向量及向量的基本運(yùn)算

1、?向蜃及向董的層涼運(yùn)算一、 教學(xué)目標(biāo)：1.理解向長的有關(guān)概念，拿握向長的加法與減法、實(shí)數(shù)與向長的積、向 呈的數(shù)星積及其運(yùn)算法則，理解向星共線的充要條件?2.會(huì)用向長的代數(shù)運(yùn)算法則、三角形法則、平行四邊形法則解決有關(guān)問題斷? ?不培養(yǎng)并深化用數(shù)形結(jié)臺(tái)的思想方法解題的自覺意識(shí) . .二、教學(xué)重點(diǎn)：向長的槪念和向長的加法和減法法則 . .三、 教學(xué)過程：(-)(-) 主要知識(shí)：1)向畳的有關(guān)概念1向昱：既有大小又有方向的旻。向星一般用a.b.c來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫宇母表示，如：ABa向星的大小即向長的模( (長度) )，記作o2零向長：長度為0的向星，記為6,其方向是任意的，6與任

2、意向長平行。 v v 注意與0的區(qū)別3單位向長：模為1個(gè)單位長度的向呈。4平行向長 ( (共線向長 ) )：方向相同或相反的非零向長。任意一組平行向長都可以移到同一 宜線 上。相反向長：我們把與向長方長度相等，方向相反的向長叫做萬的相反向長。記作広。5相等向長：長度相等且方向相同的向長。相等向長經(jīng)過平移后總可以重臺(tái)，記為a=bo2)向It加法求兩個(gè)向長和的運(yùn)算叫做向星的加法。iAAB = a,BC = b，則a + b=AB + BC=AC。向長加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”。說明：(1) o + a = a+o = a -(2)向長加法滿足交換律與結(jié)臺(tái)律；3)向星的減法1相反向旻：

3、與7長度相等、方向相反的向長、叫做7的相反向長。記作 - -乳零向長的相反向長仍是零向長: :。關(guān)于相反向長有：(i)一( (一&)=N; (ii) ? +(-?)=(-6?)+? = 6 ;(iii)若Nb是互為相反向長，則ci = -b ,b = -ci,(i + b = 0Q2向長減法：向長萬加上5的相反向長叫做萬與厶的差，記作：ci-b =a + (-b)0求 兩個(gè)向長差的運(yùn)算，叫做向長的減法。a-b的作圖法：a-b可以表示為從5的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向旻( (乳5有共同起點(diǎn)) )。注：(1)用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向是要共始點(diǎn)的，和向是始點(diǎn)與巳知向的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向蚤理

4、另 F F 對(duì)角線，方向理從減向畳指向被減向星。(2)三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向的起點(diǎn)推向?qū)液笠粋€(gè)向的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向畳的和；差向畳迪從減向畳的終點(diǎn)指向被減向的終點(diǎn)。4)實(shí)數(shù)與向長的積實(shí)數(shù)入與向呈 & &的積是一個(gè)向長、記作燈，它的長度與方向規(guī)定如下：(I)| | 衍| | = = | | 外問；(H)當(dāng)2o時(shí)，歷的方向與 G G 的方向相同；當(dāng)幾 0時(shí)，訪的方向與的方向相反 久=o時(shí)，肋=6,方向是任意的。數(shù)乘向長滿足交換律、結(jié)臺(tái)律與分配律。實(shí)數(shù)與向長的積的運(yùn)算律：設(shè)衣卩為實(shí)數(shù)，則和 N N ) = =(皿)a(入+p)a =X a + j.i a?k(t/+b)=

5、A?+A/?5)兩個(gè)向晝共線定理向長5與非零向長共線 O O 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得h=AAo6)平面向畳的基本定理如果，乙是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向旻，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向長萬，有且只有一 數(shù)人，幾2使：7= =幾后+ +久2&2其中不共線的向長百，乙叫做表示這一平面內(nèi)所有向長的7)特別注意：(1)向長的加法與減法是互逆運(yùn)算。(2)相等向長與平行向晝有區(qū)別，向星平行是向旻相等的必要條件。(3)向長平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重臺(tái))，而向長平行則包括共 線(重合)的情況。(4)向長的坐標(biāo)與表示該向昱的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位直無關(guān)，只與其相對(duì)位賣 有關(guān)。(二)主要方法

6、：1.充分理解向星的槪念和向長的表示；2.數(shù)形結(jié)合的方法的應(yīng)用；3? ?用基底向長表示任一向長唯一性；4-向長的特例和單位向長，要考慮周全 . .(三)例 題分析：例1、判斷下列各命題是否正確對(duì)實(shí)一組AB = CD,BC=DA巳知A (3, 7), B (5, 2),將眉按向長：= =(1, 2)平移后得到的向長麗的坐標(biāo)為(3,3) (10) ci=b的充要條件是la 1=1 h I且N/b；解： 不正確，零向長方向任意， 不正確，說明模相尊，還有方向(3)不正確，單位向長的模為1,方向很多(4)不正確，有向線段是向長的一種表示形式(5)正確, ,不正確，因若A = 6，則不共線的向旻也有U/

7、6 ,? 7CU/co (8)不正確、如圖A -勺AB = CD.BC八DA (9)不正確，?/?/a = (1,x = x + ,2),? ? ?平移公式是f ,將A7), B2)分別代入可求得A(4,9)&(6,4), ly =y + 2故AfBf= (6,4)(4,9) = (2-5)0(10)不正確，當(dāng)cillb, ,且方向相反時(shí)，即使11=1 bl,也不能得到a =b體評(píng)正確理解向星的有關(guān)概念例2、如圖平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)C,線段BC上有一點(diǎn)M滿足BC=3BM,線段零向長沒有方向單位向長都相等(5)兩相等向星若共起點(diǎn)，貝 V V 終點(diǎn)也相同(2)若=bMa = b(4)

8、向長就是有向線段若a=b , b=c,貝U(8)若四邊形ABCP是平行四邊形，則正確，向長相等有傳遞性AAAD = -AB,DEIIBCACAEAMPC八上中線知E予N.設(shè)= =? ? ?師= =丄臥= =丄( (刃一亦)=)=丄( (:一可3666、76V 71 5I1142/.OM =OB + BM = -a + -h .?: CN=CD;ON = =CD :OD6 6333=-A= -AA+ OB)=-Ai + b)=ON-OM =-a-bCP上有一點(diǎn)N滿足CD = 3CN,設(shè)0A =;3 =亦式用: :，鐵示0歷，01解：= =33 326庶評(píng)根據(jù)向晝的幾何加減法則，能對(duì)圖形中的向晝進(jìn)

9、行互相表示練習(xí)：ABC在AABC所以，河水的例4、在AABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，用向長的方法證明DE平行且等于0.5BC分析: :要證明DE平行且等于0.5BC,只要DE = -BC2解：如圖旋= =證明：以向臺(tái)GB、GC為鄰邊作平行四邊形GBEC,則GB + GC = GE = 2GD，又由G為_ABC的重心知AG = 2GD，從而頁 = =-2GD , . GA + GB + GC = -2GD + 2GD = 0。例5、設(shè)云懇是不共線的向民已知向呈鯨=2石+ +R云石= =云+ +運(yùn), ,西= =厲一云、若A,B,P三點(diǎn)共線，求k的值分析: :使AB = ABD例嚥評(píng)5巳求

10、aG或分力，會(huì)的重心，問證向G疆J常見問題GB+GC =0m, 2以數(shù)兄使經(jīng)過AOAB重心得G的直線與OAQB分別交于點(diǎn)P, Q,= =2,婦4久OP =解:OA=a.PG = OGOP = (- m)a+ + 護(hù)PGQ共線，-m = 2(-m)從而丿31 n - -A鞏固練習(xí):BC=5A+AC= -AB+AC=AD+DC-AB=AB-1AB=八-1Z2? 2 I=A+A+ AN = -AB-AD + -AB= =丄而一AD = -e.-e 4244(1 )設(shè)兩個(gè)非零向呈勺、勺不共線，如果殛=2石+ +3舀葩=6石+ +23無窈=4彳一8百，求證：A.B.D三點(diǎn)共線. .(2 )設(shè)兀、石是兩個(gè)不共線的向旻，巳知AB = 2q+ke2,CB = e+3e2,CD = 2e, -ea若A, B,D三點(diǎn)共線，求k的值. .(1)證明：因?yàn)锽C = 6A+ 23&ACD= 4e-8e2所以麗=10石 + +15石|：3B共線或平行問題s_4消去使2O坐標(biāo)平行的充要條件解決=A(e, -4e2)1.巳知梯形ABCD中,I ABI=2IDCI,AD = ei, ,用口，02表示DC、M , N分別是DC. AB的中點(diǎn)，若BC、MN ?解：DC= LAB=A2 2又因?yàn)锳B = 2e+3Z得BD = 5AB即麗而又因?yàn)楣颤c(diǎn)3所以A.B.D三點(diǎn)共線 ; ;(2)解：DB = CB -