E是某圓直徑AC上的定點經(jīng)過點E

1、C2-051  E是某圓直徑AC上的定點經(jīng)過點E，求作弦BD，使四邊形ABCD的面積為最大【題說】  第十四屆（1980年）全蘇數(shù)學奧林匹克九、十年級題2【解】  設(shè)O為圓心，R為圓的半徑，OE= a，則SOEDSACD=a2RSOEBSABC=a2R所以應與直徑AC垂直 C2-052  已知ABC的面積為1，設(shè)A1、B1和C1分別是邊BC、CA和AB的中點，如果K、L和M分別位于線段AB1、CA1和BC1上，那么A1B1C1和KLM的公共部分的最小面積是多少？【題說】  第八屆（1974年）全蘇數(shù)學奧林匹克十年級題6【解】 

2、; 設(shè)A1B1C1的三邊與KLM的三邊的交點為D、D1、E、E1、F、F1，如圖所示，且它們的公共部分的面于是A1D1D1D，因此，SA1D1FSD1DF同理，SB1E1DSE1EDSC1F1ESF1FE所以  SA1B1C1-SSD1DF+SE1ED+SF1FE=S-SDEFS C2-053  在一個面積為32cm2的平面凸四邊形中，兩條對邊和一條對角線的長度之和為16cm，試確定另一條對角線的所有可能長度【題說】  第十八屆（1976年）國際數(shù)學奧林匹克題1本題由捷克斯洛伐克提供【解】  設(shè)凸四邊形ABCD（圖a）的面積為32cm2AB+B

3、D+CD=16cm于是                            32=SABD+SBCD故式中應取等號，從而AB+CD=DB=8，則 ABDB，CDDB（圖b）因此， C2-054  設(shè)三角形三邊長為3、4、5，P為這三角形內(nèi)一點，求P到這三角形三邊距離乘積的最大值【題說】  1979

4、年陜西省賽二試題7【解】  如圖，設(shè)BC=3，CA=4，AB=5點P到AB、BC、CA的距離分別為x、y、z，因5x+3y+4z=125x·3y·4z=64為最大故xyz的最大值為16/15 C2-055  在已知銳角ABC中作內(nèi)接正方形，試求其面積最大者【題說】  1979年云南省賽二試題7【解】  如圖，內(nèi)接正方形MNPQ有兩個頂點在BC上邊長為xa，面積為Sa，則其中a= BC，ha= AH設(shè)ABC中，cba，熟知a+ hab+ hbc+ ha所以在銳角ABC三邊上的三個內(nèi)接正方形中，最小邊上的內(nèi)接正方形的面積最大&#

5、160;C2-056  已知兩個等腰直角三角形，將一個的三個頂點分別放在另一個三角形的三條邊上，問這兩個三角形的面積之比最小值是多少？【題說】  第十三屆（1979年）全蘇數(shù)學奧林匹克八、九年級題1較小三角形的直角頂點位置有兩種情況：（1）當放在較大三角形的斜邊上時，（如圖a）兩個三角形直角邊的比小于1/2，它們的面積之比不小于1/4（2）當放在較大三角形的直角邊上時（如圖b），x2+y2=a2，且 C2057 已知邊長為4的正三角形ABC，D、E、F分別是BC、QS，P點在RQS內(nèi)及其邊上移動，P點到ABC三邊的距離分別記作x、y、z1求證：當P點在RQS的頂點

6、位置時，乘積xyz有極小值2求上述乘積的極小值【題說】 1982年全國聯(lián)賽題4【解】 如圖a，第一步，先固定x，考慮yz最小值即過P作直線lBC，當P在l上變化時，yz何時最小？第二步，證兩個引理：引理1：z+y+z=定值，這個定值就是ABC的高端點處取得最小值這兩個引理很容易證明由此不難得到結(jié)論：如果P、P為l上兩點，那么當P在區(qū)間P，P上變動時，xyz在端點P或P處取得最小值第三步，擴大P點的變化區(qū)域：根據(jù)上面所述，當P點在l上變動時，xyz的值在P或P處為最小，這里P、P是l與RQS的邊界的交點但RQS的邊不與ABC的邊平行，因而在P移到RQS的邊界后，不能搬用上述方法再將P或P調(diào)整為R

7、QS的頂點但是我們可以把P點變化區(qū)域由PQR擴大為圖b所示的六邊形RRQQSS，其中RRQSCA，RQSSBC，QQRSAB，也就是說：R與R關(guān)于ABC的平分線為對稱S與R關(guān)于ACB的平分線為對稱，等等過P作平行于BC的直線l，將P調(diào)整為l與六邊形RRQQSS的邊界的交點P（或P），再將P調(diào)整為頂點R或S，每一次調(diào)整都使xyz的值減小由于對稱，xyz在六個頂點R、R、Q、Q、S、S處的值顯然相等，因而命題成立2由題易知，ABEBCFCAD，從而AERBFQCDS，RQS是正三角形由1，我們只考慮S點x，y，z的取值求得 C2058  在正方形ABCD的邊AB、BC上分別取點

8、P、Q，連接DP、DQ、PQ，分別記DPQ、DAP、DQC和PBQ的面值？【題說】第二屆（1987年）東北三省數(shù)學邀請賽題5【解】不妨設(shè)正方形邊長為1如圖建立坐標系設(shè)P（0，b）與Q（a，0），于是， C2059 邊長為5的菱形，它的一條對角線的長不大于6，另一條不小于6，求這個菱形兩條對角線長度之和的最大值【題說】1987年全國聯(lián)賽一試題 1（2）原題為選擇題【解】設(shè)菱形的兩條對角線長分別為x及y，則由已知考慮平行直線族x+y=c當直線過點（8，6）時，得x+y的最大值14 C2060 在邊長為10的正三角形ABC中，以如圖所示的方式內(nèi)接兩個正方形（甲、乙兩個正方形有一邊

9、相重迭，都有一邊落在BC上，甲有一頂點在AB上，乙有一頂點在AC上）求這樣內(nèi)接的兩個正方形面積和的最小值【題說】 1988年北京市賽高一題 3【解】 設(shè)甲、乙兩正方形的邊長分別為x、y，易知BC邊上的四條線段之和為：記甲、乙兩正方形面積之和為S，則有 C2-051  E是某圓直徑AC上的定點經(jīng)過點E，求作弦BD，使四邊形ABCD的面積為最大【題說】  第十四屆（1980年）全蘇數(shù)學奧林匹克九、十年級題2【解】  設(shè)O為圓心，R為圓的半徑，OE= a，則SOEDSACD=a2RSOEBSABC=a2R所以應與直徑AC垂直 C2-052 

10、 已知ABC的面積為1，設(shè)A1、B1和C1分別是邊BC、CA和AB的中點，如果K、L和M分別位于線段AB1、CA1和BC1上，那么A1B1C1和KLM的公共部分的最小面積是多少？【題說】  第八屆（1974年）全蘇數(shù)學奧林匹克十年級題6【解】  設(shè)A1B1C1的三邊與KLM的三邊的交點為D、D1、E、E1、F、F1，如圖所示，且它們的公共部分的面于是A1D1D1D，因此，SA1D1FSD1DF同理，SB1E1DSE1EDSC1F1ESF1FE所以  SA1B1C1-SSD1DF+SE1ED+SF1FE=S-SDEFS C2-053  在一個面積

11、為32cm2的平面凸四邊形中，兩條對邊和一條對角線的長度之和為16cm，試確定另一條對角線的所有可能長度【題說】  第十八屆（1976年）國際數(shù)學奧林匹克題1本題由捷克斯洛伐克提供【解】  設(shè)凸四邊形ABCD（圖a）的面積為32cm2AB+BD+CD=16cm于是                          &#

12、160; 32=SABD+SBCD故式中應取等號，從而AB+CD=DB=8，則 ABDB，CDDB（圖b）因此， C2-054  設(shè)三角形三邊長為3、4、5，P為這三角形內(nèi)一點，求P到這三角形三邊距離乘積的最大值【題說】  1979年陜西省賽二試題7【解】  如圖，設(shè)BC=3，CA=4，AB=5點P到AB、BC、CA的距離分別為x、y、z，因5x+3y+4z=125x·3y·4z=64為最大故xyz的最大值為16/15 C2-055  在已知銳角ABC中作內(nèi)接正方形，試求其面積最大者【題說】  1979年

13、云南省賽二試題7【解】  如圖，內(nèi)接正方形MNPQ有兩個頂點在BC上邊長為xa，面積為Sa，則其中a= BC，ha= AH設(shè)ABC中，cba，熟知a+ hab+ hbc+ ha所以在銳角ABC三邊上的三個內(nèi)接正方形中，最小邊上的內(nèi)接正方形的面積最大 C2-056  已知兩個等腰直角三角形，將一個的三個頂點分別放在另一個三角形的三條邊上，問這兩個三角形的面積之比最小值是多少？【題說】  第十三屆（1979年）全蘇數(shù)學奧林匹克八、九年級題1較小三角形的直角頂點位置有兩種情況：（1）當放在較大三角形的斜邊上時，（如圖a）兩個三角形直角邊的比小于1/2，它們的面

14、積之比不小于1/4（2）當放在較大三角形的直角邊上時（如圖b），x2+y2=a2，且 C2057 已知邊長為4的正三角形ABC，D、E、F分別是BC、QS，P點在RQS內(nèi)及其邊上移動，P點到ABC三邊的距離分別記作x、y、z1求證：當P點在RQS的頂點位置時，乘積xyz有極小值2求上述乘積的極小值【題說】 1982年全國聯(lián)賽題4【解】 如圖a，第一步，先固定x，考慮yz最小值即過P作直線lBC，當P在l上變化時，yz何時最?。康诙?，證兩個引理：引理1：z+y+z=定值，這個定值就是ABC的高端點處取得最小值這兩個引理很容易證明由此不難得到結(jié)論：如果P、P為l上兩點，那么當P在區(qū)間P

15、，P上變動時，xyz在端點P或P處取得最小值第三步，擴大P點的變化區(qū)域：根據(jù)上面所述，當P點在l上變動時，xyz的值在P或P處為最小，這里P、P是l與RQS的邊界的交點但RQS的邊不與ABC的邊平行，因而在P移到RQS的邊界后，不能搬用上述方法再將P或P調(diào)整為RQS的頂點但是我們可以把P點變化區(qū)域由PQR擴大為圖b所示的六邊形RRQQSS，其中RRQSCA，RQSSBC，QQRSAB，也就是說：R與R關(guān)于ABC的平分線為對稱S與R關(guān)于ACB的平分線為對稱，等等過P作平行于BC的直線l，將P調(diào)整為l與六邊形RRQQSS的邊界的交點P（或P），再將P調(diào)整為頂點R或S，每一次調(diào)整都使xyz的值減小由

16、于對稱，xyz在六個頂點R、R、Q、Q、S、S處的值顯然相等，因而命題成立2由題易知，ABEBCFCAD，從而AERBFQCDS，RQS是正三角形由1，我們只考慮S點x，y，z的取值求得 C2058  在正方形ABCD的邊AB、BC上分別取點P、Q，連接DP、DQ、PQ，分別記DPQ、DAP、DQC和PBQ的面值？【題說】第二屆（1987年）東北三省數(shù)學邀請賽題5【解】不妨設(shè)正方形邊長為1如圖建立坐標系設(shè)P（0，b）與Q（a，0），于是， C2059 邊長為5的菱形，它的一條對角線的長不大于6，另一條不小于6，求這個菱形兩條對角線長度之和的最大值【題說】1987年全國聯(lián)賽一試題 1