自動(dòng)控制原理 線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)

1、第第2 2章章 線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在下，線(xiàn)性定常系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比，定義為線(xiàn)性定常系統(tǒng)的。 即：)()()(sRsCsG若已知線(xiàn)性定常系統(tǒng)的微分方程為： )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量 。 ，對(duì)上式取拉氏變換，得： )()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG1

2、1101110)()()()()()()()(sNsMsRsCsG或?qū)憺椋?傳遞函數(shù)與輸入、輸出之間的關(guān)系，可用框圖表示。 G(s)R(s)C(s) (1)作為一種數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)只適用于線(xiàn)性只適用于線(xiàn)性定常系統(tǒng)定常系統(tǒng)，這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線(xiàn)性積分運(yùn)算拉氏變換是一種線(xiàn)性積分運(yùn)算。 (2)傳遞函數(shù)是以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線(xiàn)性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式，它表達(dá)了系表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有參數(shù)有關(guān)關(guān)，而與輸入量或輸入函數(shù)的形式無(wú)關(guān)。 (3)傳遞函數(shù)可以是無(wú)量綱的，也可以是有量綱的，傳遞函數(shù)可以是無(wú)量綱的

3、，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，它不能表明系統(tǒng)的物理特不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結(jié)構(gòu)性和物理結(jié)構(gòu)。(4)傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)之間的關(guān)之間的關(guān)系，對(duì)多輸入多輸出系，對(duì)多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)陣表示陣表示。 (5)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次大于或等于分子大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，即多項(xiàng)式的階次，即nm。這是由于實(shí)際這是由于實(shí)際所造成的。系數(shù)為實(shí)數(shù)。所造成的。系數(shù)為實(shí)數(shù)。 7/47(6)傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。

4、把微分方程中的 用s代替就可以得到對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。dtd(7)傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)。(8)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式稱(chēng)為特征多項(xiàng)式，記為而D(s)=0稱(chēng)為。nnnnasasasasD1110)(9)傳遞函數(shù)式可表示成 )()()()()(2121nmpspspszszszsKgsG式中p1，p2pn為分母多項(xiàng)式的根，稱(chēng)為傳遞函數(shù)的；z1、z2、 zn為分子多項(xiàng)式的根，稱(chēng)為傳遞函數(shù)的； Kg稱(chēng)為傳遞系傳遞系數(shù)或增益數(shù)或增益。9/47某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： )2)(1() 3(6)()()(ssssRsCsG有兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)：p1=-1, p2=-2, z1=-3有兩個(gè)模態(tài)：e

5、-t和e-2t在輸入信號(hào)為 時(shí)，系統(tǒng)的零初始條件響應(yīng)為： terrtr521)(ttterrerrerrsGsRLtc521125211)23()123(9)()()( 控制系統(tǒng)由許多元件組合而成，這些元件的物理結(jié)構(gòu)和作用原理是多種多樣的，但拋開(kāi)具體結(jié)構(gòu)和物理特點(diǎn)，從傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)看，可以劃分成幾種典型環(huán)節(jié)，常用的典型環(huán)節(jié)有、等。 環(huán)節(jié)輸出量與輸入量成正比，不失真也無(wú)時(shí)間滯后的環(huán)節(jié)稱(chēng)為，也稱(chēng)。輸入量與輸出量之間的表達(dá)式為：c(t)=Kr(t) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為： KsRsCsG)()()(式中K為常數(shù)，稱(chēng)為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。 2. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)(非周期環(huán)節(jié)非周期環(huán)節(jié)) 慣

6、性環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程是一個(gè)一階微分方程： )()()(tKrtcdttdcT其傳遞函數(shù)為： 1)()()(TsKsRsCsG式中 T 慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) K 慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù) 當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，其單位階躍響應(yīng)為： )1 (11)()(11TteKsTsKLsCLtc單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 慣性環(huán)節(jié)實(shí)例很多，如圖所示的R-L網(wǎng)絡(luò)，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，其傳遞函數(shù)式中 RLT RK13. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的積分的環(huán)節(jié)稱(chēng)為積分環(huán)節(jié)，其動(dòng)態(tài)特性方程： dttrTtcti0)(1)(其傳遞函數(shù)： sTsRsCsGi

7、1)()()(式中Ti為積分時(shí)間常數(shù)為積分時(shí)間常數(shù)。 積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為： tTtCi1)(它隨時(shí)間直線(xiàn)增長(zhǎng)，當(dāng)輸入突然消失，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，如圖所示。 上圖為運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)，輸入ui(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數(shù)為 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中Ti = RC 4. 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié)的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動(dòng)態(tài)方程 dttdrTtcd)()(其傳遞函數(shù) sTsRsCsGd)()()(式中 它的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn) )()(tTtcd如圖所示，理想微分環(huán)節(jié)實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)，因此我們常采用帶有慣性的微分環(huán)節(jié)，

8、其傳遞函數(shù) 1)(sTsKTsGdd其單位階躍響應(yīng)為 dTtKetc)( 曲線(xiàn)如下圖所示，實(shí)際微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律下降，若K值很大而Td值很小時(shí)，實(shí)際微分環(huán)節(jié)就愈接近于理想微分環(huán)節(jié)。 5. 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)(二階慣性環(huán)節(jié)二階慣性環(huán)節(jié)) 二階振蕩環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為 ：)()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdT其傳遞函數(shù)： 12)()()(22TssTKsRsCsG2222)(nnnssKsG式中 為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率，為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率，為阻尼比為阻尼比。 Tn1 圖中所示為RLC網(wǎng)絡(luò)，輸入為ui(t)、輸出u0(t)，其動(dòng)態(tài)特性方程： )()()()(00

9、202tutudttduRCdttudLCi其傳遞函數(shù)： 222022 11)()()(nninssRCsLCstUtUsG式中 LCn1LCR26. 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)(時(shí)滯環(huán)節(jié)時(shí)滯環(huán)節(jié)) 延遲環(huán)節(jié)是輸入信號(hào)加入后，輸出信號(hào)要延遲一段時(shí)間后才重現(xiàn)輸入信號(hào)，其動(dòng)態(tài)方程為： )()(trtc其傳遞函數(shù)是一個(gè)超越函數(shù)超越函數(shù)： sesRsCsG)()()(式中稱(chēng)純延遲時(shí)間稱(chēng)純延遲時(shí)間。 需要指出，在實(shí)際生產(chǎn)中，有很多場(chǎng)合是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過(guò)程、管道反應(yīng)和管道混合過(guò)程，多個(gè)設(shè)備串聯(lián)以及測(cè)量裝置系統(tǒng)等。遲延過(guò)大往往會(huì)使控制效果惡化，甚至使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。 在控制工程中，為了便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析

10、和設(shè)計(jì)，常將各元件在系統(tǒng)中的功能及各部分之間的聯(lián)系用圖形來(lái)表示，即和。 方框圖方框圖也稱(chēng)方塊圖方塊圖或結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖，具有形象和直觀(guān)的特點(diǎn)。是系統(tǒng)中各元件功能和信號(hào)流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系。構(gòu)成方框圖的基本符號(hào)有四種，即、。 2.4.22.4.2系統(tǒng)方框圖的繪制系統(tǒng)方框圖的繪制 對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)在清楚系統(tǒng)工作原理及信號(hào)傳遞情況下，可按方框圖的基本連接形式，把各個(gè)環(huán)節(jié)的方框圖，連接成系統(tǒng)方框圖。 例2-5 圖中為一無(wú)源RC網(wǎng)絡(luò)。選取變量如圖所示，根據(jù)電路定律，寫(xiě)出其微分方程組為 dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()(

11、)()()()()()()(22231021322021011)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI零初始條件取拉氏變換 RC網(wǎng)絡(luò)方框圖 各環(huán)節(jié)方框圖 例2-6 圖中為電樞電壓控制的直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī),描述其運(yùn)動(dòng)方程為 LDaMDeaaaaaaadtdJtictctetetiRdttdiLtuMMM)()()()()()()(零初始條件下，對(duì)式中兩邊取拉氏變換 )()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME 將同

12、一變量的信號(hào)線(xiàn)連接起來(lái)，將輸入U(xiǎn)a(s)放在左端，輸出(s)放在圖形右端，得系統(tǒng)方框圖如圖所示。 2.4.3 2.4.3 環(huán)節(jié)間的連接環(huán)節(jié)間的連接 環(huán)節(jié)的連接有環(huán)節(jié)的連接有串聯(lián)串聯(lián)、并聯(lián)并聯(lián)和和反饋反饋三種基本形式三種基本形式。 （1）串聯(lián)）串聯(lián) :在單向的信號(hào)傳遞中，若前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出就是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，并依次串接如圖2-32所示，這種聯(lián)接方式稱(chēng)為串聯(lián)串聯(lián)。 n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù) :)()()( )()()()()()()()()(211121sGsGsGsXsCsXsXsRsXsRsCsGnn環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于串聯(lián)的各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。 環(huán)節(jié)的串聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò)（2）并聯(lián)并聯(lián)

13、 :若各個(gè)環(huán)節(jié)接受同一輸入信號(hào)而輸出信號(hào)又匯合在一點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)為并聯(lián)。如圖2-34所示。由圖可知 )()()()(21sCsCsCsCn)()()( )()()()()()(2211sRsGsCsRsGsCsRsGsCnn總的傳遞函數(shù)為 )()()( )()()()()()()(2121sGsGsGsRsCsCsCsRsCsGnn環(huán)節(jié)的并聯(lián)：若將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)反饋到輸入端，與輸入信號(hào)相比較，就構(gòu)成了反饋連接，如圖所示。如果反饋信號(hào)與給定信號(hào)極性相反，則稱(chēng)連接。反之，則為正反饋連接，若反饋環(huán)節(jié)H(s)=1稱(chēng)為。 反饋連接 反饋連接后，信號(hào)的傳遞形成了閉合回路。通常把由信號(hào)輸入點(diǎn)到信號(hào)輸出點(diǎn)的通

14、道稱(chēng)為前向通道前向通道；把輸出信號(hào)反饋到輸入點(diǎn)的通道稱(chēng)為反饋通道反饋通道。 對(duì)于負(fù)反饋連接，給定信號(hào)r(t)和反饋信號(hào)b(t)之差，稱(chēng)為偏差信號(hào)偏差信號(hào)e(t) 即: )()()()()()(sBsRsEtbtrte通常將反饋信號(hào)B(s)與誤差信號(hào)E(s)之比，定義為，即: 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)= )()()()(sHsGsEsB輸出信號(hào)C(s)與偏差信號(hào)E(s)之比，稱(chēng)為前向通前向通道傳遞函數(shù)道傳遞函數(shù)，即 前向通道傳遞函數(shù) = )()()(sGsEsC而系統(tǒng)輸出信號(hào)C(s)與輸入信號(hào)R(s)之比稱(chēng)為閉閉環(huán)傳遞函數(shù)環(huán)傳遞函數(shù)，記為(s)或GB(s)。 )()()()()()()()()(sCsHsR

15、sBsRsEsEsGsC得閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs對(duì)于負(fù)反饋連接，閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs對(duì)于正反饋連接，則閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 除了前面介紹的串聯(lián)串聯(lián)、并聯(lián)并聯(lián)和反饋連接反饋連接可以簡(jiǎn)化為一個(gè)等效環(huán)節(jié)外，還有信號(hào)引出點(diǎn)信號(hào)引出點(diǎn)及比較比較點(diǎn)前后移動(dòng)點(diǎn)前后移動(dòng)的規(guī)則。 有了系統(tǒng)的方框圖以后，為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步的分析研究，需要對(duì)方框圖作一定的變換，以便求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。所謂，即對(duì)方框圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前、后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系式應(yīng)保持不變。例例2-7化簡(jiǎn)圖(a)所示系統(tǒng)方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù) )()()(sRsCsG)()(