速度運動學-雅可比矩陣

1、第4章 速度運動學雅可比矩陣在數(shù)學上，正運動學方程在笛卡爾位置和姿態(tài)空間與關(guān)節(jié)位置空間之間定義了一個函數(shù)，速度之間的關(guān)系由這個函數(shù)的雅可比矩陣來決定。雅可比矩陣出現(xiàn)在機器人操作的幾乎各個方面：規(guī)劃和執(zhí)行光滑軌跡，決定奇異位形，執(zhí)行協(xié)調(diào)的擬人動作，推導運動的動力學方程，力和力矩在末端執(zhí)行器和機械臂關(guān)節(jié)之間的轉(zhuǎn)換。1. 角速度：固定轉(zhuǎn)軸情形k =（k 是沿旋轉(zhuǎn)軸線方向的一個單位向量， 是角度對時間的倒數(shù)） 2. 反對稱矩陣一個n n 的矩陣S 被稱為反對稱矩陣，當且僅當0=+S S T, 我們用 3(so 表示所有33反對稱矩陣組成的集合。如果 3(so S ，反對稱矩陣滿足0=+ji ij s

2、s 3, 2, 1, =j i ，所以ii S =0，S 僅包含三個獨立項，并且每個33的反對稱矩陣具有下述形式：-=000121323s s s s s s S 如果Tz y x a a a a , , (=是一個3維向量，我們將對應的反對稱矩陣 (a S 定義為如下形式：-=000(xy x zy z a a a a a a a S 反對稱矩陣的性質(zhì)1） ( ( (b S a S b a S +=+ 向量a 、b 屬于3R ，、為標量2）p a p a S = ( 向量a 、b 屬于3R ，p a 表示向量叉乘3） ( (Ra S R a RS T=，左側(cè)表示矩陣 (a S 的一個相似變換

3、，這個公式表明：(a S 在坐標系中經(jīng)過R 旋轉(zhuǎn)操作的矩陣表示與反對稱矩陣 (a SR 相同，其中 (a SR 對應于向量a 被轉(zhuǎn)過R 這種情形。4）對于一個n n 的反對稱矩陣S , 以及任何一個向量nR X ，有0=SX X T旋轉(zhuǎn)矩陣的導數(shù)(SR R d d= 公式表明：計算旋轉(zhuǎn)矩陣的R 的導數(shù)，等同于乘以一個反對稱矩陣S 的矩陣乘法操作。3. 角速度：一般情況( ( (t R t w S t R= ，其中，矩陣 (t w S 是反對稱矩陣，向量 (t w 為t 時刻旋轉(zhuǎn)坐標系相對于固定坐標系上的點p 。 4. 角速度求和假定我們有112010. -=n n n R R R R ，則00

4、, 00 (nn n R S R = ，其中 0, 104, 303, 202, 101, 01, 10134, 30323, 20212, 10101, 00, 0. . nn n nn n n R R R R -+=+=（02, 1表示對應于12R 導數(shù)的角速度在坐標系0000z y x o 中的表達式）5. 移動坐標系上點的線速度v r o Rp S o p R p+=+=+= 110 ( 其中，1Rp r =是從1o 到p 的向量在坐標系0000z y x o 的姿態(tài)中的表達式，v 是原點1o 運動的速度。 6. 雅可比矩陣的推導當機器人運動時，關(guān)節(jié)變量i q 以及末端執(zhí)行器的位置0n

5、 o 和姿態(tài)0n R 都將為時間的函數(shù)。qJ = 其中，和J 由下式給出=00n n v 和 =w v J J J向量有時被稱為體速度。矩陣J 被稱為機械臂的雅可布矩陣。 角速度：末端執(zhí)行器相對于基座坐標系的總的角速度0n ：011010122110. -=-=+=i i ni i n n n nz q k R q k R q k q 其中，關(guān)節(jié)i 為轉(zhuǎn)動時，i 等于1, ；而關(guān)節(jié)i 為平動時，i 等于0。這是因為k R z i i 0101-=，當然，T k z 1, 0, 0(00=。所以 . . . (101-=n n w z z J 線速度：invi q o J =0，雅可比矩陣的第i

6、 列可以通過下列方式生成：固定除第i 個關(guān)節(jié)之外的所有關(guān)節(jié)，同時以單位速度驅(qū)動第i 個關(guān)節(jié)。平動關(guān)節(jié)：1-=i v z J i轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)：(11-=i n i v o o z J i小結(jié)：雅可比矩陣的上半部分v J 由下式給出：. (1n v v v J J J =其中，矩陣的第i 列i v J 為(-=-i z i o o z J i i n i v i 對于平動關(guān)節(jié)對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)111雅可比矩陣的下半部分為. (1n J J J =其中，矩陣的第i 列=-iiz J i i 對于平動關(guān)節(jié)對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)01計算雅可比矩陣僅需知道單位向量i z 以及原點n o o ,., 1的坐標。i z 相對于基

7、座坐標系的坐標，可由0i T 第3列中的3個元素給出，同時i o 由0i T 第4列中的3個元素給出。7. 工具速度末端執(zhí)行器和工具坐標系之間的固定空間關(guān)系由下列恒定齊次變換矩陣給出：=106d R T tool 由于兩個坐標系之間的剛性連接，工具坐標系的角速度與末端執(zhí)行器坐標系的角速度相等。如果末端執(zhí)行器坐標系以T T T v , (66=的體速度運動，那么工具坐標系的原點（它被剛性固連到末端執(zhí)行器坐標系中）的線速度由下式給出：r v v tool +=66，r 是從末端執(zhí)行器坐標系原點到工具坐標系原點的向量。8. 分析雅可比矩陣前面推導的雅可比矩陣有時稱為幾何雅可比矩陣，這是為了區(qū)別于分析

8、雅可比矩陣，后者表示為 (q J a ，它基于對末端執(zhí)行器姿態(tài)的最小表示，令= ( (q q d X 表示末端執(zhí)行器的姿態(tài)，其中， (q d 是從基座坐標系原點到末端執(zhí)行器坐標系原點的一般向量，表示末端執(zhí)行器坐標系相對于基座坐標系的姿態(tài)的最小表示。分析雅可比矩陣 (q J a 可以根據(jù)幾何雅可比計算如下q q J a B I d a B I B dv q q J a a ( (00 (00 ( (= （條件：0 (det B ）9. 奇點所有可能的末端執(zhí)行器速度是雅可比矩陣向量的線性組合：n n q J q J qJ +=. 2211 矩陣的秩（rank ）等于矩陣中線性獨立的列（或行）的數(shù)目

9、。因此，當6=rankJ ，末端執(zhí)行器可以以任意速度運行。與矩陣 (q J 的秩小于其最大值情況相對應的位形被稱為奇點或奇異位型。 識別機械臂的奇點很重要，其原因如下： 對那些帶有球型手腕機械臂的奇異位形進行解耦，即分解為兩個更簡單的問題。第一個問題是確定所謂的手臂奇點，也就是由于手臂（包括前三個或更多連桿）運動而產(chǎn)生的奇點；第二個問題是確定由球型手腕運動而引起的手腕奇點。如果機械臂由一個3自由度手臂和一個3自由度球型手腕構(gòu)成，我們將雅可比矩陣J 分解成如下33的矩陣塊：=22122111| |(J J J J J J J Q P因此，機械臂奇異位形的集合是滿足0det 11=J 的手臂位形集

10、合以及滿足0det 22=J 的手腕位形集合的并集。任何兩個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)軸共線時，都將會產(chǎn)生奇點，這是因為兩個轉(zhuǎn)角相等但方向相反的旋轉(zhuǎn)所對應的綜合結(jié)果是末端執(zhí)行器保持不動。 10. 靜態(tài)力/力矩關(guān)系令Tz y x z y x n n n F F F F , , , , , (=表示末端執(zhí)行器的力和力矩向量。令表示對應的關(guān)節(jié)力矩向量。那么，F(xiàn) 和之間可以由下式聯(lián)系起來：F q J T (=其中， (q J T是機械臂雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置。 11. 逆速度和加速度逆速度問題是指，求解生成期望末端執(zhí)行器速度所需的關(guān)節(jié)速度q1-=J q對于6自由度機械臂，逆速度和逆加速度方程可被寫為q q J dt d q q J qa a += ( ( 以及é &&