高等數(shù)學(xué)第八章第七節(jié)——方向?qū)?shù)與梯度ppt課件

1、BUCT 第八章 一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度BUCT實例一實例一 一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是標是(1,1)(1,1)，(5,1)(5,1)，(1,3)(1,3)，(5,3)(5,3)在坐標原點在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)(3,2)處有一只螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬處有一只螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？行才

2、能最快到達較涼快的地點？BUCT00.511.522.533.544.5500.511.522.53實質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行實質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行問題：何為溫度變化最劇烈的方向？問題：何為溫度變化最劇烈的方向？示意圖示意圖BUCT 實例二實例二 西點軍校地形圖西點軍校地形圖觀察支流的流動方向BUCTl),(zyxP定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點 ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在

3、下列極限: P記作記作 BUCT,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl則函數(shù)在該點沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點 P 可微 , 得P故coscoscoszfyfxfBUCT對于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向?qū)?shù)為方處沿方向在點(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特別

4、特別: : 當(dāng) l 與 x 軸同向有時,2,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時,2,xflfl向角BUCT在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量向量 l 的方向余弦為的方向余弦為BUCT在點P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxPlz它在點 P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23

5、(2yx)3,2()4, 1 (174cos1BUCT是曲面n在點 P(1, 1, 1 )處指向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數(shù)nnBUCT方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf

6、,0方向一致時與當(dāng)Gl:GGlfmaxBUCT, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點處的梯度 G說明說明: 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義BUCT函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線) ,面上的投在曲線xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影稱為函數(shù) f 的等值線 . ,不同時為零設(shè)yxff則L*上點P 處的法向量為 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf

7、)(321ccc設(shè)P同樣, 對應(yīng)函數(shù), ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時, 其上 點P處的法向量為.gradPf, ),(yxfz 對函數(shù)指向函數(shù)增大的方向.BUCT00.511.522.533.544.5500.511.522.53金屬板上各點的溫度為金屬板上各點的溫度為22),(yxkyxT各點的梯度為各點的梯度為2323)()(),(2222yxkyyxkxyxTgrad等值線方程為等值線方程為.)/(222ckyx1234511.522.530.511.522.53XYZBUCT012345600.511.522.533.54xy-grad

8、fgrad f螞蟻應(yīng)沿著負梯度方向爬行才能最快到達較涼快的地點螞蟻應(yīng)沿著負梯度方向爬行才能最快到達較涼快的地點結(jié)論結(jié)論: :BUCT等高線圖指出支流沿最速下降的路徑垂直于等高線流動等高線圖指出支流沿最速下降的路徑垂直于等高線流動西西點點軍軍校校地地形形圖圖實實例例二二結(jié)論結(jié)論: :BUCT0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)BUCT,)(可導(dǎo)設(shè)rf),(222zyxPzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzj

9、yixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,rBUCT函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù)數(shù)性函數(shù))場向量場向量場(矢性函數(shù)矢性函數(shù))可微函數(shù))(Pf梯度場梯度場)(gradPf( 勢 )如: 溫度場, 電位場等如: 力場,速度場等(向量場) 注意注意: 任意一個向量場不一定是梯度場任意一個向量場不一定是梯度場.BUCT已知位于坐標原點的點電荷 q 在任意點),(4222zyxrrqu),(zyxP試證證證: 利用

10、例利用例4的結(jié)果的結(jié)果 這說明場強:處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.Eugrad)4(02rrqE 場強04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrfBUCT1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossinBUCT2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯

11、度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.BUCT1. 設(shè)函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點切線方向的方向?qū)?shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度與(1)中切線方向 的夾角 .2. P73 題 16BUCT,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266函數(shù)沿 l 的方向?qū)?shù)lM

12、(1,1,1) 處切線的方向向量BUCT)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgradl cosMfgradl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyaxBUCTP51 2，3，6，7，8，9，10BUCT函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令那么xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考