高三零模沖刺講義C級(jí)考點(diǎn)講解與訓(xùn)練不等式

1、高三零模沖刺講義C級(jí)考點(diǎn)講解與訓(xùn)練之二 不等式 C級(jí)考點(diǎn)回顧：一元二次不等式、基本不等式一、 課本回顧與拓展1.（P79練習(xí)3）國(guó)家為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，實(shí)行征收附加稅政策. 已知某種酒每瓶70元，不加附加稅時(shí)，每年大約銷(xiāo)售100萬(wàn)瓶；若政府征收附加稅，每銷(xiāo)售100元要征稅R元（叫做稅率R%），則每年的銷(xiāo)售量將減少10R萬(wàn)瓶. 要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅不少于112萬(wàn)元，R的取值范圍是_. 2.（P79習(xí)題9改編）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .3.（P86練習(xí)3）（1）二元一次不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi).（2）不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi). 4

2、.（P86練習(xí)6改編）不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為_(kāi).等腰梯形5.（P95習(xí)題11）設(shè)，若，則點(diǎn)的集合表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi). 6.（P99練習(xí)7）設(shè)是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi).變1：已知且，則的最小值為_(kāi).變2：已知且，則的最小值為_(kāi). BACD地面7.（P99例1改編）某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求至少長(zhǎng)2.8m，為的中點(diǎn)，到的距離比的長(zhǎng)小0.5m，已知建筑支架的材料每米的價(jià)格一定，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)的長(zhǎng)，可使建造這個(gè)支架的成本最低？解：設(shè) 連結(jié)BD. 則在中， 設(shè)則等號(hào)成立時(shí)答：當(dāng)時(shí)，建造這個(gè)支架的成本最低. 8.（P100例3）過(guò)點(diǎn)（1,2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交

3、于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，則直線l的方程為_(kāi).9.（P101練習(xí)1）如果那么的最小值是_.10.（P105習(xí)題9）函數(shù)的最大值為_(kāi).11.（P106習(xí)題16）已知正數(shù)x,y滿足則的最小值為_(kāi).12.（P102習(xí)題11，Miler Problem）如圖，有一壁畫(huà)，最高點(diǎn)A處離地面4m，最低點(diǎn)B離地面2m.若從離地高1.5m的C處觀賞它，則離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角最大？變1：（2010年江蘇高考題）某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=（1）該小組已經(jīng)測(cè)得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；（2）該

4、小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問(wèn)d為多少時(shí)，-最大？變2：（解析幾何特訓(xùn)6）已知圓，Q為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，圓Q與圓P相外切，圓Q與x軸交于M、N兩點(diǎn).在y軸上是否存在一異于原點(diǎn)的定點(diǎn)A，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由13.（P105習(xí)題13）設(shè)（1）若方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.（2）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.（3）若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.二、典例剖析例1. 已知橢圓方程(a>0,b>0). （1）若過(guò)點(diǎn)P(3，

5、2)，求的最小值為_(kāi)，ab的最小值為_(kāi).（2）求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為_(kāi).變1：已知，若，則的最小值為_(kāi)變2：已知是正數(shù)，且滿足，則法1：法2：變3：設(shè)是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是_.方法1：考慮通法，消元化為單元函數(shù)，而后可用導(dǎo)數(shù)法和判別式法求解函數(shù)的最小值；方法2：考慮整體替換的方法，分母的和為常數(shù)方法2：設(shè)，則，所以=，因?yàn)樗宰?：若，且，則的最小值為 ； （雙換元）例2. 已知，若對(duì)，,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).變1：已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).變2：函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使成立, 則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).例3. 已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次不等式的解集為，則的最小值是

6、_. 8解析：分子分母同時(shí)除以，變形為（消元思想）（其中條件為），而后轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，易求得最小值為8變1：已知正數(shù)滿足:則的取值范圍是_.解法1：令，則原不等式組可轉(zhuǎn)化為，所求為滿足不等式組的線性區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，利用線性規(guī)劃易得取值范圍是解法2：我們注意到所求的是的取值范圍，和參數(shù)無(wú)關(guān)，所以可以將參數(shù)特殊化，不妨取,則條件可轉(zhuǎn)化為,則由得,易得的取值范圍是解法3：令,則,由得： ： 綜上可得的取值范圍是. 變2：設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)為f(x)對(duì)任意xR，不等式f(x)f(x)恒成立，則的最大值為_(kāi)22例4. 已知定義在的函數(shù)滿足：，.若，令，則

7、使數(shù)列的前項(xiàng)和的最小自然數(shù)=_.變：已知函數(shù)，方程的一個(gè)根為t，且，（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；求導(dǎo)函數(shù)的值域；（2）證明：，三、自主練習(xí)1. 二次不等式的解集為，且，則的最小值為_(kāi).2. 若不等式恰好有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則的值為 . 3. 已知二次函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為_(kāi).4. 已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_. 5. （2011年江蘇高考題改編）不等式(3x2+a)(2x+b) ³0對(duì)一切x-1，+¥)恒成立，其中a>0, 則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)；不等式(3x2+a)(2x+b) ³0對(duì)一切x(a，b)恒成立，其中a<0，則b-a的最大值為_(kāi). 6.

8、 在平面直角坐標(biāo)系xoy下，已知雙曲線（），右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l,點(diǎn)A，B是右支上兩點(diǎn)， ，線段AB的中點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)為，則的最大值為 . 7. 設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：方程， 有實(shí)數(shù)根；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.（1）若函數(shù)為集合M中的任意一個(gè)元素，證明：方程只有一個(gè)實(shí)根；（2）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素,并說(shuō)明理由；（3）設(shè)函數(shù)為集合M中的任意一個(gè)元素，對(duì)于定義域中任意，當(dāng)且時(shí),證明： 8. 已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）證明：是R上的偶函數(shù)；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立. 試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【

9、解析】本小題主要考查初等函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題的能力. 滿分16分.(1) 因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以是R上的偶函數(shù).(2) 解法一（官方解答）：由條件知上恒成立.令，則，所以對(duì)于任意成立.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立. 因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解法二：考慮不等式兩邊同乘，則不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立.令，則問(wèn)題可簡(jiǎn)化為：在上恒成立. 構(gòu)造函數(shù)，由圖象易得當(dāng)時(shí)不符合題意.當(dāng)時(shí)，或解得.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為. （江蘇蘇州 陳海鋒）(3) 令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，又，故，所以是上的單調(diào)增函數(shù)，因此在上的最小值是.由于存在，使成立，當(dāng)且僅當(dāng)最小值，

10、故，即.令函數(shù)，則，令，得.當(dāng)時(shí)，故是上的單調(diào)減函數(shù).當(dāng)時(shí)，故是上的單調(diào)增函數(shù).所以在上的最小值時(shí).注意到，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，所以對(duì)任意的成立.當(dāng)時(shí)，即，從而；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，故.綜上所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.(3)的民間思路：難題分解1：如何根據(jù)條件求出參數(shù)的取值范圍？分解路徑1：直接求函數(shù)的最值.解：令，只要在上，即可. 當(dāng)時(shí)，.；當(dāng)時(shí)，則. 故在區(qū)間上，即函數(shù)為的增函數(shù)，則，解得.（江蘇蘇州 何睦）分解路徑2：參數(shù)分離可以嗎？解：欲使條件滿足，則，此時(shí)，則，構(gòu)造函數(shù)，即求此函數(shù)在上的最小值. .因?yàn)椋瑒t. 則在上恒成立，故，故（江蘇蘇州 何睦）難題分解2：如何根據(jù)求得的參數(shù)的取值范圍比

11、較與的大??？分解路徑1：（取對(duì)數(shù)）與均為正數(shù)，同取自然底數(shù)的對(duì)數(shù)，即比較與的大小，即比較與的大小. 構(gòu)造函數(shù)，則，再設(shè)，從而在上單調(diào)遞減，此時(shí)，故在上恒成立，則在上單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（江蘇蘇州 何睦）分解路徑2：（變同底，構(gòu)造函數(shù)比大小）要比較與的大小，由于，那么，故只要比較與的大小. 令，那么.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間上，為增函數(shù)；在區(qū)間上，為減函數(shù).又，則，；那么當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. （江蘇蘇州 王耀）【考點(diǎn)】函數(shù)的基本性質(zhì) (B)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值 (B)，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題的能力. 9. 記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，

12、已知（1）求的值（2）設(shè)函數(shù)，試問(wèn)：是否存在正整數(shù)使得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）若實(shí)數(shù)和（，且）滿足：，試比較與的大小，并加以證明（解題暗示語(yǔ)的暗示）解：（1），由得 （2），令得，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，有極小值，也是最小值，構(gòu)造輔助函數(shù),求導(dǎo)后易得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，由可知方程只有唯一實(shí)數(shù)解綜上所述，存在使得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn) （3），得， 則，（常規(guī)的作差比較法而后構(gòu)造輔助函數(shù)模型比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），在上是減函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），在上是增函數(shù)，又，綜上所述，當(dāng)時(shí) ，

13、當(dāng)時(shí)10. 函數(shù)定義在區(qū)間a, b上，設(shè)“”表示函數(shù)在集合D上的最小值，“”表示函數(shù)在集合D上的最大值現(xiàn)設(shè)，()；，()若存在最小正整數(shù)k，使得對(duì)任意的成立，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的“第k類(lèi)壓縮函數(shù)”（1）若函數(shù)，試寫(xiě)出、的解析式；（2）若m>0，函數(shù)是上的“第3類(lèi)壓縮函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（）由于，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增的最大值為3，（）由于，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 正整數(shù)k對(duì)x恒成立，當(dāng)x0時(shí)，均成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，而，從而有；當(dāng)時(shí)，恒成立，而，從而有；，函數(shù)是上的“第3類(lèi)壓縮函數(shù)”，m>0 11. 已知函數(shù)（1）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求所有

14、的實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的下方；（3）若存在，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）由在R上是增函數(shù)，則即，則范圍為；4分（2）由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，即，當(dāng)恒成立，即，故只要且在上恒成立即可，在時(shí)，只要的最大值小于且的最小值大于即可，而當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以； （3）當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根； 則當(dāng)時(shí)，由得時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，則在為增函數(shù)，此時(shí)的值域?yàn)?，時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，則在為增函數(shù)，此時(shí)的值域?yàn)?，在為減函數(shù)，此時(shí)的值域?yàn)椋挥纱嬖?，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根，則，即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函數(shù)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為； 同理可求當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為 12. 已知函數(shù)，其中m，a均為實(shí)數(shù)（1）求的極值；（2）設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求的最小值；（3）設(shè)，若對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得 成立，求的取值范圍解：（1），令，得x = 1 列表如下：x（-，1）1（1，+）+0-g(x)極大值g(1) = 1，y =的極大值為1，無(wú)極小值 （2）當(dāng)時(shí)，在恒成立，在上為增函數(shù)設(shè)，> 0在恒成立