第3節(jié)定積分與微積分基本定理

1、第3節(jié)定積分與微積分基本定理考試要求 1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，幾何意義；2.了解微積分基本定理的含義.知識梳理1. 定積分的概念與幾何意義(1) 定積分的定義一般地，給定一個在區(qū)間a, b上的函數(shù)y=f(x),將a, b區(qū)間分成n份，分點為： a = X0VX1VX2V vxn- 1<xn = b.第i個小區(qū)間為Xi-1，xi，設其長度為Axi，在這個小區(qū)間上取一點E，使f(&)在區(qū)間xi-1，刈上的值最大，設 S= f( a) A1 + f(汾 A2+ + f(g) Ai + + f($) An.在這個小區(qū)間上取一點Z，使f(Z)在區(qū)間

2、xi-1，xi上的值最小，設 S= f(Z) A1 +f( Z) A2+ f( Z) Ai + + f( Z) An.如果每次分割后，最大的小區(qū)間的長度趨于 0，S與s的差也趨于0,此時，S與 s同時趨于某一個固定的常數(shù) A,容易驗證，在每個小區(qū)間xi-1, xi上任取一點8, S'= f( 8)A1 + f(8)A2+ + f( 8zxi+ f(8)An的值也趨于該常數(shù)A,我們稱A是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作 f(x)dx,即卩bf(x)dx= A.(2) 定積分的幾何意義f(x)bf(x)dx的幾何意義af(x) > 0表示由直線x= a， x= b， y

3、= 0及曲線y= f(x)所圍成 的曲邊梯形的面積f(x)v 0表示由直線x= a， x= b， y= 0及曲線y= f(x)所圍成 的曲邊梯形的面積的相反數(shù)f(x)在a，b上有正有負表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于 x軸下方的曲邊梯形的面積2. 定積分的性質 bkf(x)dx= k bf(x)dx(k 為常數(shù)).aa(2) bfi(x) ±2(x)dx= bfi(x)dx± Pf2(x)dx.aaa(3) bf(x)dx= cf(x)dx+ bf(x)dx(其中 av cv b).aac3. 微積分基本定理如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導函數(shù)，即f(x)=

4、F 'x(,則有bf(x)dx= F(b) F(a).a常用結論與微點提醒1. 定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結果可以為負.2函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, a上連續(xù)，則有(1)若 f(x)為偶函數(shù)，貝Ua f(x)dx= 2 f(x)dx.a0若f(x)為奇函數(shù)，貝Ua f(x)dx= 0.a診斷自測1判斷下列結論正誤(在括號內打“V”或“X”)設函數(shù)y= f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，則bf(x)dx= bf(t)dt.()aa曲線y=x2與y=x所圍成的面積是1(x2x)dx.()0若bf(x)dx<0，那么由y=f(x), x= a, x= b

5、以及x軸所圍成的圖形一定在x軸 a下方.()定積分bf(x)dx 一定等于由x= a, x= b, y= 0及曲線y= f(x)所圍成的曲邊梯形 a的面積.()(5)加速度對時間的積分是路程 .()解析(2)y=x2與y=x所圍成的面積是1(x x2)dx.0若bf(x)dx<0，那么由y=f(x), x= a, x= b以及x軸所圍成的圖形在x軸下方 a的面積比在x軸上方的面積大.定積分bf(x)dx等于由x= a, x= b, y= 0及曲線y=f(x)所圍成圖形的面積的代 a數(shù)和.(5)加速度對時間的積分是速度,速度對時間的積分才是路程 .答案 (1)V (2)X (3)X (4)

6、X (5)X2. （老教材選修2-2P79例題改編）定積分1 X|dx=（）1A.1B.2C.3D.4解析|x|dx=(-x)dx+1xdx= 2011xdx=x2= 1.o0答案 A3. （老教材選修2-2P76問題2改編）已知質點的速度v= 10t,則從t= 0到t= to質點所經過的路程是（）2A.10t22B.5t2102C.亍5 2D.3t2解析S= t°vdt=tot010tdt = 5t2= 5to.o答案 B4.（2020貴陽一中月考）若a=2/dx,0b= 2x3dx,oc=2sin xdx,貝U a,ob, c的大小關系是（）A.a<c<b B.a<b<cC.c<b<a D.c<a<b解析由微積分基本定理得a=2x2dx=o1x383，b=2x3dx= 4x4o2。二4, *22sin xdx= ( cos x) = 1 cos