2024-2025學(xué)年湖南省雅禮集團高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省雅禮集團高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?x?2<0}，B={x|y=log3A.{x|?1<x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x<2} D.{x|0≤x<2}2.若i(2?z)=1，則z+z?=A.1 B.2 C.3 D.43.若橢圓C：x2m+y22=1A.6 B.263或26 C.24.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺的最大盛水量為(

)A.68πcmB.152πcmC.20D.204πc5.已知直線l：x?2y+6=0與圓C：x2+y2?4y=0相交于A，BA.?165 B.??165 C.6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a，b，c，tanA=ab，且B為鈍角，sinA+sinC的取值范圍(

)A.(22,98] B.7.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是分別是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上的一點，圓M與△PF1A.2

B.2

C.3

8.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，f(0)=1，且f(x?1)+f(x+1)=f(x)，則下列選項不正確的是(

)A.f(1)=12 B.f(x)的圖象關(guān)于點(32,0)對稱

C.f(x)以二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是(

)A.若m⊥α，n//α，則m⊥n

B.若m⊥α，n⊥β，α//β，則m//n

C.若α//β，m?α，則m//β

D.若m⊥n，m⊥α，n//β，則α⊥β10.亞馬遜大潮是世界潮涌之最，當(dāng)潮涌出現(xiàn)時，其景、其情、其聲，真是“壯觀天下無”，在客觀現(xiàn)實世界中，潮汐的周期性變化現(xiàn)象，我們通常需要借助于三角函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)模型來研究.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的圖象關(guān)于直線A.φ=π3

B.直線x=5π12是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸

C.f(x)在區(qū)間[?π3,?π6]上單調(diào)遞減

D.11.已知雙曲線E：x2a2?y2=1(a>0)的左、右焦點分別為F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過點F2作直線與雙曲線E的右支相交于P，Q兩點，在點PA.若|PF1|?|PF2|=2，則PF1?PF2=0

B.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a與b的夾角為30°，|a|=1，|b|=13.已知sin(α?π3)+14.已知四棱錐P?ABCD的底面為矩形，AB=23，BC=4，側(cè)面PAB為正三角形且垂直于底面ABCD，M為四棱錐P?ABCD內(nèi)切球表面上一點，則點M到直線CD距離的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

多項選擇題是標準化考試中常見題型，從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案(四個選項中至少有兩個選項是正確的)，其評分標準為全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

(1)甲同學(xué)有一道多項選擇題不會做，他隨機選擇至少兩個選項，求他猜對本題得5分的概率；

(2)現(xiàn)有2道多項選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗，每道題乙同學(xué)得5分的概率為12，得2分的概率為14；丙同學(xué)得5分的概率為16，得2分的概率為12.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這216.(本小題15分)

已知圓C：(x?3)2+(y?4)2=4．

(Ⅰ)若直線l：(m?2)x+(1?m)y+m+1=0(m∈R)，證明：無論m為何值，直線l都與圓C相交；

(Ⅱ)若過點P(1,0)的直線m與圓C相交于A，B17.(本小題15分)

在△ABC中，已知sinB+sinCsinA=cosB+cosCcosA，D為BC的中點．

(1)求A；

(2)當(dāng)BC=4時，求18.(本小題17分)

如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點．

(1)證明：平面BED⊥平面ACD；

(2)設(shè)AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，

①求四面體ABCD與其外接球的體積比；(化為最簡形式)

②當(dāng)△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．19.(本小題17分)

已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?12.記M的軌跡為曲線C．

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標原點的直線l交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G．

(ⅰ)證明：以QG為直徑的圓必然經(jīng)過點P．

(ⅱ)求|PQ||PG|的取值范圍，并求當(dāng)|PQ||PG|取得最小值時的直線l的方程．參考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.D

6.A

7.B

8.D

9.ABC

10.BCD

11.ACD

12.1913.?714.1015.解：(1)甲同學(xué)所有可能的選擇答案有11種：

AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，其中正確的選項只有一個．

樣本空間Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD}，共11個基本事件．

∴猜對本題得5分的概率為P=111．

(2)這2道多項選擇題乙比丙總分剛好多得5分的情況有3種：

①乙兩道題都得5分，丙兩道題分別得2分和5分，概率為：P1=(12)2×C21×16×12=124，

②乙兩道題分別得5分和2分，丙兩道題分別得2分和0分，概率為：P216.(Ⅰ)證明：由題意知，圓心C(3,4)，圓C的半徑為r=2，

點C到直線l的距離|3(m?2)+4(1?m)+m+1|(m?2)2+(1?m)2=12m2?6m+5=12(m?32)2+12≤2<2，

故無論m為何值，直線l都與圓C相交．

(Ⅱ)解：由題意知，直線m的斜率不可能為0，設(shè)其方程為x=ty+1，

則圓心C到直線m的距離d=|3?4t?1|1+t2=|2?4t|1+t2，

17.解：(1)因為sinB+sinCsinA=cosB+cosCcosA，

所以(sinB+sinC)cosA=(cosB+cosC)sinA，即sinBcosA+sinCcosA=cosBsinA+cosCsinA，

可得sinBcosA?cosBsinA=cosCsinA?sinCcosA，即sin(B?A)=sin(A?C)．

因此，B?A=A?C+2kπ(k∈Z)，或(B?A)+(A?C)=2kπ+π(k∈Z)，

①當(dāng)B?A=A?C+2kπ(k∈Z)時，可得B+C?2A=2kπ(k∈Z)，

結(jié)合A+B+C=π且0<A<π，得A=?2kπ3+π3(k∈Z)，取k=0，得A=π3．

②當(dāng)(B?A)+(A?C)=2kπ+π(k∈Z)時，B?C=2kπ+π(k∈Z)(不符合題意，舍去)．

綜上所述，A=π3；

(2)設(shè)AB=c，AC=b，

由(1)及余弦定理，可得16=b2+c2?2bccosπ3，即16=b2+c2?bc．

所以16+bc=b218.解：(1)證明：因為AD=CD，且E為AC的中點，所以AC⊥DE，

在△ADB中和△BCD中，因為AD=CD，且∠ADB=∠CDB，DB=DB，

所以△ADB≌△BCD，所以AB=BC，

又因為E為AC的中點，所以AC⊥BE，

因為DE∩BE=E，且DE，BE?平面BDE，

所以AC⊥平面BDE，

又因為AC?平面ACD，

所以平面ACD⊥平面BDE．

(2)①由(1)知AB=BC，且∠ACB=60°，AB=2，

所以△ABC為邊長為2的等邊三角形，則AC=2,BE=3,AE=1，

因為AD=CD且AD⊥CD，所以△ACD為等腰直角三角形，且DE=1，

可得DE=1，且E為△ACD的外接圓的圓心，

又因為AB=BD=2，可得DE2+BE2=BD2，所以BE⊥DE，

取等邊△ABC的外接圓的圓心O，則O為四面體ABCD的球心，且OE=33，

設(shè)四面體ABCD的外接球的半徑為R，

則R2=AE2+OE2=43，即R=233，

所以外接球的體積為V=43πR3=43π(233)3=32327π，

又由DE2+BE2=BD2，所以DE⊥BE，

又因為AC⊥DE，且AC∩BE=E，AC，BE?平面ABC，

所以DE⊥平面ABC，

所以四面體的體積為VABCD=13×34×22×1=33，

則VABCDV=932π，

即四面體ABCD與外接球的體積比為932π．

②由(1)知，AC⊥平面BDE，連接EF，因為EF?平面BDE，

所以AC⊥EF，當(dāng)△AFC的面積最小時，點F到直線AC的距離最小，

即EF的長度最小時，△AFC的面積取得最小值，

在直角△BDE中，當(dāng)EF的長度最小時，EF⊥BD，此時EF=DE?BEBD=32，

又由DE⊥AC，BE⊥AC，可得EA，EB，ED兩兩垂直，

以E為坐標原點，以EA，EB，ED所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示，19.解：(1)點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?12，

直線AM的斜率為yx+2(x≠?2