第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示

1、第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示【最新考綱】 1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面 向量的正交分解及其坐標表示3會用坐標表示平面向量的加法、減法 與數(shù)乘運算4理解用坐標表示的平面向量共線的條件.盤孟備蟲為 實雙基I找冊歸|酥強星©I基礎梳理1. 平面向量基本定理如果e2是同一平面內(nèi)的兩個 不共線向量，那么對于該平面內(nèi) 任意向量a,有且只有一對實數(shù) 入,入2,使a=?iei +&e2.2. 平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位 向量i、j作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量a,有且只有一對實數(shù) X、 y,使a=xi + yj，把有

2、序數(shù)對(x, y)叫做向量a的坐標，記作a= (x, y).3. 平面向量的坐標運算(1 )向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設a=(xi, yi), b = (X2, y2),貝Sa+b= (Xi + X2, yi + y2),a-b= (x“一x?,仏一y?),入 a=(入 x,入 yi), 14= ,xi+yi.(2) 向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標為向量的坐標.設 A(xi, yi), B(X2, y2)，則 aB =(X2 xi, y2 yi), |AB| =7 (Xg Xi)2+( y? y" 2.4. 平面向量共線的坐標表示設 a=(xi, yi),

3、b =(X2, y2)，其中0. a/b? Xiy二Xy三Q學情自測1. (質疑夯基)判斷下列結論的正誤.(正確的打“"”，錯誤的 打 “X” )(1) 在厶ABC中，AB, AC可以作為基底.()(2) 在厶ABC中，設AB =a,BC = b,則向量a與b的夾角為/ ABC()(3) 右a, b不共線，且 入a+ wb= h a+血b,貝卩入=, a 1=)(4) 若a=xi, yi), b=(X2, y，則a/b的充要條件可以表示成 嚴答案：“(2)X (3)V (4)X2. (20i5四川卷)設向量a=(2, 4)與向量b= (x, 6)共線，則實數(shù) x=()A. 2B. 3

4、C. 4D. 6解析：Ta/b,.2X 6 4x= 0,解得 x= 3.答案：B3.已知平面向量a= (2, i), b = (i , 3),那么|a+b|等于()A. 5 B 13C 17D. 13解析：因為 a+ b= (2, 1)+ (1, 3)=(3, 2),所以 |a+ b|=32 + 22= 13.答案：B4. 已知向量a= (2, 4), b= ( 1, 1),貝S 2a-b=()A. (5, 7) B. (5, 9)C. (3, 7) D. (3, 9)解析：2a b = (4, 8) ( 1, 1) = (5, 7).答案：A5. 在下列向量組中，可以把向量a= (3, 2)

5、表示出來的是()A. 0 = (0, 0), e2= (1, 2)B. e1 = (1, 2), e2=(5， 2)C. e1 = (3, 5), e2=(6, 10)D. e1 = (2, 3), e2= ( 2, 3)解析：由題意知，A選項中e1 = 0, C、D選項中兩向量均共線， 都不符合基底條件，故選 B(事實上，a= (3, 2)= 2& + e2).答案：B 名師微博通法領悟一個區(qū)別在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量 OA=a，點A的位 置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x, y).但表 示形式與意義不同，如點 A(x, y),向量a=OA = (x

6、, y),向量坐標中既有大小信息又有方向信息.兩點提醒1若a,b為非零向量，當a/b時，a,b的夾角為0°或180°, 求解時容易忽視其中一種情形而導致出錯.2. 若 a=(xi, yi), b = (X2, y2),則 a/b 的充要條件是 x“2 X2yi=0,不能表示成Xl=也，因為X2, y2有可能等于0.X2y2三個結論1.若a與b不共線，入a+b0,貝卩A尸0.2.已知OA = ZOB +QC(入為常數(shù))，則A, B, C三點共線 的充要條件是入+卩=1.3. 平面向量的基底中一定不含零向量.矗贏鬻盛.高效提能I一、選擇題1.已知點A(1, 3), B(4, 1

7、)，則與向量AB同方向的單位向量 為()A 3 4 4 3;A55B.&5丿5'4d-解析：AB = (3, 4),則與其同方向的單位向量AB|AB|-4)=佇-£答案：A2.已知向量a=( 3, 1), b= (0,- 2).若實數(shù)k與向量c滿足a2b= kc,貝S c可以是()A. ( 3,-1) B. (-1,- 3)C. (- 3,- 1) D. (-1,3)解析：Ta+ 2b= kc,.( 3, 1)+ 2(0,- 2)= kc,則 c= ：( 3,-3).答案：D3. (2016朝陽一模)在厶ABC中，M為邊BC上任意一點，N為 am的中點，AN = ?A

8、B +誡C，貝S入+ 的值為()1 1 1A. 2B.3C ”D. 1解析：v M為邊BC上任意一點，二可設AM = xAB + yAC(x + y= 1).N為AM的中點，AN = ?aM = ?xAB + ?yAC = ?AB + 識c.11入+ a=2(x + y)= 2答案：A4 .若a, B是一組基底，向量 y= xa+ yB (x y R)，則稱(x, y)為向量丫在基底a, B下的坐標，現(xiàn)已知向量 a在基底p= (1 , 1), q = (2, 1)下的坐標為(一2, 2),則a在另一組基底m = (-1, 1),n= (1, 2)下的坐標為()A (2, 0) B. (0, 2

9、)C. ( 2, 0) D. (0, 2)解析：Tc在基底p, q下的坐標為(2, 2)，即a= 2p + 2q =(2, 4), 令 a= xm + yn= ( x+ y, x + 2y),x+ y= 2,x= 0,/.即x+ 2y= 4,y= 2.o在基底m, n下的坐標為(0, 2).答案：D(1、5. (2016大連模擬)已知平面向量a= (1, x), b= &x 3, y 1丿,若a與b共線，則y = f(x)的最小值是()97A. ?B. 4 C. . 3解析：因為與b共線，所以y 1 x ；x 3 = 0,1 2127則 y = 3x+ 1=2(x 3) 2所以當x=

10、3時，ymin= ；答案：C6. 已知a, b是不共線的向量，AB = Xa+b, AC =a+ab入，卩 R，那么A、B、C三點共線的充要條件為()A. X + 尸 2 B. X 卩=1C. X a 1 D. X a 1解析：V A、B、C三點共線，.存在實數(shù)t，滿足AB = tAC，即 入a+ b= t a+ a tb又a, b是不共線的向量，入=t ，二入=1.J1 at答案：D二、填空題7. 已知兩點 A( 1, 0), B(1, 3),向量 a=(2k 1, 2),若AB /a,則實數(shù)k的值為.解析：因為 A( 1, 0), B(1, 3),所以 AB = (2, 3).讓2k 12

11、7又因為AB / a所以一2= 3,故k=6答案：78. (2015 江蘇卷)已知向量 a=(2, 1), b = (1, 2),若 m a+nb=(9, 8)(m, n R)，貝m n 的值為.解析：v m a+ nb = (2m + n, m 2n)= (9, 8),2m+ n= 9,m= 2, n = 2 5= 3.m 2n= 8,n = 5,答案：39. 設e1、e是平面內(nèi)一組基向量，且a = & + 2e2, b= & + e, 則向量e + e可以表示為另一組基向量a, b的線性組合，即0+ e2解析：由題意，設e“ + e2= m a+ nb.因為 a= ei +

12、 2e2, b=- ei + ez,所以 ei + e2 = m(ei + 2e2)+ n( ei + e2)= (m- n)ei + (2m + n)e2.m n = 1,由平面向量基本定理，得12m + n = 1,所以m = 3,n=-3.2 1即 ei + e2= 3a 3b.答案：fab三、解答題10 . (2016 鄭州一中月考)已知 A(- 2, 4), B(3,- 1), C( -3, -4).設AB =a, BC = b, CA = c,且CM = 3c, CN = -2b.(1) 求 3a+b- 3c;(2) 求滿足a=mb + nc的實數(shù)m、n的值；(3) 求M , N的

13、坐標及向量mN的坐標.解：由已知得 a= (5,- 5), b= (-6,- 3), c= (1, 8).(1) 3 a+ b-3c= 3(5,-5) + (-6,-3)- 3(1, 8)= (15- 6-3,15 -3 -24) = (6, - 42).(2) t mb+ nc= ( 6m + n,- 3m + 8n) = (5,- 5),6m+ n= 5,3m+ 8n= 5,m= 1,解得I n= 1.(3)設0為坐標原點，VCM = 0M Oc = 3c,OM = 3c+ OC = (3, 24) + ( 3, 4)= (0, 20),M(0, 20).又 v CN = ON OC = 2b,ON = 2b+ OC = (12, 6) + ( 3, 4)= (9, 2),N(9, 2),/.mN = (9, 18).11.已知點 0(0, 0), A(1 , 2), B(4, 5),且 OP = OA + tAB(t R), 問：(1) t為何值時，點P在x軸上？點P在二、四象限角平分線上？(2) 四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值; 若不能，請說明理由.解析：(1)vO(0, 0), A(1, 2), B(4, 5),OA