第二章系統(tǒng)模擬與控制器設計概要

1、(X X'sin X'cosd)Fig.2-1 Inv erted pen dulum model使用Lagrange Equation來分析這個系統(tǒng)。用廣義座標表示的動力學方程。其典型表示式為dtq®'2 N)，第二章系統(tǒng)模擬與控制器設計（張正達、李冠德、張志瑋、蘇郁棣 共同製作） 2.1數(shù)學模式化倒立單擺的模型如Fig.2-1所示，在X方向施以一定力f,使車子在X方向 左右移動，同時桿子也相對的左右搖擺。本專題的目的就是設計一控制器控制施 力f，使的桿子能持續(xù)向上直立，也就是B=0,甚至進一步控制車子的位置到達某一定點X。M :車子質量二1.35kgm :

2、桿子質量二0.0827kgl :桿子長度二0.48m:桿子密度二m lg :重力加速度=9.8m2sf :對車子所施的力二：桿子距中間的角度X :車子移動的距離Lagra nge Equati on即是完整系統(tǒng)式中T是系統(tǒng)的動能，它必須用 N個廣義座標qj和N個廣義速度qj二來I dt丿表示；Qj是對應於廣義坐標qj的廣義力。對於保守系統(tǒng)還存在著勢函數(shù) V，因為有QjV和V =0的關係，所以令L =T-V後，即得禺比|jL L =Qj，其中L稱為Lagrange函數(shù)或稱為動勢。dt ：qj:qj先根據模型求出系統(tǒng)動能T,其中Vm為桿子上微小質量dm的速度，可由dm位置座標（X X'si

3、nX'cos旳的微分求得：2 2 Vm 二V mx(1)2 - 2 - 2 Vmyx x cosx sin “T Jmx221 2Mx21 .2Mx21Mx21 dmVm221 丨 | . - 2 - 2 |x x cosx sin ldx2 xi 2i . o x dx 亠 i 2xx cos wdx+ % ；lx2 _+ 2xcos日“丄丨22I"I)x"2 cos2日日 2dx"十x"2 sin2日日 2dx"sin2"2(iq1Mx21- 2 112.2mx ml cos m ml2 26再根據模型求出系統(tǒng)位能V:l”

4、1V = 0 dm gx cos mgl cos如此一來便可算出Lagrange函數(shù)L:1 2 1 2 1. . - 11L 二TVMx mxml cos"xml 二 mgl cos6對x這座標以Lagrange Equation表示成一微分方程d f 乩cL dt何丿 exd1Mx mx ml cos" dt.1 m x -2ml cos"-ml sin260'2同時對B這座標也可表示成相對的微分方程dt 丿胡2 丄 mlcosxml2-1 dt |L231112 11mlcos 伙mlsi n wxml -mlsi n 丁伙一22321mlsin &q

5、uot;x 1 mglsin r - 0.IL 22 9mglsin j - 0丄 mlcosTix -ml - -mglsin v - 0232(8)將兩個座標得到的微分方程(6)(8)整理成矩陣形式11 M +m ml cos。2 ml cos。- ml22 310 mlsi n“20；mgl si nv(9)為了之後分析方便，特地就x跟二整理成如下另一種矩陣形式-M - m ml211 2 2 2 - ml cos r 411 2.2m l42 cos-1 l2 -ml_31i . - m l cos日IL 21 2ml2f31 .Jmlcos 巧21 2 + ml sin日日2mgls

6、i n。1m612 2. . 2l .m l sin J cos" 亠Mmmgsin)42l3 sinB2 一 ； m2l 2g cos sin 日(10)2.2控制器設計由數(shù)學模式化部分，已推出一非線性的數(shù)學式，但在設計控制器時，非線性 系統(tǒng)並非設計者樂於見到，也不是能輕鬆處理的模式。一般而言，必須透過線性化(Linearlizati on)的過程來簡化系統(tǒng)，使系統(tǒng)成為方便設計的線性系統(tǒng)。簡化過 程首先假設桿子左右移動的角度(9)很小，可以當成有如線性移動，透過假設 (: r 0 cos r 1 si)V)，而非線性項(“ V2)因影響不大，予以忽略?？?將式(9)簡化成o O-1

7、接著我們嘗試用兩種方法設計控制器(PID controller及Pole assignment分述如下2.2.1 PID controller由於一個PID控制器只能對一個方向作控制，在此選擇先控制角度，經由控制器提供一個力，使車子左右移動而將角度控制在零度。根據簡化後的線性微分方程式(11)可列出一聯(lián)立方程.1 -M m x ml f2(12)1 12 l mlx+ ml Tmg-T=0 L 232(13)2 由式(13)代入式(12 )整理可得2 ; . 1.N g ml v - f32(14)經由拉氏轉換並整理得M m lss 亠M m (s) = F (s)(15)由式(15)可整理出

8、原系統(tǒng)的數(shù)學式Gs M、320.4386s -14.0405(16)可求得原開路系統(tǒng)的極點為芳.66發(fā)現(xiàn)原系統(tǒng)含有一個極點5.66在s平面右半面，為非穩(wěn)定根，導致系統(tǒng)不穩(wěn)定，需加上控制器將極點的位置修改到左半平面， 使系統(tǒng)穩(wěn)定。將原開路系統(tǒng)數(shù)學式G(s)通分成如下型式以方便設計控制器k - 2.28G S 2 2(17)s -a s -32而PID控制器的數(shù)學式則表示成 PID(s)KPID(s) =Kp - KDs(18)sFig.2-2 System with PID controller根據Fig.2-2可列出閉路數(shù)學式(Close-loop Function)表示為M(s)Ms 二亠

9、PIDs GsF(s) 1 +PID(s)G(s)Kp 么 KdSs -as-aKpKdS- s丿寧 KdSJs3 kK°s2kKp - a s kKiks Kp +(19)特徵方程式s3 kKDs2 kKp-askK = 0所得的解即為閉迴路的極點,透過欲設計的極點位置即可獲得相對應的PID值222 Pole Assignment根據簡化過的線性矩陣式(11)可整理成另一形式M +m-mlml-ml_0(20)1ml21 2 ml3-f 11 - 一 mgl 日 .2 y 一11 2 1 2 2 M m ml m l34Vml231 . -ml _ 2M + m 2mgh0.729

10、57-2.27990 f0.72957f -0.44346=11-2.27990 164.57128 0.19451 一 - 2.27990f 32.0 1 0 7 6(21)將式(21)化成 State-variable FormxT - lx1x2(22)xlX9A000衛(wèi) 0.443460x+0.72957010032.010760一-2.27990 一X3X4 T = X x v 100000叭0(23)(24)(25)定義 x = Ax bfX = si - Abf-Xf01001其中 x =x00-0.4434600A =0001-e'i i0032.010760 一-0

11、10.72957 b =_ 0.-2.27990一欲得其 Free-motion Poles 可在 Matlab 中執(zhí)行 eig(A)=0,0, ±.6578。同樣可以發(fā)現(xiàn)原系統(tǒng)有一個極點5.6578在s平面的右半平面，為非穩(wěn)定根，需藉由控制器 將極點修正到左半平面，使系統(tǒng)穩(wěn)定。fplantKcontrol lairuFig.2-3System with pole assig nment controlxl(26)(27)令 f =_Kx = « K2 K3 KjX0x = Ax bf - A - bK X將(27)式經過拉氏轉換，並移項整理得bl - A - bK X =

12、 0(28已知X為非零向量，所以debl - A-bK丄0(29)K值的求法可藉Matlab中的K= placeA b p指令求得，其中p為控制後的迴路極點向量，將欲設計的左半平面極點代入，即可獲得相對的K值，使系統(tǒng)變成穩(wěn)疋 要使用Pole Assignment的控制方法，需先確定系統(tǒng)是否為可控的(Controllable)可禾U用 Kalman Theorem：如果系統(tǒng)是 State Con trollable,那麼其 con trollability matrixs = b Ab A2b A3b】必須要滿秩。-00.729601.0110 1S =0.729601.011000-2.279

13、90-72.9813-2.27990-72.98130 一(30)透過Matlab求得ran k(s)=4，可確定此系統(tǒng)為Con trollable。Con trollable存在一個控制力，可以將系統(tǒng)在任意初始狀態(tài)，於有限時間內到達原點或某一特定的值。2.3電腦模擬根據式(10)的矩陣形式，可在 Matlab中的simulink中將倒立單擺完整的數(shù)學模式描繪出來。要注意在設計控制器時，為了方便起見，將數(shù)學式線性化後才進 行設計，但是在電腦模擬時，要將設計好的控制器套入未簡化過的完整非線性系 統(tǒng)，才能反應出真實系統(tǒng)的狀況，而且也可證明線性化的過程，並不會影響到實 際系統(tǒng)的特性，仍可達到控制的效

14、果。2.3.1 Pole Assig nmen 控制器模擬根據上一節(jié)的討論，pole assig nmen的方法同時讀取位置與角度的狀態(tài)回授，再透過受控體閉迴路極點的選取，可同時控制位置及角度兩個變量。所以要 有良好的控制結果，極點的選取將佔著極重要的角色。選擇控制後系統(tǒng)閉迴路的極點，有以下幾點準則：a. 倒立單擺為機械結構，一般而言反應時間約在1、2秒左右，太快的時間常數(shù)對系統(tǒng)而言是無意義的，配合這反應時間，其支配性極點(Domi nant Pole )只須選在 -附近即可滿足需求。b. 系統(tǒng)的時間響應特性主要由支配性極點決定，其他的極點若太靠近支配性極點太近，會破壞主極點的特性，一般而言其

15、餘極點大都選擇在主極點的4-5倍遠，讓這些極點的時間響應迅速衰減。c. 根據上個原則所述，極點取的越遠衰減得越快，但也不能輕易將極點擺在太 遠處，因為極點越遠衰減時所需的施力也越大，需平衡速度跟功率之間的關 係。先前提到倒立單擺為機械結構，為一低頻系統(tǒng)，若極點大到超出系統(tǒng)的 反應能力，會有無法控制的結果。d. 避免選取重根，根據根軌跡(root locus)法則，在重根那一點的根靈敏度(root sensitivity)為無窮大，k值只要有一點小變動，取得的根就可能有很大的差別， 何況經由計算出來的結果，必定經過四捨五入的進位，含有一定量的誤差， 求出的根往往不再是重根，甚至連共軛複數(shù)根都不是

16、，可能會造成不穩(wěn)定的 響應結果。e. 儘量不要選擇相距過遠的共軛複數(shù)根，此時複數(shù)的虛部相當大。已知實部影 響衰減速度，虛部影響震盪頻率。虛部越大，震盪頻率越快，造成時間響應 的震盪(dampi ng)也會越大。由以上數(shù)點選取方法，選取數(shù)組數(shù)據加以模擬，經過不斷嘗試，其中當極點 選在 P -1 F 七-7有最佳的控制效果。使用 Matlab指令K= placeA b p， 運算結果得 K=-6.2660-9.9809 -59.4685 -10.6504。將此數(shù)值代回 Simulink作模擬，Simulink的接線圖如Fig.2-4所示。改變位置及角度前方積分器的初始值，即為系統(tǒng)一開始的位置及角度

17、值，再 加以模擬，模擬結果則列於下頁表 2.1中。模擬結果不論是角度還是位置，最後都能控制到零點。當位置向右移動時， 角度值則向左偏回，這現(xiàn)象和實際的狀況是相符合的，而且當起始位置或起始角 度距零點越遠，則回歸零點的現(xiàn)象越激烈，經過兩變量互相的調整，最後同時回 到零點。此控制器是經由線性化所設計出的控制器，只能用來控制小幅度的角度 誤差，若是給予太大的值，可能模擬結果則無法與事實相結合。若要將此模擬結 果直接套用到實際系統(tǒng)可能會是不適用的，須根據實際系統(tǒng)再加以調變。表2.1 Pole Assignment控制器位移與角度的時間響應In itial value位置0.5Ihe ofhct: QP

18、ositi on=-3 m*1.52An gle=0.7 radTime offset 0Positi on=8 mAn gle=-0.5radT me日仙：0Positi on=0 mAn gle=1.3 rad0 1 2Tmo offset: 0An gle=0 radTmeoffsei 08Positio n=11 m ITime ofls&t 0Fig.2-4 Simuli nk with Pole Assig nment Con troller232 PID控制器模擬PID控制器自角度取得誤差訊號，經由設計控制器回授系統(tǒng)來控制角度。由式(19)閉迴路函數(shù)中得到的特徵方程式s3 kK°s2 kKp-askK| =0,其 中k = -2.28 a = 32先設計閉迴路的極點位置，代入特徵方程式可分別求出 Kp、 K卜Kd的值。選取極點的方法同Pole Assignment控制器時選取的方法一致，然 後再微調Kp、Ki