原碼,反碼,補碼及運算

1、原碼，反碼，補碼及運算 一、定義 1原碼 正數(shù)的符號位為 0，負數(shù)的符號位為 1，其它位按照一般的方法來表示數(shù)的絕對值。用這樣的表示方 法得到的就是數(shù)的原碼。 【例 2.13】當(dāng)機器字長為 8 位二進制數(shù)時： 原碼表示的整數(shù)范圍是： （ 2n-1 1 ） （ 2n-1 1 ），其中 n 為機器字長。 則：8位二進制原碼表示的整數(shù)范圍是 127127 16 位二進制原碼表示的整數(shù)范圍是 3276732767 2反碼 對于一個帶符號的數(shù)來說，正數(shù)的反碼與其原碼相同，負數(shù)的反碼為其原碼除符號位以外的各位按位 取反。 【例 2.1 4】當(dāng)機器字長為 8位二進制數(shù)時： X = + 1011011 兇 原

2、碼=01011011 X反碼=01011011 Y = 1011011 Y原碼=11011011 Y反碼=10100100 1反碼= 00000001 1反碼= 11111110 127反碼= 01111111 127反碼= 10000000 負數(shù)的反碼與負數(shù)的原碼有很大的區(qū)別，反碼通常用作求補碼過程中的中間形式。 反碼表 示的整數(shù)范圍與原碼相同。 3補碼 正數(shù)的補碼與其原碼相同，負數(shù)的補碼為其反碼在最低位加 1 。 引入補碼以后，計算機中的加減運算都可以統(tǒng)一化為補碼的加法運算，其符號位也參與運算。 【例 2.15】（1）X=1011011 （2） Y= 1011011 （ 1 ）根據(jù)定義有：

3、 X 原碼= 01011011 X 補碼= 01011011 （2） 根據(jù)定義有： Y 原碼= 11011011 Y 反碼= 10100100 Y 補碼= 10100101 補碼表示的整數(shù)范圍是 2n-1（ 2n-1 1 ），其中 n 為機器字長。 則：8位二進制補碼表示的整數(shù)范圍是 128127（-128 表示為 10000000，無對應(yīng)的原碼和反碼） 16 位二進制補碼表示的整數(shù)范圍是 32768 32767 當(dāng)運算結(jié)果超出這個范圍時，就不能正確表示數(shù)了，此時稱為溢出。 所以補碼的設(shè)計目的是 : 使符號位能與有效值部分一起參加運算 ,從而簡化運算規(guī)則 . 使減法運算轉(zhuǎn)換為加法運算 ,進一步

4、簡化計算機中運算器的線路設(shè)計 4補碼與真值之間的轉(zhuǎn)換 正數(shù)補碼的真值等于補碼的本身；負數(shù)補碼轉(zhuǎn)換為其真值時，將負數(shù)補碼按位求反，末位加 1 ，即可 得到該負數(shù)補碼對應(yīng)的真值的絕對值。 【例2.16兇補碼=01011001B, X補碼=11011001B，分別求其真值 X。 X = + 1011011 Y = + 1011011 + 1原碼=00000001 + 127原碼=01111111 X原碼=01011011 Y原碼=11011011 1原碼= 10000001 127原碼= 11111111 1 ) X 補碼代表的數(shù)是正數(shù)，其真值： X = + 1011001B =+( 1X 26+

5、1X 24+ 1X 23 + 1X 20) =+( 64 + 16+ 8 + 1) =+( 89) D 2) X 補碼代表的數(shù)是負數(shù)，則真值： X = ( 1011001求反+ 1) B =(0100110+ 1) B =(0100111) B =(1X 25+ 1 X 22+ 1X 21 + 1X 20) =(32 + 4+ 2+ 1) =(39) D 二、補碼加、減運算規(guī)則 1 、運算規(guī)則 X + Y補=兇補+ Y補 X Y補=兇補+ Y補 若已知Y補，求Y補的方法是：將Y補的各位(包括符號位)逐位取反再在最低位加 1即可。 例如：Y補=101101 Y補=010011 2、溢出判斷，一般

6、用雙符號位進行判斷： 符號位 00 表示正數(shù) 11 表示負數(shù) 結(jié)果的符號位為 01 時，稱為上溢；為 10時，稱為下溢 例題：設(shè)x=0.1101 , y= 0.0111，符號位為雙符號位 用補碼求 x+y， x y x補 +y補=00 1101+11 100仁00 0110 x y補=x補 + y補=00 1101+00 011 仁01 0100 結(jié)果錯誤，正溢出 數(shù)值在計算機中表示形式為機器數(shù) ,計算機只能識別 0 和 1,使用的是二進制 ,而在日常生活中人們使用的是十進制 . 數(shù)值有正負之分 ,計算機就用一個數(shù)的最高位存放符號 (0 為正,1 為負).這就是機器數(shù)的原碼了 .假設(shè)機器能處理

7、的位數(shù)為 8.即 字長為 1byte,原碼能表示數(shù)值的范圍為 (-127-0 +0127) 共 256 個 . 有了數(shù)值的表示方法就可以對數(shù)進行算術(shù)運算 .但是很快就發(fā)現(xiàn)用帶符號位的原碼進行乘除運算時結(jié)果正確 ,而在加減運算的 時候就出現(xiàn)了問題 , 如下 : 假設(shè)字長為 8bits ( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10 (00000001) 原 + ( 1 000000 1 )原 = ( 1 00000 1 0)原 = ( -2 ) 顯然不正確 因為在兩個整數(shù)的加法運算中是沒有問題的 , 于是就發(fā)現(xiàn)問題出現(xiàn)在帶符號位的負數(shù)身上 , 對

8、除符號位外的其余各位逐位取反 就產(chǎn)生了反碼 .反碼的取值空間和原碼相同且一一對應(yīng) . 下面是反碼的減法運算 : ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10 (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題 . ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10 (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確 問題出現(xiàn)在 (+0)和(-0)上 ,在人們的計算概念中零是沒有正負之分的 .(

9、印度人首先將零作為標記并放入運算之中 ,包含有零號的 印度數(shù)學(xué)和十進制計數(shù)對人類文明的貢獻極大 ). 于是就引入了補碼概念 . 負數(shù)的補碼就是對反碼加一 ,而正數(shù)不變 ,正數(shù)的原碼反碼補碼是一樣的 .在補碼中用 (-128) 代替了 (-0), 所以補碼的表示范圍為 : (-1280127)共 256 個. 注意:(-128)沒有相對應(yīng)的原碼和反碼 , (-128) = (10000000) 補碼的加減運算如下 : ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10 (00000001)補 + (11111111)補 = (00000000)補 =

10、 ( 0 ) 正確 ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10 (00000001) 補+ (11111110) 補= (11111111)補 = ( -1 ) 正確 所以補碼的設(shè)計目的是 : 使符號位能與有效值部分一起參加運算 ,從而簡化運算規(guī)則 . 使減法運算轉(zhuǎn)換為加法運算 ,進一步簡化計算機中運算器的線路設(shè)計 所有這些轉(zhuǎn)換都是在計算機的最底層進行的， 而在我們使用的匯編、 C 等其他高級語言中使用的都是原碼。 看了上面這些你 應(yīng)該對原碼、反碼、補碼有了新的認識了吧 在計算機內(nèi)，定點數(shù)有 3 種表示法：原碼、反碼和補碼 所謂原碼就是前面

11、所介紹的二進制定點表示法，即最高位為符號位， “ 0”表示正，“1”表示負，其余位表 示數(shù)值的大小。 反碼表示法規(guī)定：正數(shù)的反碼與其原碼相同；負數(shù)的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。 補碼表示法規(guī)定：正數(shù)的補碼與其原碼相同；負數(shù)的補碼是在其反碼的末位加 1、原碼、反碼和補碼的表示方法 （1） 原碼： 在數(shù)值前直接加一符號位的表示法 例如： 符 號位 數(shù)值位 +7 原= 0 0000111 B 1。 -7原= 1 0000111 B 注意： a. 數(shù) 0 的原碼有兩種形式： +0原=00000000B -0原=10000000B b. 8位二進制原碼的表示范圍： -127+ 127 （2）

12、反碼： 正數(shù)：正數(shù)的反碼與原碼相同。 負數(shù)：負數(shù)的反碼，符號位為“ 1”，數(shù)值部分按位取反。 例如： 符號位 數(shù)值位 +7反= 0 0000111 B -7反= 1 1111000 B 注意： a. 數(shù) 0 的反碼也有兩種形式，即 +0反=00000000B -0反=11111111B b. 8位二進制反碼的表示范圍： -127+127 （3） 補碼的表示方法 1）模的概念：把一個計量單位稱之為?；蚰?shù)。例如，時鐘是以 12 進制進行計數(shù)循環(huán)的，即以 12為模。 在時鐘上，時針加上（正撥） 12的整數(shù)位或減去（反撥） 12 的整數(shù)位，時針的位置不變。 14點鐘在舍去 模 12 后，成為（下午）

13、 2 點鐘（14=14-12=2）。從 0 點出發(fā)逆時針撥 1 0格即減去 1 0小時，也可看成從 0 點出發(fā)順時針撥 2格（加上 2小時），即 2點（0-10=-10=-10+12=2 ）。因此，在模 12的前提下， -10可映射 為+ 2 。由此可見，對于一個模數(shù)為 12 的循環(huán)系統(tǒng)來說，加 2 和減 10的效果是一樣的；因此，在以 12為模的系統(tǒng)中，凡是減 10 的運算都可以用加 2 來代替，這就把減法問題轉(zhuǎn)化成加法問題了（注：計算機的 硬件結(jié)構(gòu)中只有加法器，所以大部分的運算都必須最終轉(zhuǎn)換為加法） 同理，計算機的運算部件與寄存器都有一定字長的限制（假設(shè)字長為 當(dāng)計數(shù)器計滿 8 位也就是

14、256 個數(shù)后會產(chǎn)生溢出， 又從頭開始計數(shù)。 8 位二進制數(shù)，它的模數(shù)為 28=256 。在計算中，兩個互補的數(shù)稱為“補碼” 2）補碼的表示： 正數(shù)：正數(shù)的補碼和原碼相同。 負數(shù)：負數(shù)的補碼則是符號位為“ 1”，數(shù)值部分按位取反后再在末位（最低位）加 1。也就是“反碼 +1”。 例如： 符號位 數(shù)值位 +7 補= 0 0000111 B -7 補= 1 1111001 B 補碼在微型機中是一種重要的編碼形式，請注意： a. 采用補碼后，可以方便地將減法運算轉(zhuǎn)化成加法運算，運算過程得到簡化。正數(shù)的補碼即 是它所表示的數(shù)的真值，而負數(shù)的補碼的數(shù)值部份卻不是它所表示的數(shù)的真值。采用補碼進行運算，所得

15、 結(jié)果仍為補碼。 b. 與原碼、反碼不同，數(shù)值 0的補碼只有一個，即 0補=00000000B。 c. 若字長為8位，則補碼所表示的范圍為-128+127 ;進行補碼運算時，應(yīng)注意所得結(jié)果不 應(yīng)超過補碼所能表示數(shù)的范圍。 2原碼、反碼和補碼之間的轉(zhuǎn)換 由于正數(shù)的原碼、補碼、反碼表示方法均相同，不需轉(zhuǎn)換。 在此，僅以負數(shù)情況分析。 （1） 已知原碼，求補碼。 例：已知某數(shù) X的原碼為10110100B，試求X的補碼和反碼。 解：由X原=10110100B知，X為負數(shù)。求其反碼時，符號位不變，數(shù)值部分按位求反；求其補碼時，再 在其反碼的末位加 1。10 和 2對模 12 而言互為補數(shù)。 8），因此

16、它的運算也是一種模運算。 產(chǎn)生溢出的量就是計數(shù)器的模， 顯然， 1 0 1 1 0 1 0 0 原碼 反碼，符號位不變，數(shù)值位取反 +1 補碼 兇補=11001100B,兇反=11001011B。 分析：按照求負數(shù)補碼的逆過程，數(shù)值部分應(yīng)是最低位減 1，然后取反。但是對二進制數(shù)來說，先減 取反和先取反后加 1 得到的結(jié)果是一樣的，故仍可采用取反加 1 有方法。 例：已知某數(shù) X的補碼11101110B,試求其原碼。 解：由X補=11101110B知，X為負數(shù)。求其原碼表示時，符號位不變，數(shù)值部分按位求反，再在末位加 1。 1 1 1 0 1 1 1 0 補碼 符號位不變，數(shù)值位取反 1 +1

17、原碼 132 有符號數(shù)運算時的溢出問題 請大家來做兩個題目： 兩正數(shù)相加怎么變成了負數(shù)？ 1 ）（ +72）+（+98） =？ 0 1 0 0 1 0 0 0 B +72 + 0 1 1 0 0 0 1 0 B +98 -42故： 2） 已知補碼，求原碼。 1后 -80 兩負數(shù)相加怎么會得出正數(shù)？ 2）（-83） +（-80）=？ -83 +93 思考：這兩個題目，按照正常的法則來運算，但結(jié)果顯然不正確，這是怎么回事呢？ 答案：這是因為發(fā)生了溢出。 如果計算機的字長為 n位，n位二進制數(shù)的最高位為符號位，其余 n-1位為數(shù)值位，采用補碼表示法時, 可表示的數(shù) X的范圍是 -2n-1 X 0，則

18、符號位為0，其余照抄； X0, 符號位為 0,其余照抄； 若X 0, 符號位為 0,其余照抄； 若X 0，符號位為 1 ,其余取反后,最低位加 1。 【例 5】X=+1001001 X 補 = 01001001 【例 6】X=-1001001 X 補 10110111 四、補碼加減法 計算機中實際上只有加法，減法運算轉(zhuǎn)換成加法運算進行，乘法運算轉(zhuǎn)換成加法運算進行，除法運算 轉(zhuǎn)換成減法運算進行。用補碼可以很方便的進行這種運算。 1、補碼加法 X+Y 補 = X 補 + Y 補 【例 7】X=+0110011,Y=-0101001 ，求 X+Y 補 X 補 =00110011 Y 補=110101

19、11 X+Y 補 = X 補 + Y 補 = 00110011+11010111=00001010 注：因為計算機中運算器的位長是固定的，上述運算中產(chǎn)生的最高位進位將丟掉，所以結(jié)果不是 100001010，而是 00001010 。 2、補碼減法 X-Y補=兇補-Y補=兇補+ -Y補 其中-Y補稱為負補，求負補的方法是：對補碼的每一位(包括符號位)求反，最后末位加“ 1 【例 8】X=+0111001,Y=+1001101 ，求 X-Y 補 X補=00111001 Y補=01001101 -Y補 =10110011 X-Y 補 = X 補 + -Y 補 = 00111001+10110011=1110