315空間向量運算的坐標表示

1、空間向量運算的空間向量運算的 坐標表示坐標表示復習回顧：復習回顧：平面向量運算的坐標表示：平面向量運算的坐標表示：1212( ,),( ,),aa abb b設則1122(,)abab ab1122(,);abab ab12(,),();aaaR1 122; a ba ba b1 22 1/0,aba ba b1 1220.aba ba b2212|,aaa1 12222221212cos, a ba ba ba ba baabb11222121(,), (,),(,).A xyB xyABxxyy 設則空間向量運算的坐標表示：空間向量運算的坐標表示：類標運對間結似似于于平平面面向向量量的的坐

2、坐算算,空,空向向量量有有如如下下果果：112233(,);abab ab ab123123(,),( ,),aa a abb b b設則123(,),();aaaaR1 12233. a ba ba ba b112233(,)abab ab ab證明如下：證明如下：證明：證明：123123(,),( ,),aa a abb b b因為所以有, ,i j k 設為單位正交基底，123123,aa ia ja kbb ib jb k112233()()()abab iabjab k112233(,)ab ab ab123123(,).aa ia ja kaaa1,0,i ij jk ki jj

3、ki k 123123() ().a ba ia ja kb ib jb k 空間向量運算的坐標表示：空間向量運算的坐標表示：類標還似似于于平平面面向向量量的的坐坐表表示示,可,可以以得得到到：1122333121 23123/,();(0)ababababRaaabb bbbb123123(,),( ,),aa a abb b b設則1 122330;aba ba ba b1 12 23 3222222123123cos, aba ba ba ba ba baaabbb222123| aa aaaa ；空間向量運算的坐標表示：空間向量運算的坐標表示：111222(,),(,),A abcB

4、abc設則212121(,),ABaabb cc 222212121|()()()ABdABaabbcc 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標起點的坐標. .F1E1C1B1A1D1DABCyzxO11(1,1,0),(1,3/4,1), (0,0,0),(0,1/4,1).BEDF1(1,3/4,1)(1,1,0)(0, 1/4,1), BE111111111111,ABCDABC DE FAB C DBE DF如圖,在正方體中,點分別是的一個四等分點,求,所成角的余弦值.例例1

5、 1. .1,.DA DC DDOxyz 設正方體的棱長為1,分別以為 單位正交基底建立空間直角坐標系則解解: :1(0,1/4,1) (0,0,0) (0,1/4,1) . DF1111150 0()1 1,4416 BEDFA AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 1111111111111,.ABCDABC DE FABC DBE DF如圖,在正方體 中，點分別是和的 一個四等分點,求所成角 例1的余弦值11(4,4,0),(4,3,4),(0,1,4),BEF解：如圖所示建立空間直角坐標系, 設正方體的棱長為4,則11(0,1, 4)

6、,(0,1,4),E BDF 111111,0 1 1615cos,17|1717E B DFE B DFE BDF 1115,17BE DF異面直線所成角的余弦值為.1517(注意:不是)x xy yz zo oB1A1D1C1ABCDzy11111111,ABCDABC DE FBB D BEFDA如圖,正方體中,點分別是的中點,求證.例例2.2.xOF FE E1,.DA DC DDOxyz 證 設正方體的棱長為1,分別以為 單位正交基底建立空間直角坐標系則: :11 1(1,1, ),( ,1),22 2EF11 1(, )22 2EF 1(1,0,1),(0,0,0),AD又1110

7、,22EF DA 1,.EFDAEFDA 即1(1,0,1)DA 課堂練習：課堂練習：1.1.課本課本P97P97第第1-31-3題題(3,3,1), (1, 0,5)ABABAB已知點，求線段的中點坐標和線段的長2.2.(3,3,1), (1, 0,5)( , ),ABP x y zx y z求到兩點距離相等的點的坐標滿足的條件3.3.3(2,3)2中：點答案坐標為，PAPB由|=|解:|,得222222(3)(3)(1)(1)(0)(5)xyzxyz，46870 xyz化簡得：這就是所求的條件.29AB|=112233(,);abab ab ab123123(,),( ,),aa a abb b b1.設則123(,),();aaaaR1 12233. a ba ba ba b112233(,)abab ab ab課堂小結：課堂小結：1122333121 23123/,();(0)ababababRaaabb bbbb1 12 23 3222222123123cos, aba ba ba ba ba baaabbb222123| aa aaaa ；2