北京市西城區(qū)2013年高三數(shù)學(xué)一模試題 文

1、北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷 高三數(shù)學(xué)（文科） 2013.4第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知全集，集合，那么（A）（B） （C）（D） 2復(fù)數(shù) （A）（B）（C）（D）3執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出，則輸入角 （A）（B）（C）（D）4設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，且若，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）5某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖是邊長為的正方形，該正三棱柱的表面積是（A） （B）（C） （D）6設(shè)實(shí)數(shù)，滿足條件 則的最大值是（A）（B）（C）（D）7已知函數(shù)，則“”是“

2、，使”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件8如圖，正方體中，是棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)在底面內(nèi)，且，則點(diǎn)運(yùn)動形成的圖形是（A）線段（B）圓?。–）橢圓的一部分（D）拋物線的一部分第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9已知向量，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)_10已知函數(shù) 則_11拋物線的準(zhǔn)線方程是_；該拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在此拋物線上，且，則_12某廠對一批元件進(jìn)行抽樣檢測經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批元件的長度數(shù)據(jù) (單位：)全部介于至之間將長度數(shù)據(jù)以為組距分成以下組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖若長度在內(nèi)的元件為合格品，根據(jù)頻率分布直

3、方圖，估計(jì)這批產(chǎn)品的合格率是_ 13在中，內(nèi)角，的對邊邊長分別為，且若，則的面積是_ 14已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為若且，則_；_.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是 （）求實(shí)數(shù)的值； （）設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間 16（本小題滿分14分）在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，/， （）求證：平面；（）求四面體的體積； （）線段上是否存在點(diǎn)，使/平面？證明你的結(jié)論17（本小題滿分13分）某商區(qū)停車場臨時(shí)停車按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每輛汽車一次停車不超過小時(shí)收費(fèi)元，超過小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)元

4、（不足小時(shí)的部分按小時(shí)計(jì)算）現(xiàn)有甲、乙二人在該商區(qū)臨時(shí)停車，兩人停車都不超過小時(shí)（）若甲停車小時(shí)以上且不超過小時(shí)的概率為，停車付費(fèi)多于元的概率為，求甲停車付費(fèi)恰為元的概率；（）若每人停車的時(shí)長在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲、乙二人停車付費(fèi)之和為元的概率18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）求的極值；（）若存在區(qū)間，使和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求的取值范圍19（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)（）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的斜率；（）記的面積為，（為原點(diǎn)）的面積為試問：是否存在直線，使得？說明理由20（本小題滿分13分

5、）已知集合 對于，定義；與之間的距離為（）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求；（）證明：若，且，使，則；（）記若，且，求的最大值北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷高三數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2013.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1 B； 2A； 3D； 4B； 5C； 6C； 7A； 8B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9； 10； 11，； 12； 13； 14，注：11、14題第一問2分，第二問3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15（本小題滿分13分） （）解：依題意，得， 1分 即 ， 3分解得

6、 5分（）解：由（）得 6分 8分 10分由 ，得 ， 12分所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為， 13分16（本小題滿分14分）（）證明：在中，因?yàn)?，所以 2分又因?yàn)?， 所以 平面 4分（）解：因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)?，所以平?6分 在等腰梯形中可得 ，所以 所以的面積為 7分所以四面體的體積為： 9分（）解：線段上存在點(diǎn)，且為中點(diǎn)時(shí)，有/ 平面，證明如下：10分連結(jié)，與交于點(diǎn)，連接因?yàn)?為正方形，所以為中點(diǎn) 11分 所以 / 12分因?yàn)?平面，平面， 13分 所以 /平面所以線段上存在點(diǎn)，使得/平面成立 14分17（本小題滿分13分）（）解：設(shè)“甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為元”為事件， 1分 則 所以甲臨時(shí)停車

7、付費(fèi)恰為元的概率是 4分（）解：設(shè)甲停車付費(fèi)元，乙停車付費(fèi)元，其中 6分則甲、乙二人的停車費(fèi)用構(gòu)成的基本事件空間為：，共種情形 10分其中，這種情形符合題意 12分故“甲、乙二人停車付費(fèi)之和為元”的概率為 13分18.（本小題滿分13分）（）解：的定義域?yàn)椋?且 2分 當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增 從而沒有極大值，也沒有極小值 4分 當(dāng)時(shí)，令，得 和的情況如下： 故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為從而的極小值為；沒有極大值 6分（）解：的定義域?yàn)?，?8分 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合題意 9分 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增，由于在上單調(diào)遞減，不合題意 11分當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，

8、由于在上單調(diào)遞減，符合題意 綜上，的取值范圍是 13分19（本小題滿分14分）（）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)其方程為 1分將其代入，整理得 3分設(shè)，所以 4分故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為依題意，得， 6分解得 7分（）解：假設(shè)存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直由（）可得 8分因?yàn)?，所以 ， 解得 ， 即 10分因?yàn)?，所以 11分所以 ， 12分整理得 13分因?yàn)榇朔匠虩o解，所以不存在直線，使得 14分20（本小題滿分13分）（）解：當(dāng)時(shí)，由，得 ， 所以 3分（）證明：設(shè)，因?yàn)?，使，所以 ，使得 ，所以 ，使得 ，其中所以 與同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù) 6分 所以 8分（）解法一：設(shè)中有項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，項(xiàng)為負(fù)數(shù)不妨設(shè)時(shí)；時(shí)，所以 因?yàn)?，所以 ，