新 第四章向量組的線性相關性ppt課件

1、第四章 向量組的線性相關性 4.1 n維向量 一一 定義定義1 n個有次序的數(shù)個有次序的數(shù) 所組成的數(shù)組稱所組成的數(shù)組稱為為n維向量，這維向量，這n個數(shù)稱為該向量的個數(shù)稱為該向量的n個分量，第個分量，第i個數(shù)個數(shù)ai稱為稱為第第i個分量。個分量。 分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量為復數(shù)的向量稱分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量為復數(shù)的向量稱為復向量。以下除特殊闡明外，普通只討論實向量。為復向量。以下除特殊闡明外，普通只討論實向量。 n維向量可寫成一行，也可寫成一列。按第二章的規(guī)定，維向量可寫成一行，也可寫成一列。按第二章的規(guī)定，分別稱為行向量和列向量，也就是行矩陣和列矩陣，并規(guī)分別稱為行向量

2、和列向量，也就是行矩陣和列矩陣，并規(guī)定行向量與列向量都按矩陣的運算規(guī)那么進展運算。因此，定行向量與列向量都按矩陣的運算規(guī)那么進展運算。因此，n維列向量維列向量 與與n維行向量維行向量 總看作是總看作是兩個不同的向量按定義兩個不同的向量按定義1， 與與 應是同一個向量。應是同一個向量。naaa,2112n12TnT 4.1 n維向量 列向量用小寫字母 等表示, 行向量那么用等表示，所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時，都當作列向量。 在解析幾何中，我們把“既有大小又有方向的量叫做向量，并把可隨意平行挪動的有向線段作為向量的幾何籠統(tǒng)，在引進坐標系以后，這種向量就有了坐標表示式三個有次序的實數(shù)

3、，也就是3維向量，因此當 時, n維向量可以把有向線段作為幾何籠統(tǒng)，但當 時，n維向量就不再有這種幾何籠統(tǒng)，只是沿用一些幾何術語罷了。二 n維向量的線性運算三 n維向量的線性運算滿足的性質、 、TTT、 、3n3n 4.2 n維向量組的概念 假設干個同維數(shù)的列向量或同維數(shù)的行向量所組成的集合叫做向量組。例如一個 矩陣 有n個m維列向量它們組成的向量組 稱為矩陣A的列向量組。 矩陣A又有m個n維行向量它們組成的向量組 稱為矩陣A的行向量組nm)(ijaA naaa,21nmTmTTaaa,2112(,), (1,2,)Tiiiinaaaim12, (1,2, )jjjmjaajna4.2 n維向

4、量組的概念 反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣。例如 m個n維列向量所組成的向量組 構成一個 矩陣m個n維行向量所組成的向量組 構成一個 矩陣 可見矩陣與向量組是一一對應的關系。12,m mn12,mA TmTT,21nmTmTTB214.3 線性組合的概念定義定義2 給定向量組給定向量組A： ，對于任何一組實數(shù)，對于任何一組實數(shù) ，向量，向量稱為向量組稱為向量組A的一個線性組合，的一個線性組合， 稱為這個線性組合稱為這個線性組合的系數(shù)。的系數(shù)。給定向量組給定向量組A： 和向量和向量 ,假設存在一組數(shù)假設存在一組數(shù)，使，使那么向量那么向量 是向量組是向量組A的線性組合，這時稱向量

5、的線性組合，這時稱向量 能由向量能由向量組組A線性表示。線性表示。maaa,21mkkk,21mmakakak2211mkkk,21maaa,21m,211 122mmaaa4.4 向量組等價的概念定義定義3 設有兩個向量組設有兩個向量組A： 及及B： ，假設，假設B組中的每個向量都能由向量組組中的每個向量都能由向量組A線性表示，那么稱向量線性表示，那么稱向量組組B能由向量組能由向量組A線性表示，假設向量組線性表示，假設向量組A與向量組與向量組B能相能相互線性表示，那么稱這兩個向量組等價?；ゾ€性表示，那么稱這兩個向量組等價。 A： B： A組由組由B組線性表示組線性表示 即即 *12,r 12

6、,s r,21s,21ssrrrsssskkkkkkkkk2211122221122122111114.4 向量組等價的概念 矩陣乘法方式表示即 A=KBA組由B組線性表示*為列向量組構成矩陣算法方式，*也可寫成行向量組構成矩陣算法方式 假設A組與B組等價，這里矩陣K可逆 B=K-1A B組由A組線性表示即 A=KB而 B=K-1A, A組與B組等價。4.5 向量組的相關性定義定義4 給定向量組給定向量組A： ，假設存在不全為零的，假設存在不全為零的數(shù)數(shù) ，使，使那么稱向量組那么稱向量組A是線性相關的，否那么稱它線性無關。是線性相關的，否那么稱它線性無關。 向量組向量組A： 線性相關，也就是在

7、向量組線性相關，也就是在向量組A中至少有一個向量能由其他中至少有一個向量能由其他m-1個向量線性表示。這是個向量線性表示。這是由于：由于： 假 設 向 量 組假 設 向 量 組 A 線 性 相 關 ， 那 么 有 不 全 為線 性 相 關 ， 那 么 有 不 全 為 0 的 數(shù)的 數(shù) 使使 。因。因 不全為不全為0, 無妨設無妨設 于是便有于是便有 即即a1能由能由 線性表示。線性表示。 12,m mkkk,2111220mmkkk12,ma aa)2(mmkkk,2111220mmkkkmkkk,2101k12211mmak ak ak 2,m4.5 向量組的相關性 假設向量組A中有某個向量

8、能由其他m-1個向量線性表示，無妨設 能由 線性表示，即有使 ，于是由于 這m個數(shù)不全為0至少 ,所以向量組A線性相關。即 向量組 線性相關 中至少有一個向量可由其他m-1個向量線性表示。向量組 線性無關 中任何一個向量都不能被其他向量線性表示。121,m 121,m112211mmm 112211( 1)0mmm 1,121m0112,(2)mm m,21m,21m,21m4.5 向量組的相關性定理定理2 向量組向量組 線性相關的充分必要條件是它所線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣構成的矩陣 的秩小于向量個數(shù)的秩小于向量個數(shù)m；向量組；向量組線性無關的充分必要條件是線性無關的充分必要條件

9、是R(A)=m.例例1 n維向量組維向量組 ， ，稱為稱為n維單位坐標向量組，試討論它的線性相關性。維單位坐標向量組，試討論它的線性相關性。 解解 n維單位坐標向量組構成的矩陣維單位坐標向量組構成的矩陣是是n階單位矩陣，由階單位矩陣，由 ，知，知 ，即，即R(E)等于向等于向量組中向量個數(shù)，故由定理量組中向量個數(shù)，故由定理2知此向量組線性無關的。知此向量組線性無關的。m,2112,mA 0011e0102e100neneeeE,2101EnER)( 例2 知 ， ，試討論向量組及向量組的線性相關性。 解 對矩陣 施加初等行變換變成行階梯形矩陣，即可同時看出矩陣 及 的秩，利用定理2即可得到結論

10、。可見 ，向量組 線性相關； ，向量組 線性無關。1111 3247 2025 123, 123, 12, 21323152123102102102,124022022157055000rrrrrr 123,2R 123, 12,2R 12, 例3 知向量組 線性無關， ， ，試證向量組 線性無關 證 設有 使 即 亦即因 線性無關，故有 由于此方程組的系數(shù)行列式故方程組只需零解 所以向量組 線性無關。 123, 112223331321,xxx1122330 xxx112223331()()()0 xxx131122233()()()0 xxxxxx123, 000322131xxxxxx0

11、21100111010321xxx123, 123, 4.5 向量組的相關性 線性相關性是向量組的一個重要性質，下面先引見與之有關的一些簡單的結論。定理31假設向量組A： 線性相關，那么向量組 B： 也線性相關。反言之，假設向量組B線性無 關，那么向量組A也線性無關。 2設 ， 即向量 添上一個分量后得向量 ,假設向量組A： 線性無關，那么向量組B： 也線性無關。反言之， 假設向量組B線性相關，那么向量組A也線性相關。 12,m 121,mm 1jjrjaa11, (1,2,)jjrjrjajmaa12,m 12,m jj4.5 向量組的相關性3m個n維向量組成的向量組，當維數(shù)n小于向量個數(shù)

12、m時一定線性相關。4設向量組A： 線性無關，而向量組B： 線性相關，那么向量 必能由向量組A線 性表示，且表示式是獨一的。 12,m 12,m 4.6 向量組的秩 定理2顯示，在討論向量組的線性相關性時，矩陣的秩起了非常重要的作用。下面把秩的概念引進向量組。定義5 設有向量組A,假設在A中能選出r個向量 滿足i向量組A0： 線性無關；ii向量組A中恣意r+1個向量假設A中有r+1個向量的話都線性相關，那么稱向量組A0是向量組A的一個最大線性無關向量組簡稱最大無關組；最大無關組所含向量個數(shù)r稱為向量組A的秩。 只含零向量的向量組沒有最大無關組，規(guī)定它的秩為0。 聯(lián)絡上一章中矩陣秩的定義，并根據(jù)定

13、理2，立刻可得12,r 12,r 4.6 向量組的秩定理定理4 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量 組的秩。組的秩。 這個定理給出求向量組秩的方法。這個定理給出求向量組秩的方法。例例4 全體全體n維向量構成的向量組記作維向量構成的向量組記作Rn,求求Rn的一個最大無關的一個最大無關 組及組及Rn的秩。的秩。解解 在例在例1中，我們證明了中，我們證明了n維單位坐標向量構成的向量組維單位坐標向量構成的向量組 是線性無關的，又根據(jù)定理是線性無關的，又根據(jù)定理3的結論的結論3，知知Rn中的恣意中的恣意n+1個向量都線性相關，因此向量組個向量都線

14、性相關，因此向量組 E是是Rn的一個最大無關組，且的一個最大無關組，且Rn的秩等于的秩等于n. 顯然，顯然，Rn的最大無關組很多，任何的最大無關組很多，任何n個線性無關的個線性無關的n維向量都是維向量都是Rn的最大無關組。的最大無關組。neeeE,:21例例5 設矩陣設矩陣 求矩陣求矩陣A的列向量組的最大無關組，并把不屬最大無關組的的列向量組的最大無關組，并把不屬最大無關組的列向量用最大無關組線性表示。列向量用最大無關組線性表示。解解 對對A施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣。施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣。知知R(A)=3，故列向量組的最大無關組含，故列向量組的最大無關組含3個向量。而三個非個向

15、量。而三個非零行的非零首元在零行的非零首元在1、2、4三列，故三列，故 為列向量組的為列向量組的一個最大無關組。這是由于一個最大無關組。這是由于 知知 故故 線性無關。線性無關。 97963422644121121112A 00000310000111041211行變換A124、124111011,001000 行變換1243R，124, 為把 用 線性表示，把A再變成行最簡形矩陣即得35, 124, 00000310003011040101行變換A3125124433 4.6 向量組的秩定理定理5 設向量組能由向量組設向量組能由向量組A線性表示，那么向量組線性表示，那么向量組B的的秩不大于向

16、量組秩不大于向量組A的秩。的秩。證證 設向量組設向量組B的一個最大無關組為的一個最大無關組為 ，向量組，向量組A的一個最大無關組為的一個最大無關組為 ，要證，要證 因因B0組能由組能由B組線性表示，組線性表示，B組能由組能由A組線性表示，組線性表示，A組組能由能由A0組線性表示，故組線性表示，故B0組能由組能由A0組線性表示，即存在組線性表示，即存在系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 使使 01:,rB01,sA：sr )(ijsrkK111111(,)(,)rrsssrkkkk4.6 向量組的秩假設 rs，那么方程組 簡記為Kx=0有非零解(因 ,從而方程組 有非零解，即 有非零解，這與B0組線性無關矛盾,因

17、此 rs不能成立，所以 。推論1 等價的向量的秩相等。推論2 設 ，那么 。推論3 最大無關組的等價意義 設向量組B是向量組A的部分組，假設向量組B線性無關，且向量組A能由向量組B線性表示，那么向量組B是向量組A的一個最大無關組。01rsrxxK)(rsKR1(,)0sKx1,0rxsr nssmnmBAC)()(),()(BRCRARCR4.7 向量空間 n維向量的全體所構成的集合Rn叫做n維向量空間。下面引見向量空間的有關知識。定義6 設V為n維向量的集合，假設集合V非空，且集合V對于加法和乘法兩種運算封鎖，那么就稱集合V為向量空間。 所謂封鎖，是指在集合V中可以進展加法和乘法兩種運算。詳

18、細地說，就是：假設 ，那么 ；假設， 那么,VVV,VRV4.7 向量空間例例8 3維向量的全體維向量的全體R3,就是一個向量空間，由于恣意兩個就是一個向量空間，由于恣意兩個3維向量之和依然是維向量之和依然是3維向量，數(shù)乘維向量，數(shù)乘3維向量也依然是維向量也依然是3維維向量，它們都屬于向量，它們都屬于R3,我們可以用有向線段籠統(tǒng)地表示我們可以用有向線段籠統(tǒng)地表示3維向量，從而向量空間維向量，從而向量空間R3可籠統(tǒng)地看作以坐標原點為起可籠統(tǒng)地看作以坐標原點為起點的有向線段的全體。點的有向線段的全體。 類似地，類似地，n維向量的全體維向量的全體Rn,也是一個向量空間，不過也是一個向量空間，不過當當

19、n3時，它沒有直觀的幾何意義。時，它沒有直觀的幾何意義。4.7 向量空間例例9 集合集合 是一個向量空間是一個向量空間. 由于假設由于假設 ，那么，那么 ， 。例例10 集合集合 不是一個向量空間，由于假設不是一個向量空間，由于假設 ，那，那么么 。RxxxxxVnTn,), 0(2222(0,),(0,)TTnnaaVbbV22(0,)TnnababV2(0,)TnaaVRxxxxxVnTn,), 1 (222(1,)TnaaV22(2,2,2)TnaaV4.7 向量空間例例11 設設 、 為兩個知的為兩個知的n維向量，集合維向量，集合是一個向量空間，由于假設是一個向量空間，由于假設 ， ，

20、那，那么有么有 ，這個向量空間稱為由向量這個向量空間稱為由向量 、 所生成的向量空間所生成的向量空間 普通地，由向量組普通地，由向量組 所生成的向量空間為所生成的向量空間為,212211RaaaxVmmm12,m 4.7 向量空間例12 設向量組 與向量組 等價，記 ，試證 V1=V2證 設 , 那么x可由 線性表示, 因可由 線性表示，故x可由 線性表示，所以 ，這就是說，假設 , 那么 , 因此類似地可證：假設 , 那么 , 因此由于 ， ，所以 。12,m 12,s 1112212,mmmVxR 2112212,sssVxR 1Vx2Vx1Vx2Vx21VV 2Vx1Vx12VV 21V

21、V 12VV 21VV 12,m 12,m 12,s 12,s 4.7 向量空間定義定義7 設有向量空間設有向量空間V1及及V2，假設，假設 ，就稱，就稱V1是是V2的子空間。的子空間。 例如任何由例如任何由n維向量所組成的向量空間維向量所組成的向量空間V，總有，總有 ，所以這樣的向量空間總是所以這樣的向量空間總是Rn的子空間。的子空間。定義定義8 設設V為向量空間為向量空間, 假設假設r個向量個向量 ,且滿且滿足足i 線性無關；線性無關；iiV中任一向量都可由中任一向量都可由 線性表示。線性表示。那么，向量組那么，向量組 就稱為向量空間就稱為向量空間V的一個基，的一個基，r稱稱為向量空間為向量空間V的維數(shù)，并稱的維數(shù)，并稱V為為r 維向量空間。維向量空間。21VV nRV 12,rV 12,r 12,r 12,r 4.7 向量空間 假設向量空間V沒有基，那么V的維數(shù)為0，0維向量空間只含一個零向量0。 假設把向量空間V看作向量組，那么按定理5的推論3可知，V的基就是向量組的最大線性無關組，V的維數(shù)就是向量組的秩。 例如 ，由例4知，任何n個線性