高中數(shù)學反證法例題

1、.高中數(shù)學反證法例題 高中數(shù)學反證法例題一選擇題1.否認結論“至多有兩個解的說法中，正確的選項是A.有一個解B.有兩個解C.至少有三個解D.至少有兩個解答案C解析在邏輯中“至多有n個的否認是“至少有n+1個，所以“至多有兩個解的否認為“至少有三個解，故應選C.2.否認“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)時的正確反設為A.a、b、c都是奇數(shù)B.a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)C.a、b、c都是偶數(shù)D.a、b、c中至少有兩個偶數(shù)答案B解析a，b，c三個數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：全是奇數(shù);有兩個奇數(shù)，一個偶數(shù);有一個奇數(shù)，兩個偶數(shù);三個偶數(shù).因為要否認，所以假設應為“全是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù).故應

2、選B.3.用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60°時，反設正確的選項是A.假設三內角都不大于60°B.假設三內角都大于60°C.假設三內角至多有一個大于60°D.假設三內角至多有兩個大于60°答案B解析“至少有一個不大于的否認是“都大于60°.故應選B.4.用反證法證明命題：“假設整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)時，以下假設正確的選項是A.假設a，b，c都是偶數(shù)B.假設a、b，c都不是偶數(shù)C.假設a，b，c至多有一個偶

3、數(shù)D.假設a，b，c至多有兩個偶數(shù)答案B解析“至少有一個反設詞應為“沒有一個，也就是說此題應假設為a，b，c都不是偶數(shù).5.命題“ABC中，假設∠A>∠B，那么a>b的結論的否認應該是A.aB.a≤bC.a=bD.a≥b答案B解析“a>b的否認應為“a=b或a6.a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線答案C解析假設cb，而由ca，可得ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線.故應選C.7

4、.設a，b，c∈-∞，0，那么三數(shù)a+1b，c+1a，b+1c中A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一個不大于-2D.至少有一個不小于-2答案C解析a+1b+c+1a+b+1c=a+1a+b+1b+c+1ca，b，c∈-∞，0，∴a+1a=-a+-1a≤-2b+1b=-b+-1b≤-2c+1c=-c+-1c≤-2∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6∴三數(shù)a+1b、c+1a、b+1c中至少有一個

5、不大于-2，故應選C.8.假設P是兩條異面直線l、m外的任意一點，那么A.過點P有且僅有一條直線與l、m都平行B.過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直C.過點P有且僅有一條直線與l、m都相交D.過點P有且僅有一條直線與l、m都異面答案B解析對于A，假設存在直線n，使nl且nm那么有l(wèi)m，與l、m異面矛盾;對于C，過點P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖lα對于D，過點P與l、m都異面的直線不唯一.9.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎，乙說：“甲、丙都未獲獎，丙說：“我獲獎了，丁說：“是乙獲獎了，四位歌手的話只

6、有兩句是對的，那么獲獎的歌手是A.甲B.乙C.丙D.丁答案C解析因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說對了，同時甲、乙中只有一人說對了，假設乙說的對，這樣丙就錯了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯矛盾，所以乙說錯了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎歌手.故應選C.10.x1>0，x1≠1且xn+1=xnx2n+33x2n+1n=1,2，試證“數(shù)列xn或者對任意正整數(shù)n都滿足xnxn+1，當此題用反證法否認結論時，應為A.對任意的正整數(shù)n，都有xn=xn+1B.存在正整數(shù)n，使xn=xn+1C.存在正整數(shù)n，使xn≥xn+1且xn≤xn-1D.

7、存在正整數(shù)n，使xn-xn-1xn-xn+1≥0答案D解析命題的結論是“對任意正整數(shù)n，數(shù)列xn是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列，其反設是“存在正整數(shù)n，使數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列.故應選D.高中數(shù)學反證法例題二填空題11.命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形的結論的否認是_.答案沒有一個是三角形或四邊形或五邊形解析“至少有一個的否認是“沒有一個.12.用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除，那么反設的內容是_.答案a，b都不能被5整除解析“至少有一個的否認是“都不能.13.用反證法證明命題：“一個三角形

8、中不能有兩個直角的過程歸納為以下三個步驟：∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，那么∠A=∠B=90°不成立;所以一個三角形中不能有兩個直角;假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A=∠B=90°.正確順序的序號排列為_.答案解析由反證法證明的步驟知，先反證即

9、，再推出矛盾即，最后作出判斷，肯定結論即，即順序應為.14.用反證法證明質數(shù)有無限多個的過程如下：假設_.設全體質數(shù)為p1、p2、pn，令p=p1p2pn+1.顯然，p不含因數(shù)p1、p2、pn.故p要么是質數(shù)，要么含有_的質因數(shù).這說明，除質數(shù)p1、p2、pn之外，還有質數(shù)，因此原假設不成立.于是，質數(shù)有無限多個.答案質數(shù)只有有限多個除p1、p2、pn之外解析由反證法的步驟可得.高中數(shù)學反證法例題三解答題15.：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.證明用反證法：假設a

10、，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設a<0，b<0，c>0，那么由a+b+c>0，可得c>-a+b，又a+b<0，∴ca+b<-a+ba+bab+ca+b<-a+ba+b+ab即ab+bc+ca<-a2-ab-b2a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-a2+ab+b2<0，即ab+bc+ca&am

11、p;lt;0，這與ab+bc+ca>0矛盾，所以假設不成立.因此a>0，b>0，c>0成立.16.a，b，c∈0,1.求證：1-ab，1-bc，1-ca不能同時大于14.證明證法1：假設1-ab、1-bc、1-ca都大于14.a、b、c都是小于1的正數(shù)，∴1-a、1-b、1-c都是正數(shù).1-a+b2≥1-ab>14=12，同理1-b+c2>12，1-c+a2>12.三式相加，得1-a+b2+1-b+c2+1-c+a2>32，即32

12、>32，矛盾.所以1-ab、1-bc、1-ca不能都大于14.證法2：假設三個式子同時大于14，即1-ab>14，1-bc>14，1-ca>14，三式相乘得1-ab1-bc1-ca>143因為0同理，0所以1-aa1-bb1-cc≤143.因為與矛盾，所以假設不成立，故原命題成立.17.函數(shù)fx是-∞，+∞上的增函數(shù)，a，b∈R.1假設a+b≥0，求證：fa+fb≥f-a+f-b;2判斷1中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論.解析1證明：a+b≥0，∴a≥-b.由fx的單調性得fa≥f-b.又a+b≥0?b≥-a?fb≥f-a.兩式相加即得：fa+fb≥f-a+f-b.2逆命題：fa+fb≥f-a+f-b?a+b≥0.下面用反證法證之.假設a+b<0，那么：a+b<0?a<-b?fa?fa+fb這與矛盾，故只有a+b≥0.逆命題得證.18.2019?湖北理，