巧用圖象面積解決物理問題

1、巧用圖象面積解決物理問題巧用圖象面積解決物理問題浙江省富陽市第二中學(xué)方明霞物理圖像能形象、直觀地表達物理規(guī)律、描述物理過程、反映物理量間的函數(shù)關(guān)系。用圖象法解題可以避免繁雜的中間運算過程，具有簡明、快捷、準確等優(yōu)點，特別是當莫些物理量發(fā)生變化，用常規(guī)的解析法無法解決時，圖象法可以幫助我們快而有效地解決問題。在物理圖象的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，我們可以從坐標、斜率、截距、面積、交點、拐點等方面分析不同的圖象所代表的物理意義。本文僅從“面積”由發(fā)，闡釋圖象的妙用。在物理教學(xué)中，我們會經(jīng)常碰到這樣的函數(shù)關(guān)系：y y=ab=ab, ,其中一個物理量 a a 為恒量，在以ab b 為坐標的函數(shù)圖象中，圖線與坐標軸

2、圍成的矩形面積代表 y y 的大小。而當 a a 也發(fā)生變化時，用一般解析式解決往往比較復(fù)雜。在以 abab 為坐標的函數(shù)圖象中，利用“微元”的思想方法，將圖線分割成無限小段，每一小段圖線都可近似為 a a 恒定，這一小段圖線圍成的面積近似為矩形，表示這一小塊 y y 的大小，將所有小塊疊加起來，不難發(fā)現(xiàn)圖線與坐標軸圍成的面積依然代表 y y 的大小。以下是筆者整理的部分圖象“面積”的巧用。一、1/v-x1/v-x 圖象，圖線與坐標軸圍成的“面積”表示時間勻速直線運動中，1 1 與乂、v v 成反比。反比例函數(shù)在數(shù)學(xué)處理上往往比正比例函數(shù)復(fù)雜，因此我們通常將其轉(zhuǎn)化為正比例函數(shù),在 x-1/vx

3、-1/v 圖象上，利用“微元”思想，我們不難發(fā)現(xiàn) 1/v-x1/v-x 圖線與坐標軸圍成的“面積”表示時間。例 1 1. .一只老鼠從洞口爬由后沿一直線運動，其速度大小與其離開洞口的距離成反比，當其到達距洞口為 x1x1的 A A 點時速度為 v v1,1,若B B 點離洞口的距離為x2(x2>x1x2(x2>x1),),求老鼠由 A A運動到B B 所需的時間。解析：老鼠從洞口沿直線爬由，已知爬由的速度與通過的距離成反比，則不能通過勻速運動、勻變速運動公式直接求解，但通過 1/v-1/v-x x 圖象， 我們可以很簡潔地得到圖中陰影部分的面積即是老鼠由 A A 運

4、動到 B B 所需的時間。二、v-tv-t 圖象，圖線與坐標軸圍成的“面積”表示位移例 2.2.在電場強度為 E E 的勻強電場中，有一條與電場線平行的幾何線，如圖中虛線所示。幾何線上有兩個靜止的小球 A A 和 B B（均可看作質(zhì)點），兩小球的質(zhì)量均為 m,Am,A 球帶電荷量+Q,B+Q,B 球不帶電。開始時兩球相距 L,L,在電場力的作用下，A A 球開始沿直線運動，并與 B B 球發(fā)生正碰，碰撞中 A A、B B 兩球的總動能無損失。已知在各次碰撞過程中，A A、B B 兩球間無電量轉(zhuǎn)移，且不考慮重力及兩球間的萬有引力，試問:在第一次碰撞以后 A A、B B 兩球再次不斷地碰撞的時間間

5、隔會相等嗎？如果相等，請計算該時間間隔 T,T,如果不相等，請說明理由。解析：在第一次碰撞前，A A 球在電場力作用下以加速度向右勻加速運動，B B 球保持靜止。A A 球第一次與 B B 碰撞前的速度為，A A 球與 B B 球碰撞過程動量守恒：A A、B B 兩球的總動能無損失：可求得：一即 A A、B B 兩球碰后交換速度。第一次碰后，B B 球以向右做勻速直線運動，而 A A 球又以加速度向右做勻加速運動，當 A A、B B 向右發(fā)生的位移相等時發(fā)生第二次碰撞，第二次碰撞 A A、B B 速度又發(fā)生交換，碰后 B B 球以 A A 碰前速度向右做勻速直線運動，而 A A 球以 B B

6、碰前的速度為初速度，仍以為加速度向右做勻加速運動，以后不斷重復(fù)這樣的過程，以此類推。由于這樣進行的過程比較復(fù)雜，用函數(shù)表達式較難解答。若將上述過程用 v-tv-t 圖象表示由來，則如圖所示，由于兩次碰撞間 A A、B B 發(fā)生的位移相等， 由圖線的對稱關(guān)系可知圖中陰影和斜線表示的三角形面積均相等，所以在第一次碰撞以后的過程中，A A、B B 兩球再次不斷碰撞的時間間隔相等，為 T T=2t1=2=2t1=2。例 3.3.如圖所示， 甲、 乙兩光滑斜面的高度和斜面的總長度都相同，只是乙斜面由兩部分組成，將兩個相同的小球從兩斜面的頂端同時釋放，不計拐角處的機械能損失，試分析兩球中誰先落地。解析：若

7、用公式求解此題，很難建立簡單的函數(shù)解析式。若用v-tv-t 圖象分析，由于甲、乙兩光滑斜面的高度相同，不計拐角處的機械能損失，根據(jù)機械能守恒定律可得兩球落地時速度大小相同。由于斜面的傾斜程度不同，對兩小球進行受力分析可知，乙圖中，小球在前部分的加速度大于甲，后部分的加速度小于甲。由于甲、乙兩光滑斜面的總長度相同，在 v-tv-t 圖象上，應(yīng)使兩條圖線與 t t 軸圍成的面積相等，則其 v-tv-t 圖象應(yīng)如圖所示:由 v-tv-t 圖象不難看由，t t 甲<t<t 乙，乙圖中的小球先落地。三、F-tF-t 圖象，圖線與坐標軸圍成的“面積”表示沖量例 4.4.質(zhì)點所受

8、的力 F F 隨時間變化的規(guī)律如圖所示，力的方向始終在一直線上。已知 t=0t=0 時質(zhì)點的速度為零。在圖示 t1t1、t2t2、t3t3 和 t4t4 各時刻中，哪一時刻質(zhì)點的動能最大？A.A.t1t1B.B.t2t2C.C.t3t3D.D.t4t4解析：物體在 F F 作用下，加速度不斷變化，用一般函數(shù)解析法無法求解速度隨時間的變化情況。但在 F-tF-t 圖象中,圖線與坐標軸圍成的“面積”表示沖量，且 F F 軸正方向的面積代表正方向的沖量，F(xiàn) F 軸負方向的面積代表負方向的沖量。初態(tài)速度為 0,0,由動量定理 Ft=mv2-Ft=mv2-mv1mv1 可知，t2t2 時刻圖線與坐標軸圍

9、成的正向面積最大，速度最大，相應(yīng)有最大動能。四、F-xF-x 圖象，圖線與坐標軸圍成的“面積”表示功例 5.5.用錘子把鐵釘打入木塊中， 已知每次打擊時錘子給予鐵釘?shù)膭幽芟嗤斪舆M入木塊時受到的阻力與進入的深度成正比。若第一次進入的深度為 2cm2cm, ,求第二次打擊后再進入的深度。解析：釘子受到的阻力 FfFf=kx=kx,其函數(shù)圖象如下：在 F-xF-x 圖象中，圖線與坐標軸圍成的“面積”表示功。由動能定理 Fx=4EkFx=4Ek 可知，兩次打擊過程，它們在 F-xF-x 圖象中,圖線與坐標軸圍成面積相同。即 2SAOAB2SAOAB= =SAOCDSAOCD由相似關(guān)系可得：SAOABSAOAB: :SAOCDSAOCD=0A2=0A2: :OC2=1OC2=1: :2 2所以 0A0A: :OC=1OC=1: :AC=(-1)OAAC=(-1)OA求得第二次再進入的深度為 2 2(-1)cm(-1)cm