxy),( 01

13、A),(yxC?),(行不行為取起點01A?為什么小結(jié)：小結(jié)：),(),(),(yxyxydQxdPyxu00;公式連通區(qū)域上的Green:上的四個等價命是題單連通區(qū)域 G,.內(nèi)處處成立在GxQyP 1,.02LydQxdPLG有內(nèi)任意閉曲線對于,.內(nèi)與路徑無關(guān)在GydQxdPL3.),(.內(nèi)恒成立在使存在原函數(shù)GydQxdPudyxu4Lydyxxyxdxyxy222332125sincosI例.,),(的一段弧到上由點為在拋物線120022 yxLoxAy,cos xyxyP232解22321yxxyQsin,cos xyxyyP262 262xyxyxQcos 使存在原函數(shù)在全平面成立),(,yxuxQyP ydQxdPyxud),(yxyyxdsin232ydyxxyxdxyyx22233212sincosydQxdP ydydxyxdxyydyxxdyxsincos2322223 ydydxxdyydxxdy)(sinsin)()(223223ydxydyxdsin232cyxyyxyxusin),(232),(),()sin(1200232 yxyyxI42 oxyYXyxdyydxx在整個證明例226