大學(xué)計(jì)算方法和數(shù)值分析復(fù)習(xí)試題

1、2013計(jì)算方法復(fù)習(xí)務(wù)必通過本提綱例子和書上例子掌握如下書本內(nèi)容：1.會(huì)平方根法求解方程組2.會(huì)求Lagrange,Newton插值多項(xiàng)式和余項(xiàng)3.會(huì)Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式，迭代矩陣及其譜半徑，收斂性。4.會(huì)高斯-勒讓德公式求積分5.會(huì)寫非線性方程根的Newton迭代格式6.會(huì)用改進(jìn)的歐拉公式求解初值問題7.會(huì)求最佳平方逼近多項(xiàng)式8.會(huì)計(jì)算求積公式的代數(shù)精度9.會(huì)寫插值基函數(shù)10.會(huì)三次樣條函數(shù)的概念11 .會(huì)計(jì)算差商12.了解矩陣范數(shù)第一章、緒論（一）考核知識(shí)點(diǎn)誤差的來源類型；絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字;誤差的傳播。（二）復(fù)習(xí)要

2、求1.了解數(shù)值分析的研究對(duì)象與特點(diǎn)。2.了解誤差來源與分類，會(huì)求有效數(shù)字;會(huì)簡(jiǎn)單誤差估計(jì)。3.了解誤差的定性分析及避免誤差危害。例題例1.設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有2位有效數(shù)字。例2.為了提高數(shù)值計(jì)算精度，當(dāng)正數(shù)x充分大時(shí)，應(yīng)將ln（x-Jx2-1）改寫為ln（x-Jx2+1）0例3.病的相對(duì)誤差約是 x*的相對(duì)誤差的1/3倍.第二章、插值法（一）考核知識(shí)點(diǎn)插值多項(xiàng)式，插佰某函數(shù)，拉格朗日插佰多項(xiàng)式，差商及其性質(zhì)，牛頓插佰多項(xiàng)式,差分與等距插值；分段線性插值；樣條函數(shù)，三次樣條插值函數(shù)；（二）復(fù)習(xí)要求1.了解插值的概念。2.掌握拉格朗日（Lagrange）1值法及

3、其余項(xiàng)公式。3.了解均差的概念及基本性質(zhì)，掌握牛頓插值法。4.了解差分的概念，會(huì)牛頓前插公式、后插公式。5.了解埃爾米特(Herm計(jì)e)插值及其余項(xiàng)公式。6.知道高次插值的病態(tài)性質(zhì)，會(huì)分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。7.會(huì)三次樣條插值，知道其誤差和收斂性。例題例1.設(shè)f(x)=x3+x2-3,則差商f3,32,33,34=1.例2.設(shè)I0(X),1I(X),12(X),13(X)是以x0,xi，x2，x3為互異節(jié)點(diǎn)的三次插值基函數(shù)，則3-lj(x)(xj-2)3=(x-2)3j0例3.已知列表函數(shù)y=f(x)x1234y0-5-63試求滿足上述插值條件的3次Newton插值多項(xiàng)

4、式Na(x),并寫出插值余項(xiàng)解：牛頓插值公式是Nn(x)=f(XO)-fI.X0,XIl(x-XO)fIX0,XI,X2(x-X0)(X-X1)f 必,，Xnl(x-XO)(x-Xnj)首先構(gòu)造重節(jié)點(diǎn)的差商表：nxy一階二階三階01012-5-523-6-12343951所以，要求的Newton插值為：N3(x)=5(x1)2(x-1)(x-2)(x-1)(x-2)(x-3)=x3-4x23f()c插值余項(xiàng)是：R(x)二(x-1)2(x-2)3!例4已知函數(shù)尸f(x)的觀察數(shù)據(jù)為Xk-2045yk51-31試構(gòu)造f(X)的拉格朗日多項(xiàng)式Pn(x),并計(jì)算f(1)解先構(gòu)造基函數(shù)l_(x)_x(x

5、-：)(x-、)=x(x-：)(x-、)u(二)(Ef_；)（x：）（x-：）（x.、）（x：）（x-）（x-）l（X）=（。-（-；）（：1-D（。-）:。（x1）x（x一）x（x 二）（x 一、）l-x）=二一（：；）（）（一）:：（x1）x（x-1）（x-）（x2）x（x-）1；（x）=（、二）（、一。）（、一 1）3、所求三次多項(xiàng)式為3、Yklk（x）P3（x）=k0、x（x-）（x一.（x1）（x：）（x、）x（x二）（x一、）（x二）x（x一： ）=一父8484十組2424+ +355 53123125555x-x-x-I=:二/二P3（-1）=4214h萬第三章、函數(shù)逼近與曲線擬

6、合（一）考核知識(shí)點(diǎn)勒讓德多項(xiàng)式；切比雪夫多項(xiàng)式；最佳平方逼近；曲線擬合；正交多項(xiàng)式曲線擬合；最小二乘法，法方程組，線性擬合、二次擬合、多項(xiàng)式擬合。（二）復(fù)習(xí)要求1.了解函數(shù)逼近的基本概念，了解范數(shù)和內(nèi)積空間。2.了解正交多項(xiàng)式的概念，了解切比雪夫多項(xiàng)式和勒讓德多項(xiàng)式以及它們的性質(zhì)知道其他常用正交多項(xiàng)式。3 .理解最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多項(xiàng)式的求法，了解用正交多項(xiàng)式做最佳平方逼近的方法。4.了解曲線擬合的最小二乘法并會(huì)計(jì)算，了解用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合。5.了解最小二乘三角逼近與快速傅里葉變換。例題.2，,1.止義內(nèi)積（f,g）=f（x）g（x）dx,試在H1=Span1,x中尋

7、求對(duì)于f（x）=lnx的最佳平方逼近多項(xiàng)式px.解f僅）=lnx,平0（x）三1,匕（x）三x22QS40,0=11dx=1,；：。jxdx2o721,1=xdx=,，f=nxdx=2ln2-1,131231,f=xlnxdx=2ln2-4,法方程為U3/2儼=；21n21B/27/3a1-121n2-3/4解得ao=-0.6371,ai=0.6822。所求的最佳平方逼近多項(xiàng)式為p(x)=0.6822x-0.6371。2 .設(shè)M2=spar1,x2,試在 M2中求f(x)=|x在區(qū)間卜1,1上的最佳平方逼近元。解:設(shè)%(x)=1陽(yáng)僅)=x2,f(x)在M2中的最佳平方逼近元為Px=a0 xaI

8、X則比和a1滿足如下正規(guī)方程組件，”中0,中1)畢=/0,f)1件外)化，平1)/&一!(憶)即122/311112/32/511/2解得a二15/16,a。=3/16所求最佳平方逼近元為P(x)=3/1615/16*x23.給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)解y(x)=c0c1xc2x2qx3ATy=(2.9,4.2,7,14.4)T法方程ATAc=ATy的解為c0=0.4086,c1=0.39167,c2=0.0857,q=0.00833得到三次多項(xiàng)式y(tǒng)(x)=0.40860.39167x0.0857x20.00833

9、x3一1111_2-101241014-8I-1018ATA=一5010J001003410034001340130誤差平方和為:-3=0.000194第四章、數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)（一）考核知識(shí)點(diǎn)代數(shù)精度；插數(shù)型求積公式，牛頓柯特斯公式,復(fù)合求積公式，求積公式的誤差，步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇、龍貝格求積公式,高斯型求積公式。（二點(diǎn)、三點(diǎn)）高斯一一勒讓德求積公式。（二）復(fù)習(xí)要求1.了解數(shù)值求積的基本思想、代數(shù)精度的概念、插值型求積公式及其代數(shù)精度、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性。2.掌握牛頓-柯特斯公式及其性質(zhì)和余項(xiàng)。3 .掌握復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式及其余項(xiàng)。4.了解龍貝格（Rombe求積算法，知道外推法

10、。5.會(huì)高斯求積公式，了解高斯-勒讓德求積公式和高斯-切比雪夫求積公式。例題1 .試確定參數(shù)A,B,C及a,使數(shù)值積分公式2J（x）dx:Af（：）Bf（0）Cf（-：）有盡可能高的代數(shù)精度，并問代數(shù)精度是多少？它是否是Gauss公式？解令公式對(duì)f（x）=1,x,x2,x3,x4都精確成立，則有4=A+B+C,0=Aa-Ca,16/3=Aa2+Ca2,0=Aa3-Ca364/5=Aa4+Ca4,解得:A=C=10/9,B=16/9,a=(12/5)1/2容易驗(yàn)證公式對(duì)f（x）=x5仍精確成立，故其代數(shù)精度為5,是Gauss公式.1211123.2 .求積公式（f（x）dx-f（一）f（）十f（

11、一）具有3次代數(shù)精度.03432343 .用兩點(diǎn)高斯-勒讓德公式求積分I=xdx0解：x=0.5t0.5,x0,“t1,1!dx=0.5dt14.分別用拋物線公式和三點(diǎn)高斯公式計(jì)算積分x2cosxdx,并比較它們的精度,.111I=、xdx=0.5x0.5t0.5dt0=0.5、0.50.57735030.50.5J。(二0.5773503尸0.5=0.4440370.222985=0.667022準(zhǔn)確值為0.478267254解：設(shè)f(x)=x2cosx,貝肝(1)=f(1)=0.540302305,f(0)=0由拋物線(辛普森)公式,、2lf(-1)4f(0)-f(1)1=-0.54030

12、2305=0.360201537由三點(diǎn)高斯公式125.38.5.3xcosxdx：9f（飛5）9f（0）9f（，5）9159915而f（.3）=：0.428821915,f（0）=01o5_3故x2cosxdx-2f（-，）=0.47646879595與準(zhǔn)確值比較知：Simpson公式的計(jì)算結(jié)果無有效數(shù)字； 三點(diǎn)高斯公式有兩位有效數(shù)字。1 15.試?yán)煤瘮?shù) f(x)f(x)= =2在下點(diǎn)xk=x0+kh,其中x0=0,h=1/4,k=4x4x0,1,2,3,4上的值,分別用復(fù)化Simpson公式和復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分Kxkf(xk)000.2511/40.2461521/20.2352933

13、/40.21918410.2000解:2 2X X1 1+ +4 4,（保留小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)）.2.xcosxdx1.T4f(0)f(1)80.23116.用兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式求積分xxdx。1解：兩點(diǎn)Gauss-legrende求積公式為:13.3f(x)dx=f(-)f()33所以；xd13T=07.試確定參數(shù)A,B,C及%使數(shù)值積分公式2J(x)dx:Af(：)Bf(0)Cf(-：)有盡可能高的代數(shù)精度，并問代數(shù)精度是多少？它是否是Gauss公式？解令公式對(duì)/(x)=1,x,x2,x3,x4都精確成立，則有4=A+B+C,0=A：-C：,16/3=A：2+C2,0=A

14、：3-C：3_4_464/5=A：+C：解得:A=C=10/9,B=16/9,：=(12/5)1/2容易驗(yàn)證公式對(duì)/(x)=x5仍精確成立，故其代數(shù)精度為5,是Gauss公式。第五章、解線性方程組的直接方法(一)考核知識(shí)點(diǎn)高斯消去法，列主元消去法；矩陣三角分解法；平方根法；追趕法;(二)復(fù)習(xí)要求1.了解矩陣基礎(chǔ)知識(shí)，了解向量和矩陣的幾種范數(shù)。2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4.掌握直接三角分解法，了解平方根法，會(huì)追趕法，了解有關(guān)結(jié)論。5.了解矩陣和方程組的性態(tài)，會(huì)求其條件數(shù)。例題5=之口0)ff240.232(10分)一 1aa|1 .設(shè)矩陣A=a10,當(dāng)a取:a01一2.分別用順

15、序Gauss消去法和直接三角分解法（杜利脫爾分解）求解線性方程組彳 231x1I-14252x2=18315x3_j20_解：1）Gauss消去法12314125218T01520_0231411-4-10t0-5-422_0回代x3=3,x2=2,x1=12）直接三角分解法（杜利脫爾分解）：231101-4=LU51-00-24_123,123,- -HI-HIJ J325325251251123,123,解 Ly=b,Ux=y得x=(1,2,3)T3用追趕法求解三對(duì)角方程組Ly=b=一010y=,Ux=y=0二1一一11-1x=14.平方根法求解對(duì)稱正定方程組675XI、/9713812卜

16、 103)19J0【023-2-112)12一12一=LU值時(shí),A可以唯一分解為GG,其中G為下三1.1ac解：令=1aA0,aa1aa0=12a20123141-4-100-24-72j-1a aij- -1 1ik1 1jk=k=1j=1,2,.,i-1675A=7138586rve其次解Ly=b其次解LTx=y解:LLT分解A-XL*曰，3=所以原方程組的解為“= =（3 3，三/3/3尸=（1,1,一1212）第六章、解線性方程組的迭代法（一）考核知識(shí)點(diǎn)迭代法的基本概念，雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法，超松弛迭代法，共腕梯度法，迭代解數(shù)列收斂的條件 J（二）復(fù)習(xí)要求1.了解迭代法及其

17、收斂性的概念。2.掌握雅可比（Jacobi）迭代法、 高斯-賽彳惠爾（Gauss-Seidel）迭代法和超松弛（SOR）迭代法。例題1.對(duì)于方程組2 -11|I1T|111X2=1 分別寫出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算公式,J1-2X3.L并考察求解的收斂性。解：Jacobi迭代計(jì)算公式的分量形式為、x尸X2k由）x”k k(1(1X X/V/V- -雅可比迭代矩陣為一121D(L+U)=1O OI.I.1-1-2,2,1-1-2 21-1-2 21-1-2 22 2/1 1十十由(1)可見|同卜=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,經(jīng)計(jì)算可得x(1)=(1/4

18、,-2/5,1/2)T,于是|X(1)-x(0)卜=1/2,所以有I-B1九一一2111一 2 一 235 八.5.d5/九十一九，九=0,士 i,P(B)=1422Gauss-Seidel迭代計(jì)算公式的分量形式為X1(k方4x(k1)2(k1)3二(x2k)x3k)1)/2=_X1(k4)-x3k)+1，高斯-賽德爾迭代矩陣為(X1(k1)x2k-1)/2Vo_1(D-L)U-2-1-10一 12一1一 0-1-1012121【2121：(B)工：122.設(shè)線性方程組4XI-X22x3=1，XI5x2+X322XI+X2+6x3=3寫出Jacobi法和SORt的迭彳t格式(分量形式);(2)

19、討論這兩種迭代法的收斂性.取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法計(jì)算時(shí)(取三位有效數(shù)字).解：(1)Jacobi法和SORt的迭代格式分別為，預(yù)估誤差|X*-x(10)|x；k1)1(k)丁(k1)x2(k)k1)-XI51(k)3X11x51一xk)(k)242512(k1)XI(k1)x2x3k1)_(k)一x1(k)=X2(-x1(k)-41(kI)-1(-x1k)1(k)(k)x2x3k)-(1X1(k1)1x362x3)1(k)一 X352k1)-x34言k)_12(2)因?yàn)锳是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣1時(shí)收斂.，但不是正定矩陣，故Jacobi法收斂,SOR法當(dāng)0 x*-x

20、(10)|JIBt_|k(1).x(0)|=2251 父 0.5=0.113二 1-|B1-0.753.討論 AX=刈勺Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收斂性1-22其中，A=-11-1-2-21b=(1,1,0)T1解：Jacobi迭代法的迭代矩陣 BJ=；02-2(IA)=1011,、220則川-BJ=K3=0=P(BJ)=01Jacobi迭代收斂Gauss-Seidel迭代矩陣102BG，=-1102-21八.一，2八3_吐=K(Z2-4Z-4)二-2)門1=110八420=：很)=2丫 0201人221-2)/021=020,、08-2、-1一二Gauss-Seidel

21、迭代發(fā)散4.已知方程組Ax=bAx=b, ,其中2A=111121b=1112.1J列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;(2)討論上述兩種迭代法的收斂性。解：(1)Jacobi迭代法:卜，*)=( (1x x2k)k)x x3k)k)/)/2，x2k k+)+)= =( (1-X-X1(k)(k)- -x x3k)k)/)/2x x3k+)k+)= =( (1-x-x1(k)(k)- -x x2k)k)/)/2Jacobi迭代矩陣:0_.,1B=D(L+U)=B=D(L+U)=211201211212P P(B(B)=)=1收斂性不能確定(2) Gauss-Sei

22、del迭代法：. .x x1(k(k陽(yáng)=(1.x x2k k)x x3k)k)/)/2 x x2k k判=(1x x1k k判一 x x3k)k)/)/2(k(k1)(k)(k1)(k)(k1) )x x3=(1-x x1-x-x2)/)/20G=(D-L),G=(D-L),U=00Gauss-Seidel迭代矩陣： B)B)= =/ /1 1盧二01*該迭代法收斂第七章、非線性方程求根(一)考核知識(shí)點(diǎn)對(duì)分法；不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性：迭代收斂的加速方法；埃特金加速收斂方法；斯特芬森迭代法；牛頓法;弦截法與拋物線法。(二)復(fù)習(xí)要求1.了解求根問題和二分法。2.了解不動(dòng)點(diǎn)迭代法， 及不動(dòng)點(diǎn)存在性和

23、迭代收斂性； 了解收斂階的概念和有關(guān)結(jié)論。3.了解加速迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛頓法及其收斂性、了解簡(jiǎn)化牛頓法和牛頓法，下山法，了解重根情形。5.掌握弦截法，了解拋物線法。例題1.對(duì)于方程 x3+2x2+10X-20=0 在 x=1 附近，(1)試建立收斂的簡(jiǎn)單迭代格式；(2)用牛頓迭代法求其根，名=10”；(3)試寫出其弦截法公式。解：(1)令f(x)=x3+2x2+10 x-20,將原方程改為 x=220得迭代函數(shù)x22x10：(x)=202x22x10因?yàn)橹?1)1,所以迭代格式為xk1=20 xk22xk1012141812121-8(2)牛頓迭代格式為xk1=人一

24、_岑10 xk一203x24xk10取x0=1,x1=1.4118,x2=1.3693,%=1.3688*x：x3=1.369(3)取x.=1x0=2xk1=xk3-2xk2xk10 xkx32x210 xk-(xL2x210 xk)(xk-xkj)2選擇填空題：為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是()211x=,迭代ZA式-,x=1+2，迭代公式xk平=1+2(A)X/xk-1(B)x2x22x二1-xk(C)x x=1+x x，迭代公式天+= =(1(1+ +x xk)(D)x31=x2迭代公式xk+xk+1x

25、2W(x)=,R(x)=解：在(A)中，x-1%x1故迭代發(fā)散。應(yīng)選擇(A)。12(x-1)3/212(1.6-1)3/2=1.076可以驗(yàn)證在(B),(C),(D)中，中(x)滿足*x)|父r1,迭代收斂3.用Newton法求方程 x-lnx=2 在區(qū)間(2 嚴(yán))內(nèi)的根，要求“、k108。xk解此方程在區(qū)間(2,刃)內(nèi)只有一個(gè)根s,而且在區(qū)間(2,4)內(nèi)。設(shè)f(x)=x-lnx-211則f(x)=1,f(x);xx2Newton法迭代公式為xk-lnxk-2xk(1lnxk)xk1=xk-二1-1/xkxk-1k=0,1,2,Bx0=3,得sx4=3.146193221。第八章、矩陣特征值問題計(jì)算(一)考核知識(shí)點(diǎn)哥法及反哥法；正交變換與矩陣QR分解與舒爾分解；QR算法(二)復(fù)習(xí)要求1.了解特征值和特征向量的概念和性質(zhì)。2.掌握乘哥法，了解其加速收斂技術(shù),會(huì)反哥法。3.了解豪斯霍爾德方法。4 .了解Q昉法。例題9931.用幕法求矩陣A=J3309按模最大的特征值及相應(yīng)的特征向量，取330.9uo=(1,1)T,精確至