數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與智慧發(fā)展學(xué)習(xí)

1、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與智慧發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與智慧發(fā)展人民教育出版社人民教育出版社 章建躍章建躍一、全面深化課改的新要求一、全面深化課改的新要求 國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（20102020年）年）的頒布標(biāo)志著我國(guó)課程改革進(jìn)入了新的頒布標(biāo)志著我國(guó)課程改革進(jìn)入了新階段。階段。 全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)見(jiàn)，提出，提出“大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，把培大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，把培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀融入國(guó)民教育全過(guò)育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀融入國(guó)民教育全過(guò)程程”的新要求的新要求 。著力推進(jìn)關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)改革著力

2、推進(jìn)關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)改革 研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)：根據(jù)學(xué)生的成長(zhǎng)規(guī)律和社會(huì)對(duì)人才的需求根據(jù)學(xué)生的成長(zhǎng)規(guī)律和社會(huì)對(duì)人才的需求，把對(duì)學(xué)生德智體美全面發(fā)展總體要求和社會(huì)，把對(duì)學(xué)生德智體美全面發(fā)展總體要求和社會(huì)主義核心價(jià)值觀的有關(guān)內(nèi)容具體化、細(xì)化，深主義核心價(jià)值觀的有關(guān)內(nèi)容具體化、細(xì)化，深入回答入回答“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人”的問(wèn)題。的問(wèn)題。教育部組織研究提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)教育部組織研究提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格

3、和關(guān)鍵能力，突出強(qiáng)調(diào)個(gè)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，突出強(qiáng)調(diào)個(gè)人修養(yǎng)、社會(huì)關(guān)愛(ài)、家國(guó)情懷，更加注重自主人修養(yǎng)、社會(huì)關(guān)愛(ài)、家國(guó)情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實(shí)踐。發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實(shí)踐。 貫徹德育為先、能力為重、全面發(fā)展的教育理念，貫徹德育為先、能力為重、全面發(fā)展的教育理念，完善符合素質(zhì)教育和時(shí)代要求的課程教材體系，完善符合素質(zhì)教育和時(shí)代要求的課程教材體系，深化人才培養(yǎng)模式改革，為各級(jí)各類(lèi)人才的成長(zhǎng)深化人才培養(yǎng)模式改革，為各級(jí)各類(lèi)人才的成長(zhǎng)提供平臺(tái)和良好環(huán)境；提供平臺(tái)和良好環(huán)境；在教與學(xué)的方式上，要進(jìn)在教與學(xué)的方式上，要進(jìn)一步推廣自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式與啟發(fā)、一步推廣自主、合作、探

4、究的學(xué)習(xí)方式與啟發(fā)、討論、參與的教學(xué)方式，特別是要堅(jiān)持啟發(fā)式教討論、參與的教學(xué)方式，特別是要堅(jiān)持啟發(fā)式教學(xué)這一優(yōu)秀傳統(tǒng)，增強(qiáng)育人的針對(duì)性和實(shí)效性；學(xué)這一優(yōu)秀傳統(tǒng)，增強(qiáng)育人的針對(duì)性和實(shí)效性；要改變重智輕德、單純追求分?jǐn)?shù)和升學(xué)率的現(xiàn)狀，要改變重智輕德、單純追求分?jǐn)?shù)和升學(xué)率的現(xiàn)狀，在增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感、提高學(xué)生的創(chuàng)新精神在增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感、提高學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力上狠下功夫。和實(shí)踐能力上狠下功夫。 以考試分?jǐn)?shù)、升學(xué)率為唯一衡量標(biāo)準(zhǔn)的教以考試分?jǐn)?shù)、升學(xué)率為唯一衡量標(biāo)準(zhǔn)的教育發(fā)展模式已經(jīng)走到了盡頭。育發(fā)展模式已經(jīng)走到了盡頭。 回歸數(shù)學(xué)教育的本來(lái)面目，著眼于學(xué)生的回歸數(shù)學(xué)教育的本來(lái)面目，著眼于學(xué)

5、生的長(zhǎng)期利益，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，挖掘數(shù)長(zhǎng)期利益，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，以提高數(shù)學(xué)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的人思考，成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的人才。才。 課程標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)課程標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)二、我國(guó)數(shù)學(xué)教育的問(wèn)題二、我國(guó)數(shù)學(xué)教育的問(wèn)題1.課程內(nèi)容與結(jié)構(gòu)課程內(nèi)容與結(jié)構(gòu) 課程內(nèi)容，一是比較龐雜、臃腫，基礎(chǔ)性課程內(nèi)容，一是比較龐雜、臃腫，基礎(chǔ)性不突出；二是開(kāi)放性不夠，對(duì)學(xué)生建立完不突出；二是

6、開(kāi)放性不夠，對(duì)學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)思維方式不利；三是不能反映信整的數(shù)學(xué)思維方式不利；三是不能反映信息化社會(huì)的需求以及技術(shù)環(huán)境下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)息化社會(huì)的需求以及技術(shù)環(huán)境下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)。特點(diǎn)。 課程結(jié)構(gòu)，模塊化破壞了知識(shí)的系統(tǒng)性，課程結(jié)構(gòu)，模塊化破壞了知識(shí)的系統(tǒng)性，削弱了知識(shí)的邏輯聯(lián)系性，降低了知識(shí)的削弱了知識(shí)的邏輯聯(lián)系性，降低了知識(shí)的自我生長(zhǎng)能力。自我生長(zhǎng)能力。2.教學(xué)素材的選擇和組織教學(xué)素材的選擇和組織 形式化的學(xué)習(xí)材料，標(biāo)準(zhǔn)化的答案。雖有形式化的學(xué)習(xí)材料，標(biāo)準(zhǔn)化的答案。雖有一題多解，但往往只是技巧上的變化。唯一題多解，但往往只是技巧上的變化。唯一的目的是應(yīng)對(duì)高考的功利訴求。一的目的是應(yīng)對(duì)高考的功利訴

7、求。 反映知識(shí)的背景和應(yīng)用（數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在反映知識(shí)的背景和應(yīng)用（數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯，與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系性）、關(guān)注真實(shí)性問(wèn)邏輯，與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系性）、關(guān)注真實(shí)性問(wèn)題、開(kāi)放的形式、解決的途徑多樣化、答題、開(kāi)放的形式、解決的途徑多樣化、答案的不唯一等考慮不多；人為制造了大量案的不唯一等考慮不多；人為制造了大量與數(shù)學(xué)并沒(méi)有多少關(guān)系的題目，不僅為難與數(shù)學(xué)并沒(méi)有多少關(guān)系的題目，不僅為難學(xué)生，實(shí)際也是為難老師自己。學(xué)生，實(shí)際也是為難老師自己。3學(xué)與教的過(guò)程學(xué)與教的過(guò)程 學(xué)習(xí)方式單一，學(xué)習(xí)過(guò)程單一，學(xué)習(xí)活動(dòng)學(xué)習(xí)方式單一，學(xué)習(xí)過(guò)程單一，學(xué)習(xí)活動(dòng)缺乏靈活性，缺乏靈活性，“悟悟”的過(guò)程太短，甚至沒(méi)的過(guò)程太短，甚至沒(méi)有。直接告

8、訴知識(shí)后，進(jìn)行大運(yùn)動(dòng)量操有。直接告訴知識(shí)后，進(jìn)行大運(yùn)動(dòng)量操練練一個(gè)定義，三項(xiàng)注意，幾個(gè)例題，一個(gè)定義，三項(xiàng)注意，幾個(gè)例題，大量練習(xí)成為常態(tài)。大量練習(xí)成為常態(tài)。 可能使學(xué)生成為可能使學(xué)生成為“熟練工熟練工”，但肯定成不，但肯定成不了了“領(lǐng)導(dǎo)者領(lǐng)導(dǎo)者”、科學(xué)家、思想家等等。、科學(xué)家、思想家等等。4學(xué)習(xí)態(tài)度學(xué)習(xí)態(tài)度 因?yàn)楦呖家妓灾荒苡仓^皮學(xué)因?yàn)楦呖家妓灾荒苡仓^皮學(xué)許許多學(xué)生憎恨數(shù)學(xué)。多學(xué)生憎恨數(shù)學(xué)。 缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、主動(dòng)學(xué)習(xí)精神，沒(méi)有缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、主動(dòng)學(xué)習(xí)精神，沒(méi)有形成專(zhuān)注于數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣。形成專(zhuān)注于數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣。 “其實(shí)大多數(shù)人恨的不是數(shù)學(xué)，而是中學(xué)其實(shí)大多數(shù)人恨的不是數(shù)學(xué)，而

9、是中學(xué)老師教給你的那門(mén)叫做數(shù)學(xué)的科目老師教給你的那門(mén)叫做數(shù)學(xué)的科目”。 丘成桐說(shuō)，學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)是丘成桐說(shuō)，學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)是“老師講得老師講得不好！不好！”他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是教師，他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是教師，這是世界性的共識(shí)。這是世界性的共識(shí)。5學(xué)習(xí)結(jié)果學(xué)習(xí)結(jié)果 習(xí)慣于依賴(lài)，解老師給的、各種教輔中的習(xí)慣于依賴(lài)，解老師給的、各種教輔中的題目，缺乏獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題的勇氣和能力，題目，缺乏獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題的勇氣和能力，“知識(shí)知識(shí)”量大，但缺乏靈活性、變通性，量大，但缺乏靈活性、變通性，雜亂的知識(shí)堆砌不僅沒(méi)有成為獨(dú)立面對(duì)問(wèn)雜亂的知識(shí)堆砌不僅沒(méi)有成為獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題時(shí)的智慧，成為認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的題時(shí)的智慧，

10、成為認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的利器，反而成了解決問(wèn)題包袱。利器，反而成了解決問(wèn)題包袱。 如何通過(guò)改革，改變現(xiàn)狀？如何通過(guò)改革，改變現(xiàn)狀？ 我們應(yīng)該從哪些方面做出努力？我們應(yīng)該從哪些方面做出努力？三、教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的三大基石三、教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的三大基石 理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。 “三個(gè)理解三個(gè)理解”的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)科知識(shí)；中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)

11、理解水平的知識(shí)；等。估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。 特別是，特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。效果。四、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)四、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn) 知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，包括知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性內(nèi)涵，包括知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等，它知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等，它是知識(shí)的精義和主旨所在。是知識(shí)的精義和主旨所在。 數(shù)學(xué)知識(shí)是高度抽象的，她的語(yǔ)言（特別是數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)是高度抽象的，她的語(yǔ)言（特別是數(shù)學(xué)符號(hào)、圖標(biāo)語(yǔ)言）是高度概括、凝練的。正學(xué)符號(hào)、圖標(biāo)語(yǔ)言）

12、是高度概括、凝練的。正是這種高度的抽象性才使數(shù)學(xué)成為連接現(xiàn)實(shí)世是這種高度的抽象性才使數(shù)學(xué)成為連接現(xiàn)實(shí)世界與人類(lèi)智慧的橋梁，使數(shù)學(xué)語(yǔ)言成為表達(dá)客界與人類(lèi)智慧的橋梁，使數(shù)學(xué)語(yǔ)言成為表達(dá)客觀世界結(jié)構(gòu)的唯一精準(zhǔn)語(yǔ)言。觀世界結(jié)構(gòu)的唯一精準(zhǔn)語(yǔ)言。因此數(shù)學(xué)知識(shí)極因此數(shù)學(xué)知識(shí)極富意蘊(yùn)。富意蘊(yùn)。 數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題和

13、解決問(wèn)題能力的根基所在。解決問(wèn)題能力的根基所在。 只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解數(shù)學(xué)的基本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，數(shù)學(xué)的基本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，才能把握數(shù)學(xué)的基本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知才能把握數(shù)學(xué)的基本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提。識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提。 數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育價(jià)值數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育價(jià)值有著天然聯(lián)系。有著天然聯(lián)系。 從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā)從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā), ,應(yīng)緊緊圍繞應(yīng)緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)數(shù)量關(guān)系系”、“空間形式空間形式”、“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)

14、合”和和“公理化思想公理化思想”這四條主線這四條主線, ,讓讓學(xué)生學(xué)生有機(jī)會(huì)體有機(jī)會(huì)體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問(wèn)題，例如引發(fā)會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問(wèn)題，例如引發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的基本問(wèn)題某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的基本問(wèn)題, ,創(chuàng)立過(guò)程中創(chuàng)立過(guò)程中出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想, ,以及從定性以及從定性到精確定量的基本過(guò)程等。到精確定量的基本過(guò)程等。 數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來(lái)的；面對(duì)一個(gè)數(shù)數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來(lái)的；面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，如何展開(kāi)研究；如何用已有知識(shí)學(xué)對(duì)象，如何展開(kāi)研究；如何用已有知識(shí)去解決問(wèn)題，發(fā)展新知識(shí)；等等。去解決問(wèn)題，發(fā)展新知識(shí)；等等。例例 幾個(gè)幾個(gè)“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單”概念的

15、理解概念的理解 空間中的空間中的“位置位置”差異用什么表示？差異用什么表示？ 空間中的空間中的“方向方向”差異用什么表示？差異用什么表示？ 如何刻畫(huà)直線的如何刻畫(huà)直線的“直直”？ 如何刻畫(huà)平面的如何刻畫(huà)平面的“平平”？ “位置位置”是宇宙空間的最基本要素，位置是宇宙空間的最基本要素，位置用用“點(diǎn)點(diǎn)”表示；表示； 直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的位置差異用有向線段的長(zhǎng)度表示；位置差異用有向線段的長(zhǎng)度表示； 兩個(gè)兩個(gè)“方向方向”的差異用角度表示；的差異用角度表示； 直線的直線的“直直”用點(diǎn)與直線的位置關(guān)系刻畫(huà)用點(diǎn)與直線的位置關(guān)系刻畫(huà)； 平面的平面的“平平”用

16、點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)用點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系來(lái)刻畫(huà)。系來(lái)刻畫(huà)。理解數(shù)學(xué)的三重境界理解數(shù)學(xué)的三重境界 傅種孫：傅種孫： 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然五、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí)五、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí) 思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和，它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和概括的反映，包括邏輯思維和形象思維，概括的反映，包括邏輯思維和形象思維，但通常是指邏輯思維。但通常是指邏輯思維。 思維的工具是語(yǔ)言；思維的工具是語(yǔ)言； 思維的形式是概念、判斷、推理等；思維的形式是概念、判斷、推理等； 思維的方法

17、是抽象、歸納、演繹、分析和思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和綜合等。綜合等。一個(gè)結(jié)構(gòu)一個(gè)結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的的基本結(jié)構(gòu)：定義概念基本結(jié)構(gòu)：定義概念推導(dǎo)性質(zhì)推導(dǎo)性質(zhì)建立聯(lián)系建立聯(lián)系實(shí)踐應(yīng)用。實(shí)踐應(yīng)用。 先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題，并深化認(rèn)

18、識(shí)、拓展新知。學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題，并深化認(rèn)識(shí)、拓展新知。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過(guò)程。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過(guò)程。兩個(gè)方向（方面）兩個(gè)方向（方面） 數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面歸歸納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)知過(guò)程中，一方面要從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析知過(guò)程中，一方面要從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜想、命題等；另一中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜想、命題等；另一方面又要用邏輯推理、數(shù)理分析去研討業(yè)已認(rèn)方面又要用邏輯推理、數(shù)理分析去研討業(yè)已認(rèn)知的本質(zhì)，證明猜想，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相知的本質(zhì)，證明猜

19、想，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同學(xué)科關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同學(xué)科統(tǒng)一性的認(rèn)知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配統(tǒng)一性的認(rèn)知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不到的效果。到的效果。三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言 數(shù)學(xué)思維的工具數(shù)學(xué)思維的工具：符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和普通文字語(yǔ)言。普通文字語(yǔ)言。 數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使人們能方便、簡(jiǎn)捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果人們能方便、簡(jiǎn)捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果。數(shù)學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富的。數(shù)學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富的“信息塊信

20、息塊”，因，因而成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，而成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言能縮短數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使之?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言能縮短數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使之變得簡(jiǎn)約、精練。變得簡(jiǎn)約、精練。四種形式四種形式 數(shù)學(xué)思維的基本形式數(shù)學(xué)思維的基本形式：邏輯推理邏輯推理代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算幾何直觀幾何直觀數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合 邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出結(jié)論的思維過(guò)程。規(guī)則推出結(jié)論的思維過(guò)程。 認(rèn)識(shí)問(wèn)題的要點(diǎn)在于把認(rèn)識(shí)問(wèn)題的要點(diǎn)在于把握握好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；解決問(wèn)題的任務(wù)是運(yùn)

21、用題；解決問(wèn)題的任務(wù)是運(yùn)用“已知已知”之性之性質(zhì)去推論質(zhì)去推論“待知待知”之性質(zhì)。概括言之，乃之性質(zhì)。概括言之，乃是在性質(zhì)層面的一種以簡(jiǎn)馭繁。而邏輯推是在性質(zhì)層面的一種以簡(jiǎn)馭繁。而邏輯推理就是這種以簡(jiǎn)馭繁的實(shí)踐與步驟。理就是這種以簡(jiǎn)馭繁的實(shí)踐與步驟。 “代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算”，有效有，有效有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問(wèn)題是代數(shù)學(xué)的系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問(wèn)題是代數(shù)學(xué)的基本思想；數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的基本思想；數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類(lèi)比而發(fā)現(xiàn)需研究的問(wèn)題和方模范，與它類(lèi)比而發(fā)現(xiàn)需研究的問(wèn)題和方法，是基本而重要的數(shù)學(xué)思維方式；代數(shù)法，是基本而重要的數(shù)學(xué)思維方

22、式；代數(shù)運(yùn)算的過(guò)程和方法可以容易地發(fā)展成高層運(yùn)算的過(guò)程和方法可以容易地發(fā)展成高層次函數(shù)觀點(diǎn)。次函數(shù)觀點(diǎn)。 幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)特征得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)特征，用點(diǎn)線面體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃，用點(diǎn)線面體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃至用圖形及其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)至用圖形及其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和關(guān)系，幾何直觀是展開(kāi)邏輯推理的思維和關(guān)系，幾何直觀是展開(kāi)邏輯推理的思維基礎(chǔ)?；A(chǔ)。 用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系，把幾何中的定用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系，把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的定量結(jié)果，這是數(shù)性結(jié)果轉(zhuǎn)化為

23、可運(yùn)算的定量結(jié)果，這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，坐標(biāo)法、學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，坐標(biāo)法、函數(shù)與圖像（曲線）、三角函數(shù)與圓、向函數(shù)與圖像（曲線）、三角函數(shù)與圓、向量法與幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。量法與幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。N N種因地制宜的具體思維方法種因地制宜的具體思維方法 針對(duì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法針對(duì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法：觀察、假觀察、假說(shuō)、實(shí)驗(yàn)法、確證等科學(xué)思維方法在數(shù)學(xué)說(shuō)、實(shí)驗(yàn)法、確證等科學(xué)思維方法在數(shù)學(xué)研究中有用武之地研究中有用武之地； 觀察引領(lǐng)思考，事物現(xiàn)象的因果關(guān)系、事觀察引領(lǐng)思考，事物現(xiàn)象的因果關(guān)系、事物的特征和構(gòu)成要素、以及如何介入其中物的特征和構(gòu)成要素

24、、以及如何介入其中創(chuàng)造出我們想要的變化等，都能從觀察中創(chuàng)造出我們想要的變化等，都能從觀察中獲得啟示；獲得啟示； 綜合法與分析法、順證法與反證法，數(shù)學(xué)綜合法與分析法、順證法與反證法，數(shù)學(xué)歸納法歸納法是常用的思維方法。是常用的思維方法。數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思維一個(gè)結(jié)構(gòu)一個(gè)結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向兩個(gè)方向三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言四種形式四種形式 演化出演化出千變?nèi)f化千變?nèi)f化、賞心悅目、震撼心靈賞心悅目、震撼心靈的的思維方法。思維方法。 數(shù)學(xué)思維是人類(lèi)智慧的最精彩綻放。數(shù)學(xué)思維是人類(lèi)智慧的最精彩綻放。六、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性六、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性 整體是事物的一種真實(shí)存在形式。整體是事物的一種真實(shí)存在形式。 數(shù)學(xué)是一個(gè)整體。數(shù)學(xué)是一個(gè)

25、整體。 數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上上縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系?？v向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。 特別是由數(shù)學(xué)核心概念所反映的數(shù)學(xué)思想特別是由數(shù)學(xué)核心概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的前后一致性。方法的前后一致性。例例 從數(shù)及其運(yùn)算看數(shù)學(xué)的整體性從數(shù)及其運(yùn)算看數(shù)學(xué)的整體性 在數(shù)系的發(fā)展過(guò)程中，正整數(shù)與人的直覺(jué)在數(shù)系的發(fā)展過(guò)程中，正整數(shù)與人的直覺(jué)一致，天經(jīng)地義。然而，一致，天經(jīng)地義。然而，0、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)取

26、得、無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)取得“合法合法”地位，都經(jīng)地位，都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)、曲折而相似的過(guò)程。歷了漫長(zhǎng)、曲折而相似的過(guò)程。 數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類(lèi)比類(lèi)比可以可以發(fā)現(xiàn)需發(fā)現(xiàn)需要要研究的問(wèn)題研究的問(wèn)題，獲得解決，獲得解決問(wèn)題的問(wèn)題的方法方法。 對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有理數(shù)及其運(yùn)算具有奠對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有理數(shù)及其運(yùn)算具有奠基作用，對(duì)整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)也基作用，對(duì)整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)也是基本而重要是基本而重要的的。數(shù)系擴(kuò)充的基本思想是什么數(shù)系擴(kuò)充的基本思想是什么 數(shù)系的擴(kuò)充：引入一種新數(shù)（如何引）；數(shù)系的擴(kuò)充：引入一種新數(shù)（如何引）；定義運(yùn)算（如何定義）；研究運(yùn)算律（什定義運(yùn)算（如何

27、定義）；研究運(yùn)算律（什么叫運(yùn)算律）。么叫運(yùn)算律）。 擴(kuò)充的基本原則：使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保擴(kuò)充的基本原則：使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保持不變。持不變。 數(shù)學(xué)推廣過(guò)程的一個(gè)重要特性：使得在原數(shù)學(xué)推廣過(guò)程的一個(gè)重要特性：使得在原來(lái)范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然來(lái)范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。成立。 運(yùn)算是代數(shù)中的核心問(wèn)題。運(yùn)算是代數(shù)中的核心問(wèn)題。 這段教材是這段教材是如何滲透數(shù)如何滲透數(shù)系擴(kuò)充基本系擴(kuò)充基本思想的思想的使算術(shù)運(yùn)算使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保的運(yùn)算律保持不變。持不變?！坝欣頂?shù)有理數(shù)”的整體結(jié)構(gòu)的整體結(jié)構(gòu) 背景（現(xiàn)實(shí)需要、數(shù)學(xué)發(fā)展的需要）背景（現(xiàn)實(shí)需要、數(shù)學(xué)發(fā)展的需要）定義、表示、分類(lèi)定義

28、、表示、分類(lèi)性質(zhì)性質(zhì)運(yùn)算運(yùn)算聯(lián)系和應(yīng)用。聯(lián)系和應(yīng)用。 研究一個(gè)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本套路。研究一個(gè)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本套路。 “數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”的的教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)例例 解析幾何中如何體現(xiàn)坐標(biāo)法思想解析幾何中如何體現(xiàn)坐標(biāo)法思想 解析幾何是方法論；解析幾何是方法論； 其整體性就在于用坐標(biāo)法處理幾何問(wèn)題。其整體性就在于用坐標(biāo)法處理幾何問(wèn)題。 形式上：形式上：“三步曲三步曲”； 經(jīng)歷用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的完整過(guò)程：先用經(jīng)歷用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的完整過(guò)程：先用平面幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決。平面幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決。 平面直角坐標(biāo)系的要素是什么？平面直角坐標(biāo)系的要素是什么？ 平面直角

29、坐標(biāo)系中的點(diǎn)，可以討論哪些問(wèn)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，可以討論哪些問(wèn)題題一個(gè)點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)點(diǎn)？三個(gè)點(diǎn)？一個(gè)點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)點(diǎn)？三個(gè)點(diǎn)？直線與方程的結(jié)構(gòu)直線與方程的結(jié)構(gòu) 在平面直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾在平面直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾何要素何要素平面幾何是平面幾何是”兩點(diǎn)確定一條直兩點(diǎn)確定一條直線線”；這里要發(fā)揮直角坐標(biāo)系的力量，因；這里要發(fā)揮直角坐標(biāo)系的力量，因此引入傾斜角和斜率的概念。此引入傾斜角和斜率的概念。 斜率：概念、公式（不同條件下的不同形斜率：概念、公式（不同條件下的不同形式）、性質(zhì)（特例、關(guān)系）式）、性質(zhì)（特例、關(guān)系） 直線的方程：直線的方程：“一點(diǎn)和一個(gè)方向，或兩點(diǎn)一點(diǎn)和一個(gè)方向，或兩點(diǎn)

30、，唯一確定一條直線，唯一確定一條直線”的代數(shù)化。求解的的代數(shù)化。求解的過(guò)程是過(guò)程是“同一事物的兩種表示等價(jià)同一事物的兩種表示等價(jià)”。從哪些角度討論直線方程？從哪些角度討論直線方程？ 不同的條件下的不同形式不同的條件下的不同形式可以問(wèn)學(xué)生可以問(wèn)學(xué)生：你認(rèn)為可以從哪些角度確定一條直線？：你認(rèn)為可以從哪些角度確定一條直線？ 與直線相關(guān)的幾何問(wèn)題有哪些？如何利用與直線相關(guān)的幾何問(wèn)題有哪些？如何利用直線方程進(jìn)行討論？直線方程進(jìn)行討論？平面幾何的經(jīng)驗(yàn)平面幾何的經(jīng)驗(yàn)，討論，討論“相交線與平行線相交線與平行線”，“相交線相交線”中有交點(diǎn)坐標(biāo)、交角、點(diǎn)到直線的距離等中有交點(diǎn)坐標(biāo)、交角、點(diǎn)到直線的距離等，特例是垂

31、直；，特例是垂直；“平行線平行線”中，平行的條中，平行的條件，平行線間的距離。件，平行線間的距離。還可以討論哪些問(wèn)題還可以討論哪些問(wèn)題 如何發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題？如何發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題？二元一次不等式表示平面區(qū)域二元一次不等式表示平面區(qū)域 如何提出問(wèn)題？如何獲得猜想？如何提出問(wèn)題？如何獲得猜想？ 從具體到抽象、從特殊到一般從具體到抽象、從特殊到一般強(qiáng)調(diào)歸強(qiáng)調(diào)歸納的過(guò)程。納的過(guò)程。 直角坐標(biāo)系中，方程直角坐標(biāo)系中，方程xy6=0的解為坐標(biāo)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線的點(diǎn)在直線l上；同時(shí)，直線上；同時(shí)，直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程都是方程xy6=0的解的解由此你能提出由此你能提出什么新問(wèn)題？什么新問(wèn)題？ 用用“四

32、種命題四種命題”為指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)有研究?jī)r(jià)值為指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)有研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題：的問(wèn)題： (x0 ,y0)不在直線不在直線l上，則上，則x0y060 x0y060或或x0y060。 坐標(biāo)平面被直線坐標(biāo)平面被直線xy6=0分成三個(gè)部分，分成三個(gè)部分，它們與它們與xy60， xy6=0 ，xy60有什么關(guān)系呢？有什么關(guān)系呢？ 任意取點(diǎn)，代入，找規(guī)律任意取點(diǎn)，代入，找規(guī)律發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)“同側(cè)同側(cè)同號(hào)同號(hào)”。如何證明如何證明“同側(cè)同號(hào)同側(cè)同號(hào)” 點(diǎn)點(diǎn)P0 (x0 ,y0 )在直線在直線Ax+By+C=0的的“左上方左上方”、“右下方右下方”如何用數(shù)量關(guān)系表達(dá)？如何用數(shù)量關(guān)系表達(dá)？ y P0(x0 ,y0 ) O x獲得

33、證明思路的關(guān)鍵獲得證明思路的關(guān)鍵 對(duì)解析幾何的基本思想（坐標(biāo)法）的理解對(duì)解析幾何的基本思想（坐標(biāo)法）的理解深度；深度； 對(duì)對(duì)“先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決法解決”的認(rèn)識(shí)；的認(rèn)識(shí)； 在直角坐標(biāo)系中，幾何方位的代數(shù)化在直角坐標(biāo)系中，幾何方位的代數(shù)化以坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)，用不等式表示以坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)，用不等式表示“上下左上下左右右”的關(guān)系。所以，歸根到底是對(duì)直角坐的關(guān)系。所以，歸根到底是對(duì)直角坐標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)等概念的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)等概念的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。 七、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng)七、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng) 數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和

34、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極大地簡(jiǎn)化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思能極大地簡(jiǎn)化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思維給我們帶來(lái)整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)維給我們帶來(lái)整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn)。思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn)。例例 研究研究“三角形三角形”的系統(tǒng)思維的系統(tǒng)思維 定義定義“三角形三角形”，明確它的構(gòu)成

35、要素；用，明確它的構(gòu)成要素；用符號(hào)表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為符號(hào)表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)；標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)；明確研究對(duì)明確研究對(duì)象象 基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到 “三角形內(nèi)角和等于三角形內(nèi)角和等于180” 等；等； 研究研究“相關(guān)要素及其關(guān)系相關(guān)要素及其關(guān)系”，如，如“三角形三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和”等；等； 三角形的全等（反映空間的對(duì)稱(chēng)性，三角形的全等（反映空間的對(duì)稱(chēng)性，“相相等等”是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成“確確定一個(gè)三角形的條件定一個(gè)三角形的

36、條件”）；）； 特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、直角三角形）；直角三角形）； 三角形的變換（如相似三角形等）；三角形的變換（如相似三角形等）； 直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)）直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形；，解直角三角形； 解三角形（正弦定理、余弦定理）。解三角形（正弦定理、余弦定理）。把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究 明確研究對(duì)象（定義、表示、劃分）明確研究對(duì)象（定義、表示、劃分） 性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）特例（性質(zhì)和判定）特例（性質(zhì)和判定）聯(lián)系；聯(lián)系； 定性研究

37、（相等、不等、對(duì)稱(chēng)性等）定性研究（相等、不等、對(duì)稱(chēng)性等）定量研究（面積、勾股定理、相似、解三定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。角形等）。 培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問(wèn)題的習(xí)慣，避免考問(wèn)題的習(xí)慣，避免“見(jiàn)木不見(jiàn)林見(jiàn)木不見(jiàn)林”，進(jìn)，進(jìn)而使他們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能把解決問(wèn)而使他們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能把解決問(wèn)題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過(guò)程、解決過(guò)程的題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過(guò)程、解決過(guò)程的優(yōu)化以及對(duì)問(wèn)題的拓展、深化等作為一個(gè)優(yōu)化以及對(duì)問(wèn)題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。這樣，整體進(jìn)行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題

38、的人才，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的人才”就能就能落在實(shí)處。落在實(shí)處。什么叫性質(zhì)？什么叫性質(zhì)？ 性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。穩(wěn)定的聯(lián)系。 問(wèn)題：這里的問(wèn)題：這里的“事物內(nèi)部事物內(nèi)部”指什么？指什么？“穩(wěn)穩(wěn)定的聯(lián)系定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系聯(lián)系”？ 從三角形的從三角形的“內(nèi)角和為內(nèi)角和為180”、“兩邊之兩邊之和大于第三邊和大于第三邊”、“大邊對(duì)大角大邊對(duì)大角”、“等等邊對(duì)等角邊對(duì)等角”等你想到了什么？等你想到了什么？ “內(nèi)部?jī)?nèi)部”可以是可以是“三角形的組成要素三角形的組成要素”，“穩(wěn)定

39、的聯(lián)系穩(wěn)定的聯(lián)系”是指是指“三角形要素之間確三角形要素之間確定的關(guān)系定的關(guān)系”。 幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。質(zhì)。 從從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三三條高交于一點(diǎn)條高交于一點(diǎn)”、“等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一”等又想到了什么？等又想到了什么？ 把外角、高、中線、角平分線等叫做三角把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素相關(guān)要素”也可以也可以看成是看成是“三角形的內(nèi)部三角形的內(nèi)部”。 要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。 兩個(gè)幾何事

40、物所形成的某種位置關(guān)系所體兩個(gè)幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從“同位同位角相等角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等”以及以及“同旁內(nèi)同旁內(nèi)角互補(bǔ)角互補(bǔ)”可以想到，這時(shí)的可以想到，這時(shí)的“性質(zhì)性質(zhì)”是借是借助助“第三條直線第三條直線”構(gòu)成一些角，然后看由構(gòu)成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。角之間有什么確定的關(guān)系。 研究?jī)蓚€(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有研究?jī)蓚€(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾

41、何事物與其他幾何事物之間是否形兩個(gè)幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關(guān)系入手。成確定的關(guān)系入手。圓的幾何性質(zhì)圓的幾何性質(zhì) 要素、相關(guān)要素：圓心、半徑、直徑、弧要素、相關(guān)要素：圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角、弦、圓心角、圓周角 你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？研究的命題？ 同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過(guò)圓心的任何同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過(guò)圓心的任何一條弦；一條弦； 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??；所對(duì)的兩條??； 在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相等在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦

42、相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對(duì)的弦較大（弦心距較小）；逆定理弧所對(duì)的弦較大（弦心距較小）；逆定理也成立。也成立。 切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。 過(guò)圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長(zhǎng)相等。過(guò)圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長(zhǎng)相等。 你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究 棱柱棱柱 要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點(diǎn)、面對(duì)角要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點(diǎn)、面對(duì)角線、體對(duì)角線、高線、體對(duì)角線、高 要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面、棱要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面、棱與棱、面與棱與棱

43、、面與棱 特例：長(zhǎng)方體特例：長(zhǎng)方體正方體，平行六面體正方體，平行六面體 直線與平面平行的性質(zhì)直線與平面平行的性質(zhì) 位置關(guān)系：直線位置關(guān)系：直線l 平面平面； 其他事物：直線、平面；其他事物：直線、平面； 命題：命題：（1）如果）如果 al，那么，那么a ；（2）如果）如果 a ，那么，那么a l；（3）如果）如果a l，那么，那么a；（4）如果）如果a，那么，那么a l；（5）如果）如果l，那么，那么；（6）如果）如果，那么，那么l；（7）如果）如果l，那么，那么 ；（8）如果）如果 ，那么，那么 l。（9）與）與“公理公理”相聯(lián)系，直線相聯(lián)系，直線l與平面與平面 內(nèi)任內(nèi)任意一點(diǎn)意一點(diǎn)A確定一

44、個(gè)平面確定一個(gè)平面 ， =m ，那么，那么 ml；（10）l ，所以，所以l =。如果。如果m在在 內(nèi)，內(nèi)，則或者則或者ml，或者，或者m與與l是異面直線。是異面直線。（11）直線）直線m與直線與直線l異面，則過(guò)直線異面，則過(guò)直線m有且有且只有一個(gè)平面與直線只有一個(gè)平面與直線l平行。平行。（12）l ， =l， =l1， =l2，那那么么l1l2。從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué) 以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，按學(xué)以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，提高發(fā)現(xiàn)和提一個(gè)

45、數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)認(rèn)出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的能力。識(shí)和解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)化的過(guò)程數(shù)學(xué)化的過(guò)程關(guān)于關(guān)于“解三角形解三角形” 教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問(wèn)題的策略等方面的思考：策略等方面的思考： 如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題； 從定性到定量地研究問(wèn)題；從定性到定量地研究問(wèn)題； 將新問(wèn)題化歸為舊問(wèn)題；將新問(wèn)題化歸為舊問(wèn)題； 從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問(wèn)題；等等。從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問(wèn)題；等等。如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題）如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題） 數(shù)學(xué)中，往往是在定性研究問(wèn)題后，希望數(shù)學(xué)

46、中，往往是在定性研究問(wèn)題后，希望得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素，由全等三角形的，由全等三角形的“基本事實(shí)基本事實(shí)”SSSSSS，SASSAS，ASAASA，你能提出什么新的問(wèn)題？，你能提出什么新的問(wèn)題？ 六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有一個(gè)是邊），三角形就唯一確定。也就是一個(gè)是邊），三角形就唯一確定。也就是說(shuō)，其余三個(gè)要素可以由這三個(gè)要素唯一說(shuō)，其余三個(gè)要素可以由這三個(gè)要素唯一確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求出其余三個(gè)要素。出其余三個(gè)要素。解直角三角形問(wèn)題的引出解直角三角形

47、問(wèn)題的引出關(guān)于解一般三角形關(guān)于解一般三角形 對(duì)于對(duì)于“解三角形解三角形”，你會(huì)哪些知識(shí)？，你會(huì)哪些知識(shí)？會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只有會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只有“內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理”。 給定兩邊一夾角，求其他邊、角給定兩邊一夾角，求其他邊、角化歸化歸為直角三角形。為直角三角形。 還有沒(méi)有其他方法？還有沒(méi)有其他方法？從知識(shí)的聯(lián)系性從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？怎么用？怎么用？ 你還能提出哪些問(wèn)題？你還能提出哪些問(wèn)題？ 對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角

48、形確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形的邊、角來(lái)表示。怎樣用三角形的邊、角的邊、角來(lái)表示。怎樣用三角形的邊、角來(lái)表示它的外接圓半徑？來(lái)表示它的外接圓半徑？ 對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高、中線、對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來(lái)表示它們的度量？用三角形的邊、角來(lái)表示它們的度量？ 一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)徑、高、中線長(zhǎng)、角平分線長(zhǎng)等，這是三徑、高、中線長(zhǎng)、角平分線長(zhǎng)等，這是三角形這個(gè)整體中

49、的各種要素。對(duì)它們之間角形這個(gè)整體中的各種要素。對(duì)它們之間存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維、掌握維、掌握“認(rèn)識(shí)、解決問(wèn)題的方法認(rèn)識(shí)、解決問(wèn)題的方法”、提、提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力等方面都能發(fā)揮很好的作用。力等方面都能發(fā)揮很好的作用。八、發(fā)揮核心概念及其反映的數(shù)學(xué)八、發(fā)揮核心概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)作用思想方法的引領(lǐng)作用 數(shù)學(xué)核心知識(shí)是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)和功能的基本數(shù)學(xué)核心知識(shí)是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)和功能的基本單位，核心概念是數(shù)學(xué)

50、核心知識(shí)的單位，核心概念是數(shù)學(xué)核心知識(shí)的“控制中心控制中心”，在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展中起著重要作用，是數(shù)在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展中起著重要作用，是數(shù)學(xué)知識(shí)的主要生長(zhǎng)點(diǎn)。學(xué)知識(shí)的主要生長(zhǎng)點(diǎn)。 把握住數(shù)學(xué)核心概念，就抓住了數(shù)學(xué)知識(shí)的根本，把握住數(shù)學(xué)核心概念，就抓住了數(shù)學(xué)知識(shí)的根本，掌握了知識(shí)增長(zhǎng)的源泉。掌握了知識(shí)增長(zhǎng)的源泉。 核心概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法具有數(shù)學(xué)方法論核心概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法具有數(shù)學(xué)方法論的基礎(chǔ)地位，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想，是的基礎(chǔ)地位，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想，是探索大自然中各種各樣問(wèn)題以及數(shù)學(xué)規(guī)律的指導(dǎo)探索大自然中各種各樣問(wèn)題以及數(shù)學(xué)規(guī)律的指導(dǎo)思想，從中可以生發(fā)出解決問(wèn)

51、題的策略和方法。思想，從中可以生發(fā)出解決問(wèn)題的策略和方法。 發(fā)揮數(shù)學(xué)核心概念及其反映的思想方法的引領(lǐng)作發(fā)揮數(shù)學(xué)核心概念及其反映的思想方法的引領(lǐng)作用至關(guān)重要。用至關(guān)重要。 例例 “向量法向量法”的本質(zhì)的本質(zhì) “向量法向量法”的教學(xué)，要讓學(xué)生對(duì)向量法的特的教學(xué)，要讓學(xué)生對(duì)向量法的特點(diǎn)有基本而完整的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上與相關(guān)知點(diǎn)有基本而完整的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上與相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系。識(shí)建立聯(lián)系。 向量法的本質(zhì)，首先是讓幾何量帶上符號(hào)，向量法的本質(zhì)，首先是讓幾何量帶上符號(hào)，“對(duì)比把長(zhǎng)度、面積、體積考慮為絕對(duì)值對(duì)比把長(zhǎng)度、面積、體積考慮為絕對(duì)值的普通初等幾何學(xué)，這樣做有極大的好處。的普通初等幾何學(xué)，這樣做有極大的好處。初

52、等幾何必須依照?qǐng)D形呈現(xiàn)的情況而區(qū)分初等幾何必須依照?qǐng)D形呈現(xiàn)的情況而區(qū)分許多情況，而現(xiàn)在用幾個(gè)簡(jiǎn)單的一般定理許多情況，而現(xiàn)在用幾個(gè)簡(jiǎn)單的一般定理就可以概括。就可以概括。” （F克萊因克萊因 ）這幾個(gè)這幾個(gè)“一般定理一般定理”就是：就是： 向量加法法則（向量回路）；向量加法法則（向量回路）； 向量數(shù)乘的意義及其運(yùn)算律；向量數(shù)乘的意義及其運(yùn)算律； 向量數(shù)量積的意義和運(yùn)算律（特別是相互向量數(shù)量積的意義和運(yùn)算律（特別是相互垂直的向量數(shù)量積為垂直的向量數(shù)量積為0）；）； 平面（空間）向量基本定理。平面（空間）向量基本定理。 向量的向量的“聯(lián)系性聯(lián)系性” 向量回路與三角形定義一致，三角形是最基本、向量回路與

53、三角形定義一致，三角形是最基本、最重要的幾何圖形，是整個(gè)歐氏幾何的基礎(chǔ)；最重要的幾何圖形，是整個(gè)歐氏幾何的基礎(chǔ)； 向量數(shù)乘與三角形相似的緊密聯(lián)系；向量數(shù)乘與三角形相似的緊密聯(lián)系； 平面向量基本定理與平行四邊形的性質(zhì)一致；平面向量基本定理與平行四邊形的性質(zhì)一致； 平面向量數(shù)量積與余弦定理等價(jià)；等等。平面向量數(shù)量積與余弦定理等價(jià)；等等。 向量法是以基本的幾何圖形及其相互關(guān)系為出發(fā)向量法是以基本的幾何圖形及其相互關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)解決問(wèn)題，由此可以把眾多的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，點(diǎn)解決問(wèn)題，由此可以把眾多的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，形成有機(jī)聯(lián)系的整體。形成有機(jī)聯(lián)系的整體。 向量集數(shù)與形于一身，向量運(yùn)算既是數(shù)的運(yùn)算，向量集數(shù)與形

54、于一身，向量運(yùn)算既是數(shù)的運(yùn)算，也是圖形的運(yùn)算，根據(jù)圖形列出向量等式，使計(jì)也是圖形的運(yùn)算，根據(jù)圖形列出向量等式，使計(jì)算與圖形融為一體，這是體現(xiàn)向量法解題特點(diǎn)的算與圖形融為一體，這是體現(xiàn)向量法解題特點(diǎn)的關(guān)鍵。關(guān)鍵。教學(xué)中的問(wèn)題與改進(jìn)教學(xué)中的問(wèn)題與改進(jìn) 沒(méi)有反映向量法的本質(zhì)，披著向量法的外沒(méi)有反映向量法的本質(zhì)，披著向量法的外衣，實(shí)際上還是綜合幾何的方法。衣，實(shí)際上還是綜合幾何的方法。 把向量法中的代數(shù)化曲解為把向量法中的代數(shù)化曲解為“坐標(biāo)運(yùn)坐標(biāo)運(yùn)算算”窄化了向量法的應(yīng)用范圍。窄化了向量法的應(yīng)用范圍。 改進(jìn)：加深對(duì)改進(jìn)：加深對(duì)“方向方向”的重要性的認(rèn)識(shí)，的重要性的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)從四個(gè)加強(qiáng)從四個(gè)“一般定理一

55、般定理”出發(fā)思考和解決出發(fā)思考和解決問(wèn)題的教學(xué)，加強(qiáng)問(wèn)題的教學(xué)，加強(qiáng)“代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算”和和“圖形圖形運(yùn)算運(yùn)算”的結(jié)合。的結(jié)合。九、要使學(xué)生掌握研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)九、要使學(xué)生掌握研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的具體方法象的具體方法 數(shù)學(xué)觀念和具有一般意義的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)觀念和具有一般意義的數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)的指導(dǎo)保證高立意。保證高立意。 好的教學(xué)既需要有好的想法，也需要有能好的教學(xué)既需要有好的想法，也需要有能夠落實(shí)的具體措施，變成學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)夠落實(shí)的具體措施，變成學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)可以實(shí)施的行動(dòng)?？梢詫?shí)施的行動(dòng)。 一般而言，研究一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象（即一般而言，研究一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象（即使是解一個(gè)有思維含金量的數(shù)

56、學(xué)題目），使是解一個(gè)有思維含金量的數(shù)學(xué)題目），往往需要經(jīng)歷從定性到定量、從具體到抽往往需要經(jīng)歷從定性到定量、從具體到抽象、從宏觀到微觀的過(guò)程。象、從宏觀到微觀的過(guò)程。 圍繞核心概念發(fā)展圍繞核心概念發(fā)展知識(shí)體系知識(shí)體系十、數(shù)學(xué)方法因解決問(wèn)題的需要而產(chǎn)生十、數(shù)學(xué)方法因解決問(wèn)題的需要而產(chǎn)生 解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)非是兩種途徑：解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)非是兩種途徑：（1 1）調(diào)動(dòng)已有知識(shí)解決之）調(diào)動(dòng)已有知識(shí)解決之用概念、原理用概念、原理為條件和結(jié)論搭橋；為條件和結(jié)論搭橋；（2 2）創(chuàng)造一種新的方法解決之）創(chuàng)造一種新的方法解決之在分析面在分析面臨問(wèn)題的特征的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，核心臨問(wèn)題的特征的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造

57、，核心是從具體事例中抽象規(guī)律，概括出一般方是從具體事例中抽象規(guī)律，概括出一般方法。法。 數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué) 如何引出問(wèn)題如何引出問(wèn)題明確要解決的問(wèn)題是明確要解決的問(wèn)題是“證明一證明一個(gè)依賴(lài)于自然數(shù)個(gè)依賴(lài)于自然數(shù)n的命題的命題p(x)”，而用現(xiàn)有的邏輯，而用現(xiàn)有的邏輯推理方法如分析法、綜合法、反證法等無(wú)法證明。推理方法如分析法、綜合法、反證法等無(wú)法證明。 如何獲得方法如何獲得方法在具體推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，在具體推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，這里就是歸納（為什么這種方法叫做數(shù)學(xué)歸納這里就是歸納（為什么這種方法叫做數(shù)學(xué)歸納法？）：法？）： a1=1；由；由a1=1和和an+1 =f(an)得得a

58、2=1/2；由；由a2=1/2和和an+1 =f(an)得得a3=1/3； 歸納出具有一般性的結(jié)構(gòu)：歸納出具有一般性的結(jié)構(gòu)：ak=1/k和和an+1 =f(an)得得到到ak+1=1/(k+1)。 利用生活經(jīng)驗(yàn)（多米諾骨牌等）增強(qiáng)直觀感受，利用生活經(jīng)驗(yàn)（多米諾骨牌等）增強(qiáng)直觀感受，使學(xué)生確信方法的可靠性；使學(xué)生確信方法的可靠性； 方法的給出，方法的給出，強(qiáng)調(diào)第二步到底要做什么強(qiáng)調(diào)第二步到底要做什么。 如何教解題（應(yīng)用）如何教解題（應(yīng)用）亦步亦趨地寫(xiě)出條件和亦步亦趨地寫(xiě)出條件和結(jié)論各是什么；用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步要結(jié)論各是什么；用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步要證的是什么，特別是第二步本質(zhì)上是要干

59、什么證的是什么，特別是第二步本質(zhì)上是要干什么證明一個(gè)命題：以證明一個(gè)命題：以n=k成立為條件，證明成立為條件，證明n=k+1也成立。也成立。 缺第一步、第二步的辨析放在哪里？缺第一步、第二步的辨析放在哪里？ 小結(jié)如何做？小結(jié)如何做？十一、使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言思考和表達(dá)十一、使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言思考和表達(dá) 用代數(shù)、幾何的語(yǔ)言刻畫(huà)和表達(dá)一種數(shù)學(xué)用代數(shù)、幾何的語(yǔ)言刻畫(huà)和表達(dá)一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)。完成這個(gè)現(xiàn)象，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)。完成這個(gè)任務(wù)，實(shí)際上也是進(jìn)行任務(wù)，實(shí)際上也是進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思考和解數(shù)學(xué)地思考和解決問(wèn)題決問(wèn)題”的教學(xué)。的教學(xué)。 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 是性質(zhì)課，核心是要讓學(xué)

60、生學(xué)習(xí)用嚴(yán)格的是性質(zhì)課，核心是要讓學(xué)生學(xué)習(xí)用嚴(yán)格的代數(shù)語(yǔ)言刻畫(huà)代數(shù)語(yǔ)言刻畫(huà)“在區(qū)間在區(qū)間D上，當(dāng)上，當(dāng)x增大（減增大（減?。r(shí)，相應(yīng)的?。r(shí)，相應(yīng)的f(x)也隨著增大（減小）也隨著增大（減?。?。 要引導(dǎo)學(xué)生借助具體函數(shù)，經(jīng)歷從圖像直要引導(dǎo)學(xué)生借助具體函數(shù)，經(jīng)歷從圖像直觀到定性刻畫(huà)，再到用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻觀到定性刻畫(huà)，再到用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)的過(guò)程。畫(huà)的過(guò)程。 教學(xué)設(shè)計(jì)中，關(guān)鍵是要思考如何采取有效教學(xué)設(shè)計(jì)中，關(guān)鍵是要思考如何采取有效措施突破措施突破x在區(qū)間在區(qū)間D上的任意取值這一難點(diǎn)。上的任意取值這一難點(diǎn)。 通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，設(shè)法把通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，設(shè)法把“任意任意”兩字從兩字從學(xué)生的潛意識(shí)中學(xué)生