2-4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度(一)

1、1第2.4節(jié) 連續(xù)型隨機變量及密度函數(shù)2性質性質(1),( )0.x f x 對任意的(2)( )d1.f xx( ),( ),( )( )d ,( ),.xXF xXxxF xf ttXf xX設 為隨機變量，為的分布函數(shù) 若存在非負函數(shù)f使對于任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機變量 其中稱為的概率密度函數(shù) 簡稱概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度 1.定義定義211221( )( )( )xxP xXxF xF xf x dx) 3(3(4)( ),( )( ).f xxF xf x若在點處連續(xù) 則有)(aFaXP ( )d ,af xx1aXPaXP )(1aF ( )d .af xx同時得以下計

2、算公式同時得以下計算公式4例例例題,01( )0,.,( ), 0.50.5.XAxxf xelseAF xPX設隨機變量的概率密度為試確定常數(shù)并求51,0,( )0,0.xXkexf xx設隨機變量的密度函數(shù)為例例且已知11,2P X 試求常數(shù)62:0,0,( ),01,1,1.XxF xAxBxx設隨機變量例例試求常數(shù)A，B以及密度函數(shù)f(x)。7常見連續(xù)型隨機變量的分布 1,( )0,( , ),( , ).Xaxbf xbaXa bXU a b定義設連續(xù)型隨機變量具有概率密度其它則稱在區(qū)間區(qū)間上服從均勻分布記為1. 均勻分布均勻分布( )f xaob概率密度概率密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形8

3、., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數(shù)分布函數(shù)xo)(xF a b 19例例 設隨機變量設隨機變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從均勻分布, 現(xiàn)現(xiàn)對對 X 進行三次獨立觀測進行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值試求至少有兩次觀測值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為1, 25,( )30,.xf x其它設設 A 表示表示“對對 X 的觀測值大于的觀測值大于 3”,解解即即 A= X 3 .102 YP.2720 因而有因而有設設Y 表示表示3次獨立觀測中觀測值大于次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù)的次數(shù),則則., 323BY 321322320

4、33213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x11,0,( )0,0.0,.xXexf xxX定義設連續(xù)型隨機變量的概率密度為其中為常數(shù) 則稱服從參數(shù)為 的指數(shù)分布2. 指數(shù)分布指數(shù)分布12 某些元件或設備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設備的壽命服從指數(shù)分布.例如例如無線電元件的壽命無線電元件的壽命 , 電力設備的壽命電力設備的壽命, 動物的壽動物的壽命等都服從指數(shù)分布命等都服從指數(shù)分布.應用與背景應用與背景分布函數(shù)分布函數(shù) . 0, 0, 0,1)(xxexFx 13例例 設某類日光燈管的使用壽命設某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 =1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)

5、分布(單位單位:小時小時)(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時以小時以上的概率上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以小時以上上,求還能使用求還能使用1000小時以上的概率小時以上的概率. .,)(000120001xxexFxX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解141000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP151000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .6

6、07. 021 e指數(shù)分布的重要性質指數(shù)分布的重要性質 :“無記憶性無記憶性”.1622()221( ),2,(0),( ,).xXf xex X XN 定義設連續(xù)型隨機變量的概率密度為其中為常數(shù) 則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布 記為3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)高斯資料高斯資料17正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對稱對稱曲線關于曲線關于x 1(2),( );2xf x當時取得最大值(3),( )0;xf x 當時18(4),( ),;p xx當固定改變的大小時圖形的形狀不變 只是沿著軸作平移變換19(5),( ),.f x當固定改變的大小時圖形

7、的對稱軸不變 而形狀在改變越小圖形越高越瘦越大圖形越矮越胖20正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)texFxtd21)(222)( 21 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應用與背景正態(tài)分布的應用與背景 22正態(tài)分布下的概率計算正態(tài)分布下的概率計算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計算軟件包計算(演示演示)方法二方法二:轉化為標準正態(tài)分布查表計算轉化為標準正態(tài)分布查表計算23).1, 0(,1, 0),(2NN記為記為態(tài)分布態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正的正態(tài)分布稱為標準正這樣這樣時時中的中的當正態(tài)分布當正態(tài)分布 標準正態(tài)分布的概率密度表示為標準正態(tài)分布的概率密度表示為,21)(22 xexx 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為.,d21)(22 xtex