第1章信號與系統(tǒng)的基概念

1、第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 第第1章章 信號與系統(tǒng)的基本概念信號與系統(tǒng)的基本概念 1.0 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng) 1.1 信號的描述和分類信號的描述和分類 1.2 信號的基本特性信號的基本特性 1.3 信號的基本運算信號的基本運算 1.4 階躍信號和沖激信號階躍信號和沖激信號 1.5 系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述 1.6 系統(tǒng)的特性和分類系統(tǒng)的特性和分類 1.7 信號與系統(tǒng)的分析方法信號與系統(tǒng)的分析方法 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.0 信信 號號 與與 系系 統(tǒng)統(tǒng)圖 1.0-1 激勵、系統(tǒng)與響應(yīng) 系統(tǒng)輸入信號（激勵）輸出信號（響應(yīng)）第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.0-2 無線電

2、廣播系統(tǒng)的組成 轉(zhuǎn)換器()發(fā)射機消息（廣播節(jié)目）信號調(diào)制轉(zhuǎn)換器()接收機消息（廣播節(jié)目）信號解調(diào)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.1 信號的描述和分類信號的描述和分類1.1.1 信號的描述信號的描述 信號:是消息的表現(xiàn)形式，通常體現(xiàn)為隨若干變量而變化的某種物理量。例如，1.在電子信息系統(tǒng)中的電壓、電流、電荷或磁通等電信號可以理解為是時間t或其他變量的函數(shù)； 2.在氣象觀測中的溫度、 氣壓是隨海拔高度h變化的函數(shù)；3.平面黑白圖像像素灰度變化情況的圖像信號，可以表示為平面坐標位置(x, y)的函數(shù)，等等。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 如果信號是單個獨立變量的函數(shù)，稱這種信號為一維信號。

3、 如果信號為n個獨立變量的函數(shù)時，就稱為n維信號。 本書只討論一維信號。為了方便起見，一般都將信號的自變量設(shè)為時間t或序號k。 通常，還將信號的圖形表示稱為波形或波形圖。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.1.2 信號的分類信號的分類(4種分類法種分類法) 1. 確定信號與隨機信號確定信號與隨機信號 任一由確定時間函數(shù)描述的信號，稱為確定信號或規(guī)則信號。對于這種信號，給定某一時刻后，就能確定一個相應(yīng)的信號值。 如果信號是時間的隨機函數(shù)，事先將無法預(yù)知它的變化規(guī)律，這種信號稱為不確定信號或隨機信號。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.1-1 噪聲和干擾信號 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基

4、本概念 2. 連續(xù)信號與離散信號連續(xù)信號與離散信號 一個信號，如果在某個時間區(qū)間內(nèi)除有限個間斷點外都有定義， 就稱該信號在此區(qū)間內(nèi)為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。 例:正弦信號，其表達式為 )sin()(1tatf式中，a是常數(shù)。其自變量t在定義域(-, )內(nèi)連續(xù)變化，信號在值域-a, a上連續(xù)取值。注意:一般表達式后應(yīng)標明時間區(qū)間; 凡沒有標明時間區(qū)間時， 均默認其定義域為(-， )。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.1-2 連續(xù)信號 01212a af1(t)to1tf2(t)oatf3(t)t0(a)(b)(c)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖1.1-2(b)是單位階躍信號，

5、 通常記為(t)，其表達式為 )0(0)0( 1)()(2ttttf圖1.1-2(c)表示一個延時的單邊指數(shù)信號， 其表達式為 )0(0)0()()(30ttaetftt式中，a是常數(shù)，0。信號變量t在定義域(-, )內(nèi)連續(xù)變化，信號f3(t)在值域0， a)上連續(xù)取值。注意，f3(t)在t=t0處有間斷點。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 對于間斷點處的信號值一般不作定義，這樣做不會影響分析結(jié)果。如有必要， 也可按高等數(shù)學(xué)規(guī)定，定義信號f(t)在間斷點t0處的信號值等于其左極限f(t0-)與右極限f(t0+)的算術(shù)平均值， 即 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 這樣，圖1.1-2中的信號f

6、2(t)和f3(t)也可表示為 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 僅在離散時刻點上有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。 定義在等間隔離散時刻點上的離散信號也稱為序列， 通常記為f(k)，其中k稱為序號。與序號m相應(yīng)的序列值f(m)稱為信號的第m個樣值。序列f(k)的數(shù)學(xué)表示式可以寫成閉式，也可以直接列出序列值或者寫成序列值的集合。例如，圖1.1-3(a)所示的正弦序列可表示為 kakf4sin)(1第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.1-3 離散信號 0123 4567 82468a akf1(k)1310234131023410132f2(k)f3(k)kk56a(a)(b)(

7、c)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 隨k的變化，序列值在值域-a, a上連續(xù)取值。對于圖1.1-3(b)所示的序列則可表示為 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 在工程應(yīng)用中，把幅值可連續(xù)取值的連續(xù)信號稱為模擬信號;(如圖1.1- 2(a)；把幅值可連續(xù)取值的離散信號稱為抽樣信號 (如圖1.1-3(a)；把幅值只能取某些規(guī)定數(shù)值的離散信號稱為數(shù)字信號 (如圖1.1-3(c)。 為方便起見，有時將信號f(t)或f(k)的自變量省略，簡記為f() 。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 3. 周期信號與非周期信號周期信號與非周期信號一個連續(xù)信號f(t)，若對所有t均有f(t)=f(t+mt) m=0

8、, 1, 2, 則稱f(t)為連續(xù)周期信號，滿足上式的最小t值稱為f(t)的周期。 一個離散信號f(k)，若對所有k均有f(k)=f(k+mn) m=0, 1, 2, (1.1-7)就稱f(k)為離散周期信號或周期序列。滿足式(1.1- 7)的最小n值稱為f(k)的周期。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.1-4 周期信號 tf (t)a a2t2tttof (t)240246k第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 4. 能量信號與功率信號能量信號與功率信號 若將信號f(t)設(shè)為電壓或電流，則加載在單位電阻上產(chǎn)生的瞬時功率為|f(t)|2，在一定的時間區(qū)間內(nèi)會消耗一定的能量。 把該能量對時

9、間區(qū)間取平均，即得信號在此區(qū)間內(nèi)的平均功率?，F(xiàn)在將時間區(qū)間無限擴展， 定義信號f(t)的能量e為 2,2dttfe222)(limdttfp222)(1lim第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 如果在無限大時間區(qū)間內(nèi)信號的能量為有限值(此時平均功率p=0)， 就稱該信號為能量有限信號，簡稱能量信號。如果在無限大時間區(qū)間內(nèi)，信號的平均功率為有限值(此時信號能量e=)，則稱此信號為功率有限信號，簡稱功率信號 離散信號f(k)的能量定義為kkfe2)(第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.2 信號的基本特性信號的基本特性 信號的基本特性包括: 1.時間特性、 2.頻率特性、 3.能量特性、4.信息特性

10、。 頻率與振幅、相位大小的圖形稱為信號的頻譜。信號的能量和功率隨頻率分布的關(guān)系稱為信號的能量譜和功率譜。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.3 信號的基本運算信號的基本運算 1.3.1 相加和相乘相加和相乘 設(shè)兩個連續(xù)信號f1(t)和f2(t)，則其和信號s(t)與積信號p(t)可表示為 )()()()()()(2121tftftptftfts第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 同樣，若有兩個離散信號f1(k)和f2(k)，則其和信號s(k)與積信號p(k)可表示為 )()()()()()(2121kfkfkpkfkfks第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.3-1 連續(xù)信號的相加和相乘

11、第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.3-2 離散信號的相加和相乘 f1( k )0123456 1 2 31f2( k )012345 1 2 31 1f1( k ) f2( k )012345 1 2 31 12012345 1 2 31f1( k )f2( k )kkkk第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.3.2 翻轉(zhuǎn)、平移和展縮翻轉(zhuǎn)、平移和展縮 1。翻轉(zhuǎn)：將信號f(t)(或f(k)的自變量t(或k)換成-t(或-k)，得到另一個信號f(-t)(或f(-k)， 稱這種變換為信號的翻轉(zhuǎn)。幾何意義：是將自變量軸“倒置”， 取其原信號自變量軸的負方向作為變換后信號自變量軸的正方向?；蛘甙?/p>

12、照習(xí)慣， 自變量軸不“倒置”時，可將f(t)或f(k)的波形繞縱坐標軸翻轉(zhuǎn)180， 即為f(-t)或f(-k)的波形， 如圖1.3-3所示。2。平移：為平移：為信號f(t)(或f(k)加上一常數(shù)；3。展縮展縮 ：為：為信號f(t)(或f(k)乘（縮）、除（展）一常數(shù)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.3-3 信號的翻轉(zhuǎn)(a) f(t)的翻轉(zhuǎn)； (b) f(k)的翻轉(zhuǎn) 02241f (t)t0221f ( t)t0221t44f ( t)02241f (k)k0221f ( k)k0221kf ( k)44(a)(b)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.3-4 信號的平移 022f

13、(t)t02f (t 2)t02t4f (t 2)4033f (k)kf (k 2)f (k 2)022k022k46464(a)(b)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.3-5 連續(xù)信號的波形展縮 021f (t)t121021f (2t)t121024t421)21(f(a)(b)(c)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例 1.3-1 已知信號f(t)的波形如圖1.3-6(a)所示，試畫出f(1-2t)的波形。 解：解： 一般說來，在t軸尺度保持不變的情況下，信號f(at+b)(a0)的波形可以通過對信號f(t)波

14、形的1。平移（）、2。翻轉(zhuǎn)(若a0)乘-13。展縮（）變換得到。根據(jù)變換操作順序不同，可用多種方法畫出f(1-2t)的波形。第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 (1) 按“翻轉(zhuǎn)-展縮-平移”順序。 先翻轉(zhuǎn)：乘-1將f(t)變?yōu)閒(-t)波形。然后，展縮：2，得到f(-2t)波形；最后：平移加1變?yōu)閒(1-2t) 信號的波形變換過程如圖1.3-6所示。0 1f (t)t102 1f ( 2 t)t102 1f (t)t1 211 11 1 10f (1 2t)t11 12121(a)(b)(c)(d)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.3-7 例1.3-1用圖之二 0 1f (t 1 )t1

15、02 1f (t 1 )t102 1f (t)t1 211 11 1 10f (1 2t)t11 12121(a )(b )(c )(d )(2) 按“平移-翻轉(zhuǎn)-展縮”順序。即：“加1- 乘-1- 2”順序得到f(1-2t)的波形。 信號波形的變換過程如圖1.3-7所示。第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 (3) 按“展縮-平移-翻轉(zhuǎn)”順序。即：“2-加1- 乘-1”順序得到f(1-2t)的波形。 信號波形的變換過程如圖1.3-8所示0f (2 t)t10 1f (2 t 1 )t02 1f (t)t111 11 1 10f (1 2t)t11 1212121212121(a )(b )(c

16、)(d )第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.3.3 信號的導(dǎo)數(shù)和積分信號的導(dǎo)數(shù)和積分 連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號f(t)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()()()1(tfdtdtfty圖 1.3-9 信號f1(t)、f2(t)、f3(t)的波形 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 連續(xù)時間信號f(t)的積分 tdxxfty)()( 產(chǎn)生另一個連續(xù)時間信號，其任意時刻t的信號值為f(t)波形在(-, t)區(qū)間上所包含的凈面積。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.3-10 信號的微分和積分(a) 信號f(t)； (b) 信號的微分； (c) 信號的積分 f (t)1t122121200121212112

17、3123450)() 1(tf)() 1 (tf(a)(b)(c)tt第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.3.4 信號的差分和迭分信號的差分和迭分 1. 差分運算差分運算按照連續(xù)時間信號的導(dǎo)數(shù)定義 ttfdttdft)(lim)(0就離散信號而言，可用兩個相鄰序列值的差值代替f(t)， 用相應(yīng)離散時間之差代替t，并稱這兩個差值之比為離散信號的變化率。根據(jù)相鄰離散時間選取方式的不同，離散信號變化率有如下兩種表示形式： 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 ) 1() 1()()() 1()() 1()(kkkfkfkkfkkkfkfkkf考慮到上面兩式中(k+1)-k=k-(k-1)=1，因此，相

18、鄰兩個序列值的變化率也就是這兩個序列值之差，故稱該操作為差分運算 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 (1) 前向差分： )() 1()(kfkfkf(2) 后向差分： ) 1()()(kfkfkf第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.3-11 信號的差分 f (k)2110323456k1.52.52112f (k)21032345 6k11023456k0.512311.5273110.521.52(a)(b)(c)1f (k)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 如果對差分運算得到的離散信號繼續(xù)進行差分操作，可以定義高階差分運算。 對于前向差分有 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 同理，同

19、理， 對于各階后向差分可表示為對于各階后向差分可表示為 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 2. 迭分運算迭分運算仿照連續(xù)時間信號積分運算的定義 )(lim)()(fdxxftyt在離散信號中，最小間隔就是一個單位時間，即=1， 可定義離散積分的運算為 knnfky)()(第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.3-12 離散信號的迭分 f (k)211023456ky(k)211023456k2211221332111(a)(b)1第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.4 階躍信號和沖激信號階躍信號和沖激信號 1.4.1 連續(xù)時間階躍信號連續(xù)時間階躍信號 圖圖 1.4-1 單位階躍信號單位階

20、躍信號 ttt111t0(a)(b)(c)ooo(t)(t)(tt0)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 設(shè)圖1.4-1(a)所示函數(shù) 110)(ttttt00 該函數(shù)在t時為常數(shù)1。在區(qū)間(0，)內(nèi)直線上升，其斜率為1/。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 隨減小，區(qū)間(0，)變窄，在此范圍內(nèi)直線上升斜率變大。 當0時， 函數(shù)(t)在t=0處由零立即躍變到1，其斜率為無限大， 定義此函數(shù)為連續(xù)時間單位階躍信號，簡稱單位階躍信號， 用(t)表示， 即 )0( 1)0(0)(lim)(0tttt第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 單位階躍信號時移t0后可表示為 10)(0tt00tttt注意：注意：

21、 信號信號(t)在在t=0處和處和(t-t0)在在t=t0處都是不連續(xù)的。處都是不連續(xù)的。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.4-2 單邊信號和區(qū)間分段信號 11f1(t)11sin 0tf2(t)otott011f3(t)0t12312(a)(b)(c)sin 0t第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖1.4-2(a)和(b)所示的單邊信號f1(t)和f2(t)： 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 而圖1.4-2(c)所示的區(qū)間分段信號f3(t)為 可應(yīng)用幾個不同時移的單位階躍信號把f3(t)表示為 )3() 1()1(21)1()2()2(31)(3tttttttf0) 1(21)2

22、(31)(3tttfttt其他3112第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.4.2 連續(xù)時間沖激信號連續(xù)時間沖激信號 01)()(tdtdtptt其他0 當0時，矩形脈沖的寬度趨于零，幅度趨于無限大， 而其面積仍等于1。我們將此信號定義為連續(xù)時間單位沖激信號， 簡稱單位沖激信號或函數(shù)，用(t)表示，即 )(lim)(0tpt第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.4-3 單位沖激信號 t212op(t)to(t)(1)(a)(b)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 函數(shù)的另一種定義是： 0)(1)(21tdtttt0021ttt定義表明函數(shù)除原點以外，處處為零，但其面積為1。 )(0100)(

23、tttdtxt第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 )()(lim)(lim)(lim)(000tdtdtdtdtdtdtptttettttet21lim)()/sin(lim)(1lim)(0002(高斯函數(shù)序列 ）(取樣函數(shù)序列) (雙邊指數(shù)函數(shù)序列) 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.4.3 廣義函數(shù)和廣義函數(shù)和函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)按函數(shù)按導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類為兩類：性質(zhì)分類為兩類：常規(guī)函數(shù)與非常規(guī)函數(shù)。 常規(guī)函數(shù)：在間斷點處的導(dǎo)數(shù)是不存在的。除間斷點外， 自變量t在定義域內(nèi)取某值時，函數(shù)有確定的值。非常規(guī)函數(shù)：如：1。單位階躍信號(t)：在間斷點處的導(dǎo)數(shù)是單位沖激信號，2。函數(shù)在其惟一不等于零

24、的點t=0處的函數(shù)值為無限大。人們將這類非常規(guī)函數(shù)稱為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1. 廣義函數(shù)的基本概念廣義函數(shù)的基本概念 比較：普通函數(shù)：y=f(t)看成是對定義域中的每個自變量t， 按一定的運算規(guī)則f指定一個數(shù)值y的過程。廣義函數(shù)：g(t)理解為是對試驗函數(shù)集(t)中的每個函數(shù)(t)，按一定運算規(guī)則ng分配(或指定)一個數(shù)值ng(t)的過程。 g(t)定義為 )()()(tndtttgg第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 表 1.1 廣義函數(shù)與普通函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 廣義函數(shù)的基本運算包括： （1）相等）相等)()(21tgtg若若

25、),()(21tntngg則定義則定義（2）相加）相加若若則定義),()()(21tntntnggg)()()(21tgtgtg第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 (3) 尺度變換。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 2. 函數(shù)的廣義函數(shù)定義函數(shù)的廣義函數(shù)定義 按廣義函數(shù)理論，函數(shù)定義為 )0()()(dttt0)(1)()(dttdtttp當0時，在(0, )區(qū)間上，(t)(0)，故有 00000)0()0(1lim)(1lim)()(limdtdttdtttp)(lim)(0tpt第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 3. 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)的微分和積分 )0()()() 1

26、()()(dtttdttt式中，(0)是(t)的一階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值。通常稱(t)為單位沖激偶， 用圖1.4-4所示的圖形符號表示。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.4-4 單位沖激偶(t) ot(1)(1) (t)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 同理，由廣義函數(shù)的微分運算定義，并考慮到()=0，單位階躍信號(t)的導(dǎo)數(shù)可表示為 )0()()0()( )()()()(0dttdtttdttt第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 性質(zhì)性質(zhì)2 函數(shù)與普通函數(shù)f(t)相乘 若將普通函數(shù)f(t)與廣義函數(shù)(t)的乘積看成是新的廣義函數(shù)， 則按廣義函數(shù)定義和函

27、數(shù)的篩選性質(zhì)， 有 dtttfdtttffttftdttttf)()()0()()()0()0()0()()()()()()(第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 根據(jù)廣義函數(shù)相等的定義，得到 )()0()()(tfttf)()()()()()()()0()()0()()(00000tfdttttftttftttffdttfdtttf第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例 1.4 1 試化簡下列各信號的表達式。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 性質(zhì)性質(zhì)3 (t)函數(shù)與普通函數(shù)f(t)相乘 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 根據(jù)廣義函數(shù)相等的定義， 有 )()0( )( )0()( )(tftftt

28、f對上式兩邊在(-, )區(qū)間取積分 )0( )( )0( )( )0()( )(fdttfdttfdtttf同理， 將(t)換成(t-t0)， 重復(fù)上述推導(dǎo)過程 )()( )( )()( )(00000tttftttftttf)( )( )(00tfdttttf第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 性質(zhì)性質(zhì)4 尺度變換 設(shè)常數(shù)a0，按照廣義函數(shù)尺度變換和微分運算的定義，可將(n)(at)表示為 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 根據(jù)廣義函數(shù)相等的定義， 可得到 )(11)()()(taaatnnn當n=0和1時，分別有 )(1)(taat)( 11)( taaat(1.4-36)第 1 章 信號與

29、系統(tǒng)的基本概念 性質(zhì)性質(zhì)5 奇偶性奇偶性 式(1.4 - 36)中，若取a=-1， 則可得 )() 1()()()(ttnnn顯然， 當n為偶數(shù)時， 有 )()()()(ttnn, 4 , 2 , 0n當n為奇數(shù)時，有 )()()()(ttnn, 5 , 3 , 1n第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例 1.4 2 計算下列各式： 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.4.4 階躍序列和脈沖序列階躍序列和脈沖序列 1. 單位階躍序列單位階躍序列離散時間單位階躍序列定義為 01)(k00kk第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.4-5 單位階躍序列 0 1

30、23412(k)1k第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 2. 單位脈沖序列單位脈沖序列離散時間單位脈沖序列定義為 01)(k00kk圖 1.4-6 單位脈沖序列 0 1231231k(t)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 因為只有當k=0時(k)的值為1，而當k0時(k)的值均為零，所以任一序列f(k)與(k)相乘時，結(jié)果仍為脈沖序列，其幅值等于f(k)在k=0處的值，即 )()0()()(kfkkf而當f(k)與(k-m)相乘時，則有 )()()()(mkmfmkkf根據(jù)(k)和(k)的定義，不難看出(k)與(k)之間滿足以下關(guān)系： knnk)()()() 1()()(kkkkf第 1 章 信

31、號與系統(tǒng)的基本概念 1.5 系系 統(tǒng)統(tǒng) 的的 描描 述述 1.5.1 系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型 系統(tǒng)模型是指對實際系統(tǒng)基本特性的一種抽象描述。例：電系統(tǒng)， 1。它可以是由理想元器件互聯(lián)組成的電路圖；2?？梢杂苫具\算單元(如加法器、乘法器、積分器等)構(gòu)成的模擬框圖；3?；蛘哂晒?jié)點、傳輸支路組成的信號流圖；4。也可以是在上述電路圖、模擬框圖或信號流圖的基礎(chǔ)上，按照一定規(guī)則建立的用于描述系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)方程。 這種數(shù)學(xué)方程也稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 如果系統(tǒng)只有單個輸入和單個輸出信號，則稱為單輸入單輸出系統(tǒng)，如圖1.5-1所示。如果含有多個輸入、輸出信號， 就稱為多輸入多輸出系

32、統(tǒng) .圖 1.5-1 單輸入單輸出系統(tǒng) 單輸入單輸出系 統(tǒng)y( )f ( )第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.5-2 多輸入多輸出系統(tǒng) 多 輸 入 多 輸 出系 統(tǒng)y1( )f1( )f2( )fp( )y2( )yq( )第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 對于一個給定系統(tǒng)，如果在任一時刻的輸出信號僅決定于該時刻的輸入信號，而與其它時刻的輸入信號無關(guān)，就稱之為即時系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)；否則，就稱為動態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。 例如，只有電阻元件組成的系統(tǒng)是即時系統(tǒng)，包含有動態(tài)元件(如電容、 電感、 寄存器等)的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)。 描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型(描述方程)稱為系統(tǒng)的輸入輸出方程。 描

33、述系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.5.2 系統(tǒng)的輸入輸出描述系統(tǒng)的輸入輸出描述 1。如果系統(tǒng)的輸入、輸出信號都是連續(xù)時間信號，則稱之為連續(xù)時間系統(tǒng)，簡稱為連續(xù)系統(tǒng)。 2。如果系統(tǒng)的輸入、輸出信號都是離散時間信號，就稱為離散時間系統(tǒng)，簡稱離散系統(tǒng)。 3。由兩者混合組成的系統(tǒng)稱為混合系統(tǒng)。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1. 系統(tǒng)的初始觀察時刻系統(tǒng)的初始觀察時刻 在系統(tǒng)分析中，將經(jīng)常用到“初始觀察時刻t0”或“初始時刻t0”一詞，它包括兩個含義。含義之一是以t0時刻為界，可將系統(tǒng)輸入信號f(t)區(qū)分為f1(t)和f2

34、(t)兩部分，即 )()()(21tftftf0)()(1tftf)(0)(2tftf00tttt00tttt第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 2. 連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出方程連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出方程 例例 1.5-1 簡單力學(xué)系統(tǒng)如圖1.5-3所示。在光滑平面上，質(zhì)量為m的鋼性球體在水平外力f(t)的作用下產(chǎn)生運動。設(shè)球體與平面間的摩擦力及空氣阻力忽略不計。將外力f(t)看作是系統(tǒng)的激勵， 球體運動速度看作是系統(tǒng)的響應(yīng)。 根據(jù)牛頓第二定律，有 dttdmtmatf)()()()(1)( tfmt 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.5-3 力學(xué)系統(tǒng) v(t)f (t)m第 1 章 信號與系統(tǒng)的基

35、本概念 例例 1.5-2 圖1.5-4是一個電路系統(tǒng)。其中，電壓源us1(t)和us2(t)是電路的激勵。若設(shè)電感中電流il(t)為電路響應(yīng)，則由基爾霍夫定律列出節(jié)點a的支路電流方程為 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 )(1)()(1)(1)(1)(221tultuturlctilctirctissslll 如果描述連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階微分方程，就稱該系統(tǒng)為n階連續(xù)系統(tǒng)階連續(xù)系統(tǒng)。當系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為n階線性常系數(shù)微分方程時，寫成一般形式有 nimjjjiitfbtya00)()()()( 式中，f(t)是系統(tǒng)的激勵，y(t)為系統(tǒng)的響應(yīng)，an=1。方程中， 。 若要求解n階微

36、分方程，還需要給定n個初始條件y(0)，y(0)，, y(n-1)(0)。 )()()(tfdtdtfjjj)()()(tydtdtyiij第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.5-4 電路系統(tǒng)uc(t)ic(t)ri1(t)us1(t)lil(t)us2(t)alc第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例1.5-3 考察一個銀行存款本息總額的計算問題。儲戶每月定期在銀行存款。設(shè)第k個月的存款額是f(k)，銀行支付月息利率為，每月利息按復(fù)利結(jié)算，試計算儲戶在k個月后的本息總額y(k)。 顯然，k個月后儲戶的本息總額y(k)應(yīng)該包括如下三部分款項： (1) 前面(k-1)個月的本息總額y(k-

37、1)；(2) y(k-1)的月息y(k-1)； (3) 第k個月存入的款額f(k)。于是有y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)=(1+)y(k-1)+f(k)即y(k)-(1+)y(k-1)=f(k) (1.5-6) 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例 1.5-4 某養(yǎng)兔場每對異性兔子每月可繁殖一對新生兔(異性)，隔一個月后新生兔便具有生育能力。若開始養(yǎng)兔場有m對異性新生兔，第k個月從外地收購f(k)對異性新生兔，問k個月后養(yǎng)兔場的兔子對總數(shù)是多少? 設(shè)k個月后養(yǎng)兔場的兔子對總數(shù)為y(k)。因為在第k個月， 有y(k-2)對兔子具有生育能力，它們由原來的y(k-2)對變成2y(k

38、-2)對，其余的y(k-1)-y(k-2)對兔子沒有生育能力，再考慮外購新生兔f(k)對，故第k個月月末的兔子對總數(shù)為y(k)=2y(k-2)+y(k-1)-y(k-2)+f(k)即y(k)-y(k-1)-y(k-2)=f(k) (1.5-7)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 與連續(xù)系統(tǒng)類似，由n階差分方程描述的離散系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。當系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(即輸入輸出方程)為n階線性常系數(shù)差分方程時，寫成一般形式有 mjjniijkfbikya00)()(式中，a0=1。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.5.3 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 “狀態(tài)”：n階系統(tǒng)在tk時刻的狀態(tài)是指該時刻

39、系統(tǒng)必須具有的n個獨立數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)結(jié)合tk, t期間的輸入就能完全確定系統(tǒng)在t時刻相應(yīng)的輸出。 描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的一組獨立變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。如果系統(tǒng)具有n個狀態(tài)變量x1(t)，x2(t)，xn(t)，則可將它們看成是矢量x(t)的各個分量，稱x (t)為狀態(tài)矢量，并記為 tnntxtxtxtxtxtxtx)(,),(),()()()()(2121第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例 1.5-5 對于圖1.5-4所示的二階電路系統(tǒng)，由節(jié)點a寫出的方程(為了簡便，方程中略去了信號自變量t)為 lcslcciruuiiuci11對回路l寫出kvl方程 2sclluuilu)125 .

40、 1 (1111121sclslccululiurcicurcu第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例如，當選取i1、ul和ic作為系統(tǒng)輸出時，其表達式可寫成 11121111111slclcslcsclsccsuriuriruuiiiuuuururruui可以選擇uc(t)和il(t)作為該電路系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即 tlctitutx)()()(1.5-13)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 式(1.5-12)表示狀態(tài)變量一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和輸入間的關(guān)系， 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程狀態(tài)方程。 求解此方程，需要知道狀態(tài)變量的初始條件，通常稱狀態(tài)變量x (t)在初始觀察時刻t=0 時的值x (0)為系統(tǒng)的

41、初始狀態(tài)?？紤]到在輸入信號作用下，狀態(tài)變量值在t=0處可能發(fā)生跳變或出現(xiàn)沖激信號，為此，分別考察初始時刻前一瞬間t=0-和后一瞬間t=0+時的情況，相應(yīng)地稱x (0-)和x(0+)為0-初初始狀態(tài)始狀態(tài)和0+初始狀態(tài)初始狀態(tài)。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 設(shè)初始觀察時刻t0=0時，系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)是由歷史輸入和當前輸入共同決定的，而0-初始狀態(tài)x(0-)反映了歷史輸入對系統(tǒng)的全部作用效果，因此，也可將響應(yīng)y(t)看成是由當前輸入f(t)和0-初始狀態(tài)x(0-)共同決定的，可以表示為 )(),0()(tfxtty0t式中t表示系統(tǒng)對f(t)和x(0-)的傳輸和變換作用。 第 1 章 信號

42、與系統(tǒng)的基本概念 如果當前輸入信號接入時，系統(tǒng)的0-初始狀態(tài)為零(xi(0-)=0， i=1, 2, , n)， 即系統(tǒng)在0-時刻沒有儲能(有時稱這種系統(tǒng)為松弛系統(tǒng))，則系統(tǒng)的響應(yīng)僅由當前輸入信號確定。我們定義這時的響應(yīng)為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，記為yf(t)。即 )(0)0()(tfxttyf，0t 反之，如果系統(tǒng)沒有接入當前輸入信號，輸出響應(yīng)完全由0-初始狀態(tài)所引起，這時的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)ht5ss， 記為yx(t)。 即 0)(),0()(tfxttyx0t第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.5.4 系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的框圖表示 表 1.2 常用的系統(tǒng)基本運算單元 第 1

43、章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例 1.5-6 某連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出方程為y(t)+a1y(t)+a0y(t)=f(t)試畫出該系統(tǒng)的框圖表示。 解解 將輸入輸出方程改寫為 y(t)=f(t)-a1y(t)-a0y(t) （1.5-17）圖圖 1.5-5 式式(1.5-17)的系統(tǒng)框圖的系統(tǒng)框圖 y(t)(ty)(ty a1 a0f (t)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例 1.5-7 某連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出方程為 y(t)+a1y(t)+a0y(t)=b1f(t)+b0f(t) 試畫出該系統(tǒng)的框圖表示。 解解 該系統(tǒng)方程是一個一般的二階微分方程。方程中除含有輸入信號f(t)外，還包含有f(t)

44、的導(dǎo)函數(shù)。對于這類系統(tǒng)，可以通過引用輔助函數(shù)的方法畫出系統(tǒng)框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足 x(t)+a1x(t)+a0 x(t)=f(t) y(t)=b1x(t)+b0 x(t) (1.5-19)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.5-6 式(1.5-19)的系統(tǒng)框圖 y(t)(tx)(tx f (t) a1 a0b1b0 x(t)第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 如果已知系統(tǒng)的框圖表示，同樣可以采用輔助函數(shù)方法寫出系統(tǒng)的輸入輸出方程。以圖1.5-6所示的框圖為例，設(shè)右邊積分器的輸出為輔助函數(shù)x(t)，在兩個積分器的輸入端得到x(t)和x(t)， 再在兩個加法器的輸出端寫出兩個等效方程，即

45、 x(t)=f(t)-a1x(t)-a0 x(t) (1.5-22)y(t)=b1x(t)+b0 x(t) (1.5-23) 因系統(tǒng)是二階的，故輸入輸出方程應(yīng)包括y(t)、 y(t)項， 式(1.5-23)可得y(t)=b1x(t)+b0 x(t) (1.5-24) y(t)=b1x(3)(t)+b0 x(t)(1.5-25) 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 上式中的x(3)(t)表達式由式(1.5-22)求導(dǎo)函數(shù)得到， 即 x(3)(t)=f(t)-a1x(t)-a0 x(t)(1.5-26) 系統(tǒng)輸入輸出方程。具體過程是： 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 將上述結(jié)論推廣應(yīng)用于n階連續(xù)系

46、統(tǒng)。設(shè)n階系統(tǒng)輸入輸出方程為 fbfbfbfbyayayaymmmmnnn01)1(1)(01)1(1)(圖圖 1.5-7 n階系統(tǒng)框圖表示階系統(tǒng)框圖表示 yf a1 a0b1x xx an1x(n1)x(n)bmx(n)b0第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例1.5-8 某離散系統(tǒng)框圖如圖1.5 - 8所示。試寫出描述該系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的差分方程。 圖 1.5-8 二階離散系統(tǒng)框圖表示 ddy(t)f (k) a1 a0b1x (k)x(k1 )x(k2 ) b0第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 解解 系統(tǒng)框圖中有兩個移位器，故系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。采用與連續(xù)系統(tǒng)中由框圖列寫微分方程相類似的方法

47、，在左邊移位器的輸入端引入輔助函數(shù)x(k)，則該移位器的輸出為x(k-1)，右邊移位器的輸出為x(k-2)。 寫出左邊加法器的輸出 )2() 1()()(01kxakxakfkx)()2() 1()(01kfkxakxakx)2() 1()(01kxbkxbky第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.6 系統(tǒng)的特性和分類系統(tǒng)的特性和分類 1.6.1 線性特性線性特性 系統(tǒng)的基本作用是將輸入信號(激勵)經(jīng)過傳輸、變換或處理后，在系統(tǒng)的輸出端得到滿足要求的輸出信號(響應(yīng))。這一過程可表示為 f () y () 式中，y()表示系統(tǒng)在激勵f()單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)。信

48、號變量用圓點標記，代表連續(xù)時間變量t或離散序號變量k。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 如果系統(tǒng)的激勵f()數(shù)乘(為任意常數(shù))，其響應(yīng)y()也數(shù)乘，就稱該系統(tǒng)具有齊次性齊次性或均勻性均勻性。這一特性也可表述為 )()()()(ayafyf則系統(tǒng)具有齊次性。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 如果任意兩個激勵共同作用時，系統(tǒng)的響應(yīng)均等于每個激勵單獨作用時所產(chǎn)生的響應(yīng)之和，就稱系統(tǒng)具有疊加性疊加性?；虮硎鰹?)()()(),(),()(),()(21212211yyffyfyf 則系統(tǒng)具有疊加性。式中，f1()，f2()表示兩個激勵f1()、 f2()共同作用于系統(tǒng)。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基

49、本概念 如果系統(tǒng)同時具有齊次性和疊加性， 就稱系統(tǒng)具有線性特性。 或表述為 )()()(),(),()(),()(221122112211yayafafayfyf 式中，1、2為任意常數(shù)，則系統(tǒng)具有線性特性線性特性，表示系統(tǒng)響應(yīng)與激勵之間滿足線性關(guān)系。 一個系統(tǒng)，如果它滿足如下三個條件， 則稱之為線性系統(tǒng)，否則稱為非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 條件條件1 響應(yīng)y()可以分解為零輸入響應(yīng)yx()和零狀態(tài)響應(yīng)yf()之和， 即y()=yx()+yf() 這一結(jié)論稱為系統(tǒng)響應(yīng)的可分解性可分解性， 簡稱分解性分解性。通常也稱滿足分解性條件的響應(yīng)y()為完全響應(yīng)。 條件條件2

50、 零輸入線性, 即零輸入響應(yīng) yx() 與初始狀態(tài) x(0-) 或 x(0) 之間滿足線性特性。 條件條件3 零狀態(tài)線性，即零狀態(tài)響應(yīng)yf()與激勵f()之間滿足線性特性。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例 1.6-1 在下列系統(tǒng)中，f(t)為激勵，y(t)為響應(yīng)，x(0-)為初始狀態(tài)，試判定它們是否為線性系統(tǒng)。 (1) y(t)=x(0-)f(t)(2) y(t)=x(0-)2+f(t)(3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4) y(t)=af(t)+b 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 解解 由于系統(tǒng)(1)不滿足分解性； 系統(tǒng)(2)不滿足零輸入線性； 系統(tǒng)(3)不滿足零狀態(tài)

51、線性，故這三個系統(tǒng)都不是線性系統(tǒng)。 對于系統(tǒng)(4)， 如果直接觀察y(t)f(t)關(guān)系，似乎系統(tǒng)既不滿足齊次性，也不滿足疊加性，應(yīng)屬非線性系統(tǒng)。但是考慮到令f(t)=0時，系統(tǒng)響應(yīng)為常數(shù)b, 若把它看成是由初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)時，系統(tǒng)仍是滿足線性系統(tǒng)條件的， 故系統(tǒng)(4)是線性系統(tǒng)。通常，以線性微分(差分)方程作為輸入輸出描述方程的系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)，而以非線性微分(差分)方程作為輸入輸出描述方程的系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 1.6.2 時不變特性時不變特性 參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)定常系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)時變系統(tǒng)。 一個時不變

52、系統(tǒng)，由于參數(shù)不隨時間變化，故系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系也不會隨時間變化。如果激勵f()作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為yf()，那么，當激勵延遲td(或kd)接入時，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲相同的時間，且響應(yīng)的波形形狀保持相同。也就是說， 一個時不變系統(tǒng)，若 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 )()()()()()(dfddfdfkkykkfttyttfyf則對連續(xù)系統(tǒng)有 對離散系統(tǒng)有系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時不變特性。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 圖 1.6-1 系統(tǒng)的時不變特性 ot1tf (t)otd t1tf (t td)td時不變系統(tǒng)otyf(t)otyf(t td)td第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 例例 1.6-2 試判斷以下系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)。 (1) yf(t)=acosf(t) t0 (2) yf(t)=f(2t) t0 輸入輸出方程中f(t)和yf(t)分別表示系統(tǒng)的激勵和零狀態(tài)響應(yīng)，a為常數(shù)。 第 1 章 信號與系統(tǒng)的基本概念 解解 (1) 已知設(shè) )()()(cos)(cos)()()()(cos)()(1111dffdfdfttytyttfatfat