專題十八最短路線

1、1專題十八最短路線知識聚焦：滲及定理：1兩點之間，線段最短。2垂線段最短。常用思考的方式：1把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形2通過軸對稱尋找對稱點3代數(shù)問題構(gòu)造幾何模型求解。例題導(dǎo)航：1.如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和 4cm,高為 5cm,若一只螞蟻從點P 開始經(jīng)過 4 個側(cè)面爬行圈到達(dá)點 Q 則螞蟻爬行的最短路線的長為 _3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAABC 的頂點 A 在 x 軸的正半軸上，頂點 B 的坐標(biāo)為（3,3）,1點 C 的坐標(biāo)為（一，0）,點 P 為斜邊 OB 上的一個動點，則 PA+PC 勺最小值為24.如圖，河岸 I 同側(cè)的兩個居民小區(qū) AB 到河岸的距離分別為 a 米

2、、b米（即 AA=a,BB=b 米），AB=c 米，現(xiàn)欲在河岸邊建一個長度為s 米的綠化帶 CD （寬度不計），使C 到小區(qū) A 的距離與 D 到小區(qū) B 的距離之和最小.（1） 在圖中畫出綠化帶的位置。（2 ）求 AC+BD 的最小值。2. E 是正方形 ABCD 的邊 AB 上一點,BE=2, AE=3BE,P 是 AC 上一動點，則PB+PE 的最小值是2435.如圖，C 為線段 BD 上一動點，分別過點 B、D 作 AB丄BD, ED丄BD，連接 AC、EC。已知 AB=5,DE=1, BD=8，設(shè) CD=x。（1）用含 x 的代數(shù)式表示 AC+CE 的長；（2）試問點 C 滿足什么條

3、件時，AC+CE 的長度之和最?。浚?） 根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請你構(gòu)圖求出代數(shù)式.X2 4 （12匚X）29的最小值。能力達(dá)標(biāo):1.如圖，一個牧童在小河南4 英里處牧馬，河水向正東方流去，而他正位于他的小屋西8 英里北 7 英里處，他想把他的馬牽到小河邊飲水，然后回家，他能夠完成這件事所走的最短距離是（）2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點 A、B 的坐標(biāo)分別為（1，4）、（ 3, 0），點 C 是 y 軸上的一個動點，且 A、B、C 三點不在同一條直線上，當(dāng) ABC 的周長最小時，點 C 的坐標(biāo)是（）3.如圖，/ MON=90,矩形 ABCD 的頂點 A、B 分別在邊 0M,ON 上，當(dāng) B

4、在邊 ON 上運動時，A 隨之在邊 0M 上運動，矩形 ABCD 的形狀保持不變，其中 AB=2, BC=1，運動過程中，點 D 到點 0 的 最4大距離為（）45算，d2=km (用含 a 的式子表示)。探索歸納:(1)(2)1當(dāng) a =4 時，比較大?。篸1(2當(dāng) a=6 時，比較大?。篸1( 請你參考下邊方框中的方法指導(dǎo),d2(填“”d2(填“”a (當(dāng) a 1 時)的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？“=”或“v”);“=”或“V”)；4.如圖，菱形 ABCD 的兩條對角線長分別為 6 和 8, M、N 分別是邊 BC、CD 的中點，P 是對角線 B

5、D5.如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90,翻折，使點 C 落在 AB 邊上的點 E 處，若點 P 是直線 AD 上的動點，則 PEB 的周長的最小值是_6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， A (2, 0), B ( 3, 0),P 是直線 y=x 上的一點，當(dāng) FA+PB 最小時,試求點 P 的坐標(biāo)。7.在一平直河岸 I 同側(cè)有 A、B 兩個村莊，A、B 到 I 的距離分別是 3km、2km,AB=akm (a1 )?，F(xiàn)計劃 在河岸 I 上建一抽水站 P,用輸水管向兩個村莊供水。某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1 是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為d1,且d1=PB+B(km)

6、(其中 BP 丄 l 于點 P);圖 2 是方案二的示意圖， 設(shè)該方案中管道長度為 d2,且 d2=PA+PB(km)(其中點 A與點 A 關(guān)于 I 對稱，AB 與 I 交于點 P)。觀察計算：(1) 在方案一中，d=_ (用含 a 的式子表示);(2)在方案二中，組長小宇為了計算d2的長，作了如圖 3 所示的輔助線，請你按小宇同學(xué)的思路計上一點，則 PM+PN 的最小值為()ADB就AB6拓展提升:1.如圖，等邊 ABC 的邊長為 2, M 是 AB 邊的中點，P 是邊 BC 上的一點，設(shè) PA+PM 的最大值和最2 2小值分別為 S 和 I，則 S - I 為（）點 E 在正方形 ABCD

7、 內(nèi),在對角線 AC 上取一BC、CD、BD 上任意一點，則PK+QK 的最小值（）4.如圖，在銳角厶 ABC 中, BC=4J2，/ ABC=45 , BD 平分/ ABC M N 分別是 BD BC 上的動點，則CM+M 的最小值是（）5.如圖，當(dāng)四邊形 PABN 的周長最小時，a=_ 6.求函數(shù)y二 X2 1 （4 -x）2 4的最小值。（提示：運用數(shù)形結(jié)合的思想。）ABPC2.如圖,正方形 ABCD 勺面積為 12， ABE 是等邊三角形,3.如圖，在菱形 ABCD 中，AB=2，/ A=120, P、Q、K 分別為線段77.在厶 POQ 中, 0P=0Q=,4M 是 PQ 的中點，把一把三角尺的直角頂點放在點M 處，以點 M 為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)三角形，三角尺的兩直角邊與厶POQ 勺兩直角邊分別交于點 A、B.(1) 求證：MA=MB(2)連接 AB 探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，AOB 的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值； 若不存在，請說明理由.8.在等腰梯形 ABCD 中, AD/ BC,AD=AB=CD=2/C=60, M 是 BC 的中點。(1) 求證： MDC 是等邊三角形；(2) 將厶 MDC 繞點 M 旋轉(zhuǎn)，當(dāng) MD(即 MD )與 AB 交于一點 E