空間角的求法學(xué)生版

1、空間角的求法空間角，能比較集中反映空間想象能力的要求，歷來為高考命題者垂青，幾乎年年必考。空間角是異 面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角總稱。空間角的計算思想主要是 轉(zhuǎn)化:即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，把角的計算轉(zhuǎn)化到三角形邊角關(guān)系或是轉(zhuǎn) 化為空間向量的坐標(biāo)運算來解?？臻g角的求法一般是： 一找、二證、三計算。、異面直線所成角的求法異面直線所成的角的范圍：0： d < 90°（一）平移法【例1】已知四邊形 ABCD為直角梯形，AD BC，. ABC =90：， PA _平面AC，且BC = 2，【答案】PA = AD = AB = 1，求異面直線6PC與BD所成角的余弦值的大小

2、。D（二）補形法【變式練習(xí)】已知正三棱柱 ABC-AEG的底面邊長為8，側(cè)棱長為6， D為AC中點。求異面直線 AB1【答案】125與BCi所成角的余弦值。CC1、直線與平面所成角直線與平面所成角的范圍：0'叮：90°方法：射影轉(zhuǎn)化法（關(guān)鍵是作垂線，找射影）【例2】如圖，在三棱錐P 一 ABC中，APB = 90：，PAB二60；，AB二BC二CA，點P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上，求直線PC與平面ABC所成的角正切值。【答案】tan. OCP3913【變式練習(xí)1】如圖，四棱錐 S - ABCD中，AB/CD，BC _ CD，側(cè)面SAB為等邊三角形?！敬鸢浮俊咀兪骄毩?xí)2】如

3、圖，在四棱錐P - ABCD中，底面ABCD是矩形，AD _ PD，BC = 1，PC = 2.3，AB =BC =2，CD =SD =1，求AB與平面SBC所成的角正弦值。PD二CD = 2，求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值?！敬鸢浮縮in PBE3913面角的求法二面角的范圍：0 :：卄：180；求二面角的大小， 關(guān)鍵在于找出或作出二面角的平面角。從找平面角的角度出發(fā)，有以下幾種方法:（一）定義法：在棱上選一恰當(dāng)?shù)摹包c”（一般是選一個特殊的點，如：垂足、中點等），過這一 “點”在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）【例3】在三棱

4、錐 P - ABC中，.APB =/BPC =/APC =60：，求二面角 A - PB - C的余弦值。1【答案】cos MQN =3【變式練習(xí)】如圖，點A在銳二面角：- MN - -的棱MN上，在面內(nèi)引射線AP，使AP與MN所成角.PAM =45：，與面1所成角的大小為30，求二面角： -MN - -的大小。N【答案】：-MN - '為45（二）利用三垂線三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。從半平面:內(nèi)的任一點

5、A出發(fā)向另一個半平面 一：引一條直線 AH，過H作棱丨的垂線HG，垂足為G，連AG，則由三垂線定理可證I _ AG ,故AGH就是二面角：-1 .：的平面角。三垂線定理是求解二面角問題的最常用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條垂線，即從第一個半平面內(nèi)的某一個點出發(fā)，且垂直于另一個半平面?！纠?】如圖，在三棱錐P - ABC中，.APB = 90：，PAB二60，AB二BC二CA，點P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上，求二面角 B - AP - C的正切值?！敬鸢浮縯an. CED =2【變式練習(xí)】在直三棱柱 ABC - ABQ中，.BAC =90，AB二BB）= 1，直線BC與平面ABC成30角，求

6、二面角 B - RC - A的正弦值。<6【答案】二面角B - BC - A的正弦值為 C3從不直接找出平面角的角度出發(fā)，主要有兩種方法：面積法（面積射影法），向量法。（三）面積法（面積射影法）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（COSr= ）求出二面角的大小 一S求證:COSVDEC【例5】如圖，E為正方體ABCDABCiDi的棱CG的中點，求平面 ABE和底面ABQDi所成銳角的余弦值。2【答案】所求二面角的余弦值為 一3ECiDi丿f H【變式練習(xí)】如圖， S是正方形ABCD所在平面外一點，且 SD_面ABCD，AB =1

7、，SB=3。求面ASD與面BSC所成二面角的大小。C【答案】45：四、真題演練9L1. （山東）已知三棱柱 ABC-A|BiCi的側(cè)棱與底面垂直，體積為一，底面是邊長為 3的正三角形，若P4為底面a1b1c1的中心，則pa與平面abc所成角的大小為（）"5A.B. C. D.123462. （大綱）已知正四棱柱 ABCAABiGU中，AA=2AB，則CD與平面BDCi所成角的正弦值等于（）A. 2332廠1B.C.D.-3333.（山東）如圖所示，在三棱錐 P-ABQ中，PB_平面ABQ , BA二BP二BQ ,D,C,E,F分別是AQ, BQ，AP,BP的中點，AQ=2BD , PD與EQ交于點G , PC與FQ交于點H，連接GH。（1）證明：AB / GH ；（2）求二面角D -GH -E的余弦值。4.（四川理）如圖，在三棱柱ABCABC中，側(cè)棱AA丄底面ABC , AB = AC = 2AA，/ BAC = 120 ,D,Di分別是線段BC,RCi的中點，P是線段AD的中點.（1）在平面ABC內(nèi)，試作出過點P與平面ABC平行的直線l，說明理由，并證明直線丨丄平面ADD1A1 ；（2）設(shè)（1 ）中的直線丨交AB于點M，交AC于點N，求二面角A AM - N的余弦值.5如圖，