普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試卷及答案湖北卷

1、2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘祝考試順利注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置.2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，答在試題卷上無效3將填空題和解答題用0.5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上每題對應的答題區(qū)域內(nèi)答在試題卷上無效4考試結(jié)束，請將本試題卷和答題卡一并上交一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只

2、有一項是符合題目要求的1如果的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)的最小值為（）356102將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）3設和是兩個集合，定義集合，如果，那么等于（）4平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：；與相交與相交或重合；與平行與平行或重合其中不正確的命題個數(shù)是（）12345已知和是兩個不相等的正整數(shù)，且，則（ ）A0B1CD6若數(shù)列滿足（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（ ）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條

3、件7雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為，焦點為與的一個交點為，則等于（ ）ABCD8已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（ ）A2B3C4D59連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（ ）ABCD10已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（ ）A60條B66條C72條D78條二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡相應位置上11已知函數(shù)的反函數(shù)是，則 ； 12復數(shù)，且，若是實數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對可以是 （寫出一個有序?qū)崝?shù)對即可）13設變量滿足約

4、束條件則目標函數(shù)的最小值為（毫克）（小時）14某籃運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率（用數(shù)值作答）15為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（II）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應寫出文

5、字說明，證明過程或演算步驟16（本小題滿分12分）已知的面積為，且滿足，設和的夾角為（I）求的取值范圍；分組頻數(shù)合計（II）求函數(shù)的最大值與最小值17（本小題滿分12分）在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有100個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表：（I）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系中畫出頻率分布直方圖；（II）估計纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？（III）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間的中點值是）作為代表據(jù)此，估計纖度的期望18（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，底面，是的中點，且，（I）求證：平面；（II）當解變化時，求直線與平面所

6、成的角的取值范圍BVADC19（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點（I）若點是點關(guān)于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由ABxyNCO（此題不要求在答題卡上畫圖）20（本小題滿分13分）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）21（本小題滿分14分）已知為正整數(shù)，（I）用數(shù)學歸納法證明：當時，；（II）對于，已知，求證，求證，；（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)2007年普通

7、高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）試題參考答案一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算每小題5分，滿分50分12345678910二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算每小題5分，滿分25分1112（或滿足的任一組非零實數(shù)對）131415；0.6三、解答題：本大題共6小題，共75分16本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查推理和運算能力解：（）設中角的對邊分別為，則由，可得，（），即當時，；當時，17本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計總體分布的統(tǒng)計方法，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力解：（）分組

8、頻數(shù)頻率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合計1001.00樣本數(shù)據(jù)頻率/組距1.301.341.381.421.461.501.54（）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為（）總體數(shù)據(jù)的期望約為18本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數(shù)學問題的能力解法1：（），是等腰三角形，又是的中點，又底面于是平面又平面，平面平面（） 過點在平面內(nèi)作于，則由（）知平面連接，于是就是直線與平面所成的角在中，；設，在中，ADBCHV，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法2：（）以所在的直線分別為軸

9、、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面平面平面ADBCVxyz（）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，則由得可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法3：（）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，則由，得ADBCVxy可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則設ADBCVxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）設直線與平面所成

10、的角為，設是平面的一個非零法向量，則取，得可取，又，于是，關(guān)于遞增，即直線與平面所成角的取值范圍為19本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力解法1：（）依題意，點的坐標為，可設，NOACByx直線的方程為，與聯(lián)立得消去得由韋達定理得，于是，當時，（）假設滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，NOACByxl則，點的坐標為，令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得，又由點到直線的距離公式得從而，當時，（）假設滿足條件的

11、直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則設直線與以為直徑的圓的交點為，則有令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線20本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當時，有，即當時，21本小題主要考查數(shù)學歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力解法1：（）證：用數(shù)學歸納法證明：（）當時，原不等式成立；當時，左邊，右邊，因為，所以左邊右邊，原不等式成立；（）假設當時，不等式成立，即，則當時，于是在不等式兩邊同乘以得，所以即當時，不等式也成立綜合（）（）知，對一切正整數(shù)，不等式都成立（）證：當時，由（）得，于是，（）解：由（）知，當時，即即當時，不存在滿足該等式的正整數(shù)故只需要討論的情形：當時，等式不成立；當時，等式成立；當時，等式成立；當時，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；當時，同的情形可分析出，等式不成立綜上，所求的只有解法2：（）證：當或時，原