高數(shù)下冊常用常見知識點

1、高等數(shù)學(xué)下冊常用常見知識點第八章空間解析幾何與向量代數(shù)（一）向量及其線性運算1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；2、 線性運算：加減法、數(shù)乘；3、 空間直角坐標系：坐標軸、坐標面、卦限，向量的坐標分解式；4、 利用坐標做向量的運算：設(shè)a( ax,ay, az ) ， b(b,b ,b )，xyz則 a b (axb , ayby,azb ) ,a ( ax , ay , az ) ；xz5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：rx2y2z2；2） 兩點間的距離公式：AB(x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1)23） 方向角：非零向量與三個坐標軸的正向的夾

2、角, ,4）cosx , cosy , cosz方向余弦：rrrcos2cos2cos215） 投影： Pr juaa cos，其中為向量 a 與 u 的夾角。（二）數(shù)量積，向量積1、數(shù)量積： abab cos1） aaa22） abab0a b a x bxa y b ya zb z2、向量積： cab大?。篴bsin，方向： a , b , c 符合右手規(guī)則1） aa02） a / bab0ijkabaxayazbxbybz運算律：反交換律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S : f ( x, y , z )02、旋轉(zhuǎn)曲面：（旋轉(zhuǎn)后方程如何寫）yoz 面上曲線 C : f (

3、y , z)0 ，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周：f ( y ,x 2z2 )0繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周：f (x 2y 2 , z)03、柱面：（特點）F ( x, y )0 表示母線平行于 z 軸，準線為F ( x, y ) 0的柱面z 04、二次曲面（會畫簡圖）x 2y 2z 21）橢圓錐面：a 2b 2x 2y 2z212）橢球面： a 2b 2c 2x 2y 2z 21旋轉(zhuǎn)橢球面： a 2a 2c 2x 2y 2z 213）*單葉雙曲面：a 2b 2c 2x 2y 2z 214）*雙葉雙曲面：a 2b 2c 2x 2y 2z5）橢圓拋物面 ： a 2b 2x 2y2z6）*雙曲拋物面（馬鞍面） ： a

4、 2b 2x 2y 217）橢圓柱面： a 2b 28）雙曲柱面：9）拋物柱面：x 2y 21a 2b 2x 2ay（四）空間曲線及其方程F ( x, y , z)01、一般方程：G ( x , y , z) 0xx ( t )xa cost2、參數(shù)方程：yy ( t ) ，如螺旋線：ya sintzz ( t )zbt3、空間曲線在坐標面上的投影F ( x, y, z)0H ( x, y ) 0G ( x, y , z)0，消去 z ，得到曲線在面xoy 上的投影z 0（五）平面及其方程（法向量）1、點法式方程：A ( xx0 )B ( yy 0 ) C ( z z0 ) 0法向量： n(

5、A, B, C) ，過點 ( x0 , y0 , z0 )2、一般式方程：AxByCz D0 （某個系數(shù)為零時的特點）xyz1截距式方程： abc3、兩平面的夾角： n1( A1 , B1 ,C1 ) ， n2(A2 ,B2,C2) ，cosA1 A2B1 B2C1C2A12B12C12A22B22C2212A1 A2B1B2C1C20/ 2A1B1C11A2B2C24、點 P0( x0 , y0 , z0 ) 到平面 AxByCzD 0 的距離：dAx0By0 Cz0 DA2B2C 2（六）空間直線及其方程（方向向量）A1 x B1 y C1 z D 101、一般式方程：A2 x B2 y

6、C 2 z D 202、xx0y y0zz0對稱式（點向式）方程：mnp方向向量： s(m, n, p) ，過點( x0 , y 0 , z0 )xx0mt3、參數(shù)式方程：yy0ntzz0pt4、兩直線的夾角： s1(m1 ,n1 , p1 ) ， s2( m2 ,n2 , p2 ) ，cosm1m2n1n2p1 p2m12n12p12m22n22p22L1L2m1m2 n1n2p1 p20L1 / L2m1n1p1m2n2p25、直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，sinAmBnCpA 2B 2C 2m2n 2p 2L /AmBnCp0LABCmnp第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（

7、一）基本概念1、距離，鄰域，內(nèi)點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、多元函數(shù)： zf ( x, y) ，圖形， 定義域 ：3、limf ( x, y)A極限： ( x , y ) ( x0 , y 0 )4、連續(xù)：limf ( x, y)f (x0 , y0 )( x , y ) ( x0 , y0 )5、偏導(dǎo)數(shù) ：f x ( x0 , y0 )limf ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )xx 0f y ( x0 , y0 )limf ( x0 , y0y)f ( x0 , y0 )yy 06、方向?qū)?shù)：fffcos,為 llcosy其中的

8、方向角。x7、梯度： zf (x, y)，則 gradf ( x0 , y0 )f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。8、全微分： 設(shè) zf ( x, y) ，則 dzz dxz dyxy（二）性質(zhì)1、函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：12偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在充分條件必要條件4定義23函數(shù)連續(xù)2、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法ux1）定義：2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈式法則zvy若 zf (u, v), u u( x, y), vv( x, y) ，則zzuzvzzuz vxuxvx ， yuyv

9、 y3）隱函數(shù)求導(dǎo)： a.兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組）， b.公式法（三）應(yīng)用1、極值1）無條件極值：求函數(shù)zf ( x, y) 的極值f x0解方程組f y0求出所有駐點，對于每一個駐點( x0 , y0 ) ，令A(yù) f xx ( x0 , y0 ) ， Bf xy ( x0 , y0 ) ， Cf yy ( x0 , y0 ) ，若 ACB20， A 0 ，函數(shù)有極小值，若 ACB 20 ， A0 ，函數(shù)有極大值；若 ACB20，函數(shù)沒有極值；若 ACB20，不定。2）條件極值：求函數(shù)zf ( x, y) 在條件(x, y)0 下的極值令： L( x, y)f ( x, y)( x, y)

10、Lagrange函數(shù)Lx0解方程組Ly0( x, y)02、幾何應(yīng)用1）曲線的切線與法平面xx (t )曲線: yy (t ) ，則上一點 M ( x0 , y0 , z0 ) （對應(yīng)參數(shù)為 t0）處的zz(t )x x0yy0z z0切線方程為：x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程為：x ( t0 )( xx0 )y ( t 0 )( y y0 )z ( t0 )( z z0 ) 02）曲面的切平面與法線曲面: F ( x , y , z)0 ，則上一點 M ( x0 , y0 , z0 ) 處的切平面方程為：Fx ( x0, y0 , z0 )(xx0 )Fy ( x0 ,

11、 y0 , z0 )( yy0 )Fz (x0 , y0 , z0 )( zz0 )0x x0y y0z z0法線方程為： Fx ( x0 , y0 , z0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )第十章重積分（一）二重積分f ( x, y) dlimnf (k ,k )1、定義：kD0k12、性質(zhì)：（ 6 條）3、幾何意義：曲頂柱體的體積。4、計算：1）直角坐標X 型區(qū)域： D( x, y)1( x)y2 ( x)，axbf ( x, y)dxdyb2 ( x)dx1 ( x)f ( x,y)d yDaY 型區(qū)域： D( x, y)1( y)x2 (

12、y)，cydf (x, y)dxdyd2 ( y)dy1 ( y)f (x,y)d xDc*交換積分次序（課后題）2）極坐標D( ,)1( )2 ()f (x, y)dxdy2 ()f (cos,sin)dd)D1 (（二）三重積分n1、定義：f (x, y, z) d vlimf (k ,k ,k )vk0k 12、性質(zhì)：3、計算：1）直角坐標f (x, y, z) d vd xd yz2 ( x, y)f ( x, y, z)d z- 投影法“先一后二 ”Dz1 (x, y )bd zf (x, y, z) d xd yf (x, y, z) d v- 截面法“先二后一 ”aDZ2）柱面坐

13、標xcosysinf ( x, y, z)d vf (cos , sin , z) d d dz，zz3）*球面坐標 *xr sincosyr sinsinzr cosf ( x, y, z)d vf (r sin cos ,r sin sin , r cos )r 2 sin drd d（三）應(yīng)用曲面 S : z f ( x, y) , ( x, y)D 的面積：AD1 ( z)2( z)2 d x d yxy第十一章曲線積分與曲面積分（一）對弧長的曲線積分n1、定義：f ( x, y)dslimf (i ,i )siL0i 12、性質(zhì)：1）L f ( x, y)( x, y)dsf (x,

14、 y)dsg( x, y)ds.LL2）Lf ( x, y)dsL1f ( x, y)dsL2f ( x, y)ds.(L L1 L2).3）在 L 上，若f ( x, y)g( x, y) ，則Lf ( x, y)dsL g( x, y)ds.4）ds l( l 為曲線弧L的長度)L3、計算：x(t),設(shè) f ( x, y) 在曲線弧 L 上有定義且連續(xù)，L 的參數(shù)方程為(t) ，其中y(t ),(t),(t ) 在 , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2 (t )2 (t )0，則Lf ( x, y)dsf (t),(t)2 (t)2 (t )dt,()（二）對坐標的曲線積分1、定義：設(shè) L 為 x

15、oy 面內(nèi)從 A 到 B 的一條有向光滑弧， 函數(shù) P ( x, y )，Q( x, y) 在 L 上n有界，定義LP ( x, y)d xlimP (k, k )xk，01knQ ( x, y) d ylimQ (k ,k )yk .L0 k1向量形式：Fd rP( x, y)d xQ( x, y)d yLL2、性質(zhì)：用 L表示 L 的反向弧, 則 LF ( x, y)drL F ( x, y) dr3、計算：設(shè) P( x, y) , Q(x, y) 在有向光滑弧L 上有定義且連續(xù) ,L 的參數(shù)方程為x(t ),y(t :)，其中(t),(t)在 , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(t ),2 (t

16、 )2 (t )0 ，則LP ( x, y )d xQ( x, y)d y P(t ),( t)(t )Q( t ),( t )(t ) dt4、兩類曲線積分之間的關(guān)系：x(t )設(shè)平面有向曲線弧為L：(t )， L 上點 ( x, y) 處的切向量的方向角為：,，ycos(t)， cos(t )2 (t)2 (t )(t)，2 (t )2則PdxQdy(P cosQ cos)ds.LL（三）格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域D 是由分段光滑 正向曲線L 圍成，函數(shù)P( x, y) ,Q( x, y) 在QPPdx Qd yD 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有d xd yxyDL2、 G 為一個單連通區(qū)

17、域，函數(shù)P( x, y) ,Q(x, y) 在 G 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則Q Pxy曲線積分PdxQdy 在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)L曲線積分PdxQdy0LP( x, y)dxQ( x, y) d y 在 G 內(nèi)為某一個函數(shù)u( x, y) 的全微分（四）對面積的曲面積分1、定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)f ( x, y, z) 是定義在上的一個有界函數(shù)，n定義f ( x, y, z)dSlimf ( i ,i , i ) Si0 i12、計算：“一單值顯函數(shù)、二投影、三代入”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ，則f ( x, y, z) dSf x, y, z( x, y)1zx2

18、(x, y)zy 2 (x, y) dxd yDx y（五）對坐標的曲面積分1、預(yù)備知識：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量2、定義：設(shè)為有向光滑曲面，函數(shù)P( x, y, z),Q(x, y, z), R( x, y, z) 是定義在上的有界函數(shù)，定義nR( x, y, z)d xdylimR(i,i,i )(Si ) xy0 i1P( x, y, z)d ydzlimnP(,i ,i )( Si ) yz同理，i0i1nQ(x, y, z)d zdxlimR(i,i,i)(Si ) zx0i 13、性質(zhì)：1）12 ，則PdydzQdzdxR dxdyPdydzQdzdxR dxdyPdyd

19、z QdzdxR dxdy122）表示與取相反側(cè)的有向曲面 ,則R d xdyR dxdy4、計算：“一投二代三定號”: zz( x, y) ，( x, y)Dxy ， zz(x, y) 在 Dxy 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，R( x, y, z) 在上連續(xù)，則R(x, y, z)d xdyDx yR x, y, z(x, y)dxdy , 為上側(cè)取“ + ，”為下側(cè)取“- ”.5、兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pd ydz QdzdxRdxd yPcosQcosRcosd S其中,為有向曲面在點 (x, y, z) 處的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式： 設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成

20、 ,的方向取外側(cè) ,函數(shù) P,Q, R在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有PQRd x d y d zP d y d zQ d zd xRdx d yxyz或PQRd x d y d zPcosQcosRcosd Sxyz2、*通量與散度 *通 量：向 量場A(P,Q, R)通過曲面指 定側(cè)的通量 為：Pd ydzQdzd xRd xd y散度： divAPQRxyz（七）*斯托克斯公式 *1、斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線,的側(cè)與的正向符合右手法則,P(x, y, z),Q( x, y, z), R(x, y, z) 在包含在內(nèi)的一個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則有R Q d y d

21、 zPR d zd xQ P d xd yP d x Q d y Rd zyzzxxy為便于記憶 , 斯托克斯公式還可寫作 :d yd z d zd x d xd yxyzP d xQ d yRd zPQR2、*環(huán)流量與旋度 *環(huán)流量：向量場A( P,Q, R) 沿著有向閉曲線的環(huán)流量為P d xQ d yR d z旋度： rotARQPR,QPyz,xxyz第十二章無窮級數(shù)（一）常數(shù)項級數(shù)1、定義：1）無窮級數(shù)：unu1u2u3unn1n部分和： Snuku1u2u3un ，k1正項級數(shù)：un ， un0n 1交錯級數(shù)：(1)n un ， un0n 12）級數(shù)收斂 ：若 lim SnS 存在

22、，則稱級數(shù)un 收斂，否則稱級數(shù)un 發(fā)散nn 1n13）條件收斂：un 收斂，而un 發(fā)散；n1n 1絕對收斂：un 收斂。n 12、性質(zhì)：1）改變有限項不影響級數(shù)的收斂性；2）級數(shù)an ，bn 收斂，則(anbn ) 收斂；n1n 1n 13）級數(shù)an 收斂，則任意加括號后仍然收斂；n14）必要條件：級數(shù)un 收斂lim un0.（注意：不是充分條件！ ）n1n3、審斂法正項級數(shù)：un ， un0n 11）定義： lim SnS 存在；n2）un 收斂Sn有界；n 13）比較審斂法：un ，vn為正項級數(shù)，且unv (n1,2,3, )n 1n 1n若vn 收斂，則un 收斂；若un 發(fā)散

23、，則vn 發(fā)散 .n1n 1n 1n 14）比較法的推論：un ，vn 為正項級數(shù)， 若存在正整數(shù)m ，當 nm 時， unkvn ，n1n 1而vn 收斂，則un 收斂；若存在正整數(shù)m ，當 nm 時， unkvn ，而 vn發(fā)散，n1n 1n 1則un 發(fā)散 .n15）比較法的極限形式：un ，vn為正項級數(shù)， 若 lim unl(0l) ，而vnn 1n1nvnn1收斂，則un 收斂；若lim un0 或 lim un，而vn發(fā)散，則un 發(fā)散 .n1nvnnvnn 1n 16）比值法 ：un 為正項級數(shù)， 設(shè) nlim un 1l ，則當 l1時，級數(shù)un 收斂；則當 l1n1unn

24、1時，級 數(shù)un 發(fā)散；當 l1時，級數(shù)un 可能收斂也可能發(fā)散 .n1n17）*根值法：un 為正項級數(shù)， 設(shè) lim nunl ，則當 l1時，級數(shù)un 收斂；則當 l1n 1nn 1時，級數(shù)un 發(fā)散；當l1時，級數(shù)un 可能收斂也可能發(fā)散 .n1n18）極限審斂法：un 為正項級數(shù)，若lim n un0 或 lim n un，則級數(shù)un 發(fā)n 1nnn1散；若存在p 1，使得 lim n punl(0l) ，則級數(shù)un 收斂 .nn1交錯級數(shù)：萊布尼茨審斂法：交錯級數(shù)：(1)n un， un0 滿足：u1un(n1,2,3,) ，且n 1nlim un0 ，則級數(shù)(1)n un 收斂。

25、nn1任意項級數(shù)：un 絕對收斂，則un 收斂。n 1n1aqn收斂， q1常見典型級數(shù)： 幾何級數(shù)：n 0發(fā)散，q11 收斂， p 1p -級數(shù)：npn 1發(fā)散， p 1（二）函數(shù)項級數(shù)1、定義：函數(shù)項級數(shù)un ( x) ，收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；n 12、冪級數(shù)：an xnn01 ,0liman 1R0,收斂半徑的求法：an，則收斂半徑n,03、泰勒級數(shù)f ( x)f (n) ( x0 )( xx)nlim R (x)n0n!0nn展開步驟：（直接展開法）1）求出 f ( n) ( x),n1,2,3,；2）求出 f ( n) ( x0 ),n0,1,2,；f( n) (x)(xx0 )n3）寫