東園中學數(shù)學組興趣小組學習材料——圓

1、東園中學數(shù)學組興趣小組學習材料圓1、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圍繞圓心旋轉任意一個角度，都能夠與原來的圖形重合2、圓是軸對稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.3、頂點在圓心的角叫做圓心角圓心到弦的距離叫做弦心距 4、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等 在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦的弦心距相等在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等 在同圓或等圓中，相等的弦心距所對的弦相等，所對的弧相等，所對的弦的圓心角相等即：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或

2、兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等 5、把整個圓周等分成360份，每一份弧是1°的弧圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等 6、垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 拓展（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 （2）平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦，并且平分弦所對的另一條弧。 即：平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。（3）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 、圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 例1. 已知：如圖1，AB為O的直徑，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延長線于E。

3、    求證：    證明：連結BD，    AE切O于A，    EADABD    AEAB，又ABCD，    AECD    AB為O的直徑     ADB90° 圖1    EADB90°    ADEBAD      

4、      CDAB    （圓的兩條平行弦所夾的弧相等）ADBC，、(1)在一個圓中，同弧所對的圓周角相等，且都等于該弧所對的圓心角的一半. (2)在一個圓中，等弧所對的圓周角相等，且都等于該弧所對的圓心角的一半.(3)在等圓中，等弧所對的圓周角相等，且都等于該弧所對的圓心角的一半. (4)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等. (5)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.(6)如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.9、一條弦（不是直徑）所對的弧有兩條，所

5、對的圓心角只有一個；一條弧所對的圓周角有無數(shù)個. 10、弧的比等于弧所對的圓心角的比. 11、圓的內(nèi)接四邊形的對角互補或相等. 12、不在同一條直線上的三個點確定一個圓. 13、切線長概念：切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角，且垂直平分兩切點的連線。注：對于切線長定理，應明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則交點到圓的切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3

6、）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩條半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。（6）切線長定理是證明線段相等、角相等、弧相等、線段成比例、垂直關系的重要依據(jù)。知識聯(lián)網(wǎng)：（1）直角三角形（6個） （2）等腰三角形（2個）（3）全等三角形（3對） （4）相似三角形（5）射影定理 （6）垂徑定理例2. 如圖2，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點為F，交CD于E，求DE：AE的值。    解：由切線長定理

7、知：AFAB1，EFCE    設CE為x，在RtADE中，由勾股定理        ，    圖214、弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。 已知：如圖，直線AB切O于PE求證：APCD證明：連結PO，并延長交O于點E，連結CE 直線AB切O于P    PEAB于P 即CPE+APC90°又  PE是O的直徑    PCE90&#

8、176; 即CPE+PEC90° APCPEC，又 PECD APCD 拓展：弦切角等于它所夾的弧所對的圓心角的一半。已知：如圖，直線AB切O于點AEBCD求證：AOC2CAB證明：過點O作于點E，交O于點D AOE+OAE90°又 直線AB與O相切于A    OAAB于點A 即OAE+CAB90° AOECAB，又 OAOC，ODAC AOECOE AOC2CAB推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角相等。例3. 如圖3，AB為O的直徑，過B點作O的切線BC，OC交O于點E，AE的延長線交BC于點D，（1）求證：；（2）

9、若ABBC2厘米，求CE、CD的長。 圖3     點悟：要證，即要證CEDCBE。    證明：（1）連結BE    （2）。    又，    厘米。    點撥：有切線，并需尋找角的關系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。15、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的乘積相等。定理圖形已知結論證法相交弦定理O中，AB、CD為弦，交于PPA·PBPC·PD連結AC、BD，證：

10、APCDPB相交弦定理的推論O中，AB為直徑，CDAB于PPC2PA·PB用相交弦定理例4. O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE_cm。    解：由相交弦定理，得    AE·BECE·DEAE6cm，BE2cm，CD7cm，    ，     即     CE3cm或CE4cm。     故應填3或4。 圖4點撥：相交弦定理是較重要定理，結

11、果要注意兩種情況的取舍。16、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。定理圖形已知結論證法切割線定理O中，PT切O于T，割線PB交O于APT2PA·PB連結TA、TB，證：PTBPAT例5. 已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則 _。     解：PP ，PACB，    PACPBA，     ，     。    又PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得 &

12、#160;      ，    即  ，    故應填PC。點撥：利用相似得出比例關系式后要注意變形，推出所需結論。例6. 如圖5，P是O外一點，PC切O于點C，PAB是O的割線，交O于A、B兩點，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是_cm。    解：PC是O的切線，PAB是O的割線，且PA：PB1：4    PB4PA    又PC12cm 

13、   由切割線定理，得    圖5    ，        PB4×624（cm）    AB24618（cm）    設圓心O到AB距離為d cm，    由勾股定理，得    17、割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于點A、B、C、D，則有PA·PBPC·PD定理圖形已知結論證法切割線定理推論PB

14、、PD為O的兩條割線，交O于A、CPA·PBPC·PD法一：過P作PT切O于T，用兩次切割線定理法二：連結AD，BC，證明PBCPAD例7. 如圖6，PA、PC切O于A、C，PDB為割線。求證：AD·BCCD·AB點悟：由AD·BCCD·AB得，顯然要證PADPBA和PCDPBC    證明：PA切O于A，    PADPBA    又APDBPA，    PADPBA     

15、;   同理可證PCDPBC    圖6    PA、PC分別切O于A、C    PAPC    AD·BCDC·AB例8. 已知：如圖7，在直角三角形ABC中，A90°，以AB邊為直徑作O，交斜邊BC于點D，過D點作O的切線交AC于E。    求證：BC2OE。    點悟：由要證結論易想到應證OE是ABC的中位線。而OAOB，只須證AECE。  

16、;  證明：連結OD。    ACAB，AB為直徑    AC為O的切線，又DE切O于D    EAED，ODDE    OBOD，BODB    在RtABC中，C90°BODE90° 圖7        CEDC    EDEC    AEEC    OE是ABC的

17、中位線    BC2OE例9. 如圖8，在正方形ABCD中，AB1，是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點。當DEF45°時，求證點G為線段EF的中點；    解：由DEF45°，得    ，    DFEDEF    DEDF    又ADDC    AEFC因為AB是

18、圓B的半徑，ADAB，所以AD切圓B于點A； 圖8同理，CD切圓B于點C。    又因為EF切圓B于點G，所以AEEG，F(xiàn)CFG。因此EGFG，即點G為線段EF的中點18、圓冪定理：過一定點P向O作任一直線，交O于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積為常數(shù)|（R為圓半徑），因為叫做點對于O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理。定理圖形已知結論證法圓冪定 理O中，割線PB交O于A，CD為弦P'C·P'Dr2OP'2PA·PBOP2r2r為O的半徑延長P'O交O于M，延長OP'交O于N，用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證例、如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的直徑AB交小圓于點C、D，大圓的弦EF與小圓相切于點C，ED交小圓于點G，設大圓的半徑為，求小圓的半徑和EG的的長度。解：連結CG因為EF切小圓于C點，AB為大圓的直徑所以，所以。所以因為CD是小圓的直徑所以，在和中因為，所以所以