2001年考研數(shù)學(xué)二試題及答案

1、WORD格式超級(jí)狩獵者2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題此題共5小題，每題3分，總分值15分把答案填在題中橫線上13xlim2x1xx12x_【答案】26【考點(diǎn)】洛必達(dá)法那么【難易度】【詳解】解析：方法一：3x1x2(1x)111limlimlim2xxxxxxxx1112(1)(2)312xx226.方法二：使用洛必達(dá)法那么計(jì)算1111limx1231xx3x22222x21limxx12x12x362.2xxye所確定，那么曲線yf(x)在點(diǎn)(0,1)處y2設(shè)函數(shù)yf(x)由方程ecos()1的法線方程為_【答案】x2y20【考點(diǎn)】隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、平面曲線的法線【難

2、易度】【詳解】解析：在等式2cos()1xyexye兩邊對(duì)x求導(dǎo),得2xy(2')sin()(')0,eyxyyxy將x0,y1代入上式,得y'(0)2.故所求法線方程為11,yx即x-2y+2=0.23223(xsinx)cosxdx2_2專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者【答案】8【考點(diǎn)】定積分的換元法【難易度】【詳解】解析：由題干可知，積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，利用被積函數(shù)的奇偶性可以簡(jiǎn)化計(jì)算.在區(qū)間,22上,xx是奇函數(shù),3cos23cos222sinxcosx是偶函數(shù),故132232222222xsinxcosxdxxcosxsinxcosxdxsin2xdx422

3、21822(1cos4x)dx.81y4過(guò)點(diǎn)(,0) 且滿足關(guān)系式1y arcsinx的曲線方程為_221x【答案】yarcsinxx12【考點(diǎn)】一階線性微分方程【難易度】【詳解】解析：方法一:原方程yy'arcsinx121x可改寫為'yarcsinx1,兩邊直接積分,得yarcsinxxC又由1y()0,解得2C12.故所求曲線方程為：1yarcsinxx.2方法二:將原方程寫成一階線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式11y'y.2arcsinx1xarcsinx解得專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者11dxdx1221xarcsinx1xarcsinxyeCedxarcsinx1l

4、narcsinxlnarcsinxeCedxarcsinx1arcsinx(Cx),又由1y()0,解得2C12.故曲線方程為：1yarcsinxx.2a11x115設(shè)方程1a1x21有無(wú)窮多個(gè)解，那么a_11ax32【答案】2【考點(diǎn)】非齊次線性方程組解的判定【難易度】【詳解】解析：方法一:利用初等行變換化增廣矩陣為階梯形,有a11111a2A1a110a11a3211a201a1a12a11a20a1a13,00a1a22a2可見,只有當(dāng)a =- 2時(shí)才有秩r(A)r( A)23,對(duì)應(yīng)方程組有無(wú)窮多個(gè)解.方法二:當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式不為零時(shí),方程組有唯一解,因此滿足題設(shè)條件的a一定使系數(shù)行列式

5、a11為零,即有21a1(a2)(a1)0,解得a2或a1.11a由于答案有兩個(gè),應(yīng)將其帶回原方程進(jìn)展檢驗(yàn).顯然,當(dāng)a1時(shí),原方程無(wú)解,因此只能是a2.二、選擇題此題共5小題，每題3分，總分值15分每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)1設(shè)1,|x|1,f(x)那么fff(x)等于0,|x|1,A0B1C1,0,|xx|1,1.D0,1,|xx|1,1.【答案】B【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)中，內(nèi)層函數(shù)的值域是包含于外層函數(shù)的定義域。解析：由題易知f (x)1，所以ff(x)1，fff

6、(x)f(1)1，選B.22設(shè)當(dāng)x0時(shí)，(1cosx)ln(1x)是比nxsinx高階的無(wú)窮小，而nxsinx是比2x(e1)高階的無(wú)窮小，那么正整數(shù)n等于A1B2C3D4【答案】B【考點(diǎn)】無(wú)窮小量的比擬【難易度】【詳解】解析：由題易知:limx0limx01n(1cosx)ln(1nxsinx122 2x xnx xn 43limx02x)124x1nx00limx0limx01nnxxsin2xe1nx2x2xn10limx01n2xx03曲線y(x1)x的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為2(3)2(3)2A0B1C2D3【答案】C【考點(diǎn)】函數(shù)圖形的拐點(diǎn)專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者【難易度】【詳解】解析：

7、y2(x1)(x23)2(x3)(x21)y2(x23)4(x1)(x3)4(x3)(x1)2(x21)2(x23)8(x1)(x3)2(x1)2y4(x3)8(x3)8(x1)4(x1)24(x2)由y0得，x1或x3，帶入y0，故f(x)有兩個(gè)拐點(diǎn).4函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，f(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，且f(1)f(1)1，那么A在(1,1)和(1,1)內(nèi)均有f(x)xB在(1,1)和(1,1)內(nèi)均有f(x)xC在(1,1)內(nèi)，f(x)x，在(1,1)內(nèi)，f(x)xD在(1,1)內(nèi)，f (x)x，在(1,1)內(nèi)，f(x)x【答案】A【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】【詳解】解

8、析：令F(x)f(x)x，那么F(x)f(x)1，因?yàn)樵趨^(qū)間(1,1)上，f(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，所以當(dāng)x(1,1)時(shí)，F(xiàn)(x)f(1)10，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(1)f(1)10；當(dāng)x(1,1)時(shí)，F(xiàn)(x)f(1)10，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)F(1)f(1)10；故在(1,1)和(1,1)內(nèi)均有F(x)0，即f(x)x.5設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，它的圖形如下列圖所示，那么其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖形為專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者【答案】D【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】【詳解】解析：由圖可知f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別記作,()x1xxx，故f(x)在212且僅在這兩

9、處的值為0，應(yīng)選D。其中，當(dāng)x0時(shí)，f(x)先增后減再增，故f(x)先正再負(fù)再正，進(jìn)一步排除B.三、此題總分值6分求dx2x(2x1)21【考點(diǎn)】不定積分的第二類換元法【難易度】【詳解】解析：設(shè)xtanu,那么dxsec2udu,原式ducosudu222(2tanu1)cosu2sinucosudsinu2sinu1arctan(sinu)Cxarctan()21xC專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者四、此題總分值7分xsint求極限txlimsinsin，記此極限為f(x)，求函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)并指出其類型()tsinxx【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)重要極限、函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的類型【難易度】xsinxsint

10、sinxxxsintsint【詳解】解析：f(x)xsint1)sintsinxsinxsintsinxsinsinxlim()lim(1ettxsinxxsinx由此表達(dá)式知x0及xkk±1，±2，都是fx的連續(xù)點(diǎn)x由于lim()limesinexfx，所以x0是fx的可去或第一類連續(xù)點(diǎn)；而x0x0xkk±1，±2，均為第二類或無(wú)窮連續(xù)點(diǎn)五、此題總分值7分設(shè)(x)是拋物線yx上任一點(diǎn)M(x,y)(x1)處的曲率半徑，ss(x)是該拋物線上介于點(diǎn)A(1,1)與M之間的弧長(zhǎng)，計(jì)算32d2dsd(ds2)的值在直角坐標(biāo)系下曲率公式|y|為)K3(1y22)【

11、考點(diǎn)】曲率半徑、定積分的幾何應(yīng)用平面曲線的弧長(zhǎng)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【難易度】11"【詳解】解析：y',y,32x4x拋物線在點(diǎn)M(x,y)處的曲率半徑32231(1y')1(x)(4x1).2Ky"2拋物線上AM的弧長(zhǎng)1xx2ss(x)1y'dx1dx.11x4故32d13(4x1)4ddx226.xdsds11dxx4專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者2ddd1616(). 2dsdsdxdsxx21141dxx4因此23dd16223()314x36x9.2dsds214x六、此題總分值7分設(shè)函數(shù)f(x)在0,)上可導(dǎo)，f(0)0，且其

12、反函數(shù)為g(x)假設(shè)0f(x)g(t)dt2xxe,求f(x)【考點(diǎn)】積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、一階線性微分方程【難易度】f(x)【詳解】此題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)：()d()()gttgfxfx0解析：等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：xx2exg(f(x)f(x)2xe，又因?yàn)間(x)是f(x)的反函數(shù)，故g(f(x)x，所以有xxexf(x)2ef(x)x)()xxxx(2exedxeexedxxexxeC又因?yàn)閒(x)在x0處連續(xù)，由limf(x)1Cf(0)0x0得C1xxex故f(x)e1.七、此題總分值7分x設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)g(x),g (x)2ef(x)，且f(0)0，g(0)

13、2，求g(x)f(x) 02dx.()1x(1x)【考點(diǎn)】自由項(xiàng)為指數(shù)函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、定積分的分部積分法【難易度】x【詳解】解析：因?yàn)閒(x)g(x),g (x)2ef(x)x，所以f(x)2ef (x)專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者其對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為f(x)f(x)02特征方程為r10，ri所以齊次微分方程的通解為f(x)CcosxCsinx12設(shè)非齊次微分方程的特解為*x，那么f*(x)Cex,f*(x)Cex,代入微分方程得f(x)CeC1，所以非齊次微分方程的通解為xf(x)C1cosxC2sinxe，又f(0)0,g(0)f(0)0,xf(x)C1sinx

14、C2cosxe,得1,1C1C,2故f(x)cosxsinxxe求積分：0g(x)1xf(1(x)x)2dx011df (x)fx0(x)d(11x)0df1(x)xf (x)f()f(0)1e.11x110 0八、此題總分值9分設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)P(x,y)(x0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處的切線1在y軸上的截距，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,0).21試求曲線L的方程；2求L位于第一象限局部的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小【考點(diǎn)】齊次微分方程、平面曲線的切線、函數(shù)的最大值與最小值【難易度】【詳解】解析：1設(shè)曲線L過(guò)點(diǎn)P(x,y)的切線方程為Yyy(Xx)，令X0,得切

15、線在y軸上的截距Yyxy22由題設(shè)知xyyxy，專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者u令y2xux,那么此方程可化為1.u別離變量得dd,ux2x1u2積分得ln(u1u)ln xlnC2y2C，即yx.代入條件y0得1x21C，于是得L的方程212y2yx,即212yx.41212曲線L)yx(0x在點(diǎn)(x,y)處的切線方程為4212xXx)2(),Y(x即412Y2xXx.4121它在x軸與y軸上的截距分別為)(x2x4與12x4111112x2x2所圍面積(2)d,Sx).(x)(2402x411111122222令)0S(x)2xx.x2(x)2x(x)()(324x444x441得S(

16、x)在0,內(nèi)的唯一駐點(diǎn)23x,6易知3x是最小值點(diǎn)6331由此，所求切線為Y2X,即636431yx.33九、此題總分值7分一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例常數(shù)K0假設(shè)在融化過(guò)程中雪堆始終保持半球體狀，半徑為r的雪堆在開場(chǎng)融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其0體積的78，問(wèn)雪堆全部融化需要多少小時(shí)？【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的物理意義、微分方程初始條件的概念【難易度】【詳解】解析：設(shè)雪堆在t時(shí)刻的體積23Vr，側(cè)面積322r，雪堆半徑rr(t)專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者dV由題設(shè)知kSdt，drdr2kr2所以有2,2r即k.dtdt積分得rktC又由rt0r，有Cr0，于是rr0

17、kt 0又由1V|t3V|，即t0823r121330tr0(r，得kr0，從而(6).3k)r06836令r0得雪堆全部融化所需時(shí)間為t6小時(shí)十、此題總分值8分設(shè)f(x)在區(qū)間a,a(a0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)0，1寫出f(x)的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式；a a3ffxx 2證明在a,a上至少存在一點(diǎn)，使()3()d.a【考點(diǎn)】泰勒中值定理、介值定理【難易度】【詳解】解析：1對(duì)任意xa,a，f()f()22f(x)(0(0xx其中在0與x之間f)f)xf(0)x，2!2！x2令F(x)f (t)dt0，那么F(x)在a,a具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其二階麥克勞林展開式為FF(0)F(

18、)23(x)F(0)F(0)xxx2!3!0f(0)xf(0)2!f()f(0)f()2x323xxx,3!2!3f0)f()f(0)()(2faaa23312所以F(a)aa，F(xiàn)(a)a，(201)2!3!2!3!3a3ffaa()()12又f(x)dxF(a)F(a)f()f()，·3！3212a1由于f()()介于f(1)和f(2)之間，由介值定理知存在a,a ，使得1f221f()f(1)f(2)，23aa那么有()f(x)dxf3a.十一、此題總分值6分專業(yè)資料整理WORD格式超級(jí)狩獵者100011A110,B101，且矩陣X滿足AXABXBAXBBXAE， 矩陣11i110其中E是