概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)要點(diǎn)

1、知識(shí)要點(diǎn)一 概念： 1 隨機(jī)事件：用等表示 互不相容： 互逆： 且 ，此時(shí)， 互逆 互不相容 ，反之不行 相互獨(dú)立： 或 2 隨機(jī)事件的運(yùn)算律： (1) 交換律 ： (2) 結(jié)合律 ： (3) 分配律 ： (4 ) De Morgen 律（對(duì)偶律） 推廣： 3 隨機(jī)事件的概率： 有界性 若 則 條件概率 4 隨機(jī)變量： 用大寫表示 . 若與相互獨(dú)立的充分必要條件是 若與是連續(xù)隨機(jī)變量且相互獨(dú)立的充分必要條件是 若與是離散隨機(jī)變量且相互獨(dú)立的充分必要條件是若與不相關(guān)，則 或 獨(dú)立不相關(guān) 反之不成立但當(dāng)與服從正態(tài)分布時(shí) ，則相互獨(dú)立 不相關(guān)相關(guān)系數(shù)： 且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，并且二 兩種概率模型 古典概型

2、： 所包含的基本事件的個(gè)數(shù) ；總的基本事件的個(gè)數(shù) 伯努利概型 ： 次獨(dú)立試驗(yàn)序列中事件恰好發(fā)生次的概率 次獨(dú)立試驗(yàn)序列中事件發(fā)生的次數(shù)為到之間的概率 次獨(dú)立試驗(yàn)序列中事件至少發(fā)生次的概率 特別的 ，至少發(fā)生一次的概率 三 概率的計(jì)算公式：加法公式： 若互不相容 ,則 推論：推廣：若，互不相容，則 乘法公式：或 若相互獨(dú)立 ， 推廣： 若它們相互獨(dú)立，則全概率公式：若 為隨機(jī)事件，互不相容的完備事件組，且 則 注： 常用作為互不相容的完備事件組 有諸多原因可以引發(fā)某種結(jié)果 ，而該結(jié)果有不能簡(jiǎn)單地看成這諸多事件的和 ，這樣的概率問(wèn)題屬于全概問(wèn)題.用全概率公式解題的程序：（1） 判斷所求解的問(wèn)題 是

3、否為全概率問(wèn)題（2） 若是全概率類型，正確的假設(shè)事件及 ，要求是互斥的完備事件組（3） 計(jì)算出（4） 代入公式計(jì)算結(jié)果四 一維隨機(jī)變量：1 分布函數(shù)： 性質(zhì)：（1） （2） 若 ，則（3） 若是離散隨機(jī)變量，則是右連續(xù)的若是連續(xù)隨機(jī)變量，則是連續(xù)的（有時(shí)，此性質(zhì)也可用來(lái)確定分布函數(shù)中的常數(shù)） （4） 即 即 （ 此性質(zhì)常用來(lái)確定分布函數(shù)中的常數(shù)） 利用分布函數(shù)計(jì)算概率： 一維離散隨機(jī)變量：概率函數(shù)： （分布律）性質(zhì)： （此性質(zhì)常用來(lái)確定概率函數(shù)中的常數(shù)） 已知概率函數(shù)求分布函數(shù) 一維連續(xù)隨機(jī)變量： 概率密度 性質(zhì)：（1） 非負(fù)性（2）歸一性： （常用此性質(zhì)來(lái)確定概率密度中的常數(shù)） 分布函數(shù)和概

4、率密度的關(guān)系： （注意：當(dāng)被導(dǎo)函數(shù)或被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)，要分區(qū)間討論，其結(jié)果也是分段函數(shù)） 利用概率密度求概率 五 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布： 離散情形 ： 列表 、整理、合并 連續(xù)情形： 分布函數(shù)法. 先求的分布函數(shù) ，再求導(dǎo)六 二維隨機(jī)變量： 聯(lián)合分布函數(shù) ：性質(zhì)：（1） （2） （3） （4） （此極限性質(zhì)常用來(lái)確定分布函數(shù)中的常數(shù)）邊緣分布函數(shù)： 二維離散隨機(jī)變量：聯(lián)合概率函數(shù) 列表 邊緣概率函數(shù)： 二維連續(xù)隨機(jī)變量： 聯(lián)合概率密度 性質(zhì) （1） （2）（常用此性質(zhì)來(lái)確定概率密度中的常數(shù)）聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度的關(guān)系 （注意：當(dāng)被導(dǎo)函數(shù)或被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)，要分區(qū)間討論，其結(jié)果也

5、是分段函數(shù)）利用聯(lián)合概率密度求概率已知聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度（注意：當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)，要分區(qū)間討論，其結(jié)果也是分段函數(shù)）二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1 離散情形2 連續(xù)情形：七 隨機(jī)變量的數(shù)字特征： 若為離散隨機(jī)變量： 若為連續(xù)隨機(jī)變量： 二維情形 若為二維連續(xù)隨機(jī)變量，則若為二維離散隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望： 若為離散隨機(jī)變量： 若為連續(xù)隨機(jī)變量 方差：定義 方差的計(jì)算公式： 注意這個(gè)公式的轉(zhuǎn)化：協(xié)方差：，相關(guān)系數(shù)關(guān)于期望的定理： 關(guān)于方差的定理 （1） （1） （2） （2） （3） 相互獨(dú)立： （注意：反之不成立） 相互獨(dú)立 （注意：反之不成立）一般地：八 要熟記的常用分

6、布及其數(shù)字特征：分布 二項(xiàng)分布 泊松分布 均勻分布： 指數(shù)分布： 正態(tài)分布： 特別地 （）若 ，則九 正態(tài)隨機(jī)變量線性函數(shù)的分布；十 統(tǒng)計(jì)部分： 統(tǒng)計(jì)量 ，三大分布的定義，無(wú)偏性 有效性 矩估計(jì) 最大似然估計(jì) 區(qū)間估計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn)矩估計(jì)的步驟：（思路：用樣本的k階原點(diǎn)矩去估計(jì)總體的k階原點(diǎn)矩） 若總體中只含一個(gè)未知參數(shù)；（1） 計(jì)算總體的一階原點(diǎn)矩（2） 令，從中解得未知參數(shù)的矩估計(jì)量。若總體中含有兩個(gè)未知參數(shù)；（3） 計(jì)算總體的一階原點(diǎn)矩，二階原點(diǎn)矩（4） 令，從中解得未知參數(shù)的矩估計(jì)量。最大似然估計(jì)的步驟：（1） 寫似然函數(shù)：若總體是連續(xù)的隨機(jī)變量，則 若總體是離散的隨機(jī)變量，則 （注：離散

7、情形，似然函數(shù)就是樣本出現(xiàn)的概率）（2） 對(duì)似然函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)；（3） 對(duì)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于0（4） 由此解得參數(shù)的最大似然估計(jì)值。區(qū)間估計(jì)的步驟：若已知 ，則的置信水平為的置信區(qū)間為查表，將所有的數(shù)據(jù)代入上式，求出區(qū)間即可。若未知 ，則的置信水平為的置信區(qū)間為查表，將所有的數(shù)據(jù)代入上式，求出區(qū)間即可。假設(shè)檢驗(yàn)的步驟：（對(duì)參數(shù)）（1） 根據(jù)題意提出原假設(shè)與備擇假設(shè)（2） 根據(jù)題意選取統(tǒng)計(jì)量； 已知，則應(yīng)該選擇統(tǒng)計(jì)量未知，則應(yīng)選擇統(tǒng)計(jì)量 （3） 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值（4） 查臨界值，判斷統(tǒng)計(jì)量的觀察值是否在拒絕域里，下結(jié)論。例： 甲袋中有5只紅球10只白球，乙袋中有8只紅球6只白球，現(xiàn)先從甲

8、袋中任取一球放入乙袋，然后又從乙袋中任取一球放入甲袋. 求這一個(gè)來(lái)回后甲袋中紅球數(shù)不變的概率 . 解： 設(shè)：從甲袋中取出放入乙袋的是紅球，：從乙袋中返還甲袋的是紅球,: 這一個(gè)來(lái)回后甲袋中紅球數(shù)不變，則 從而 .例 高射炮向敵機(jī)發(fā)射三發(fā)炮彈（每彈擊中與否相互獨(dú)立），設(shè)每發(fā)炮彈擊中敵機(jī)的概率均為 ，又若敵機(jī)中一彈，其墜落的概率為，若敵機(jī)中兩彈，其墜落的概率為，若敵機(jī)中三彈，則必然墜落。求敵機(jī)被擊落的概率。解： 設(shè)事件表示敵機(jī)被擊落，事件表示敵機(jī)中彈。 則 所以，例：設(shè)的分布函數(shù) 求 解： 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 在處導(dǎo)數(shù)不存在，但規(guī)定為零 例：設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度 求：解： （1） (對(duì)稱性質(zhì)) 由

9、得： （2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí) ， 當(dāng) 時(shí) ，（3） 或 例： ，求的 密度函數(shù) 解 ：當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ，例：設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求：(1) , (2) 解：（1）(2) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求常數(shù)的值； ；（3）解：（1） 由知 ，解得 . ( 2 ) (3) ,例： 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為， 計(jì)算：（1）邊緣概率密度 （2）與是否相互獨(dú)立？為什么？解 （1）當(dāng)時(shí) ， 當(dāng)時(shí)， 所以 當(dāng)時(shí) ， 當(dāng)時(shí)， 所以 （2）因?yàn)?所以 與不相互獨(dú)立。例 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為： 求：（1）的邊緣概率密度 ， （2）解：（1） 當(dāng)或時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以， （2）例： 總體的概率密度為 ，是未知參數(shù)

10、，求的矩估計(jì)量. 解： 令 由此解得 的矩估計(jì)量為，例 設(shè)總體的概率密度為， 其中為未知參數(shù) ，如果從該總體中取得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本觀測(cè)值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)值。解 似然函數(shù)為 取對(duì)數(shù)得 對(duì) 求導(dǎo)得 令 即 從而得到的最大似然估計(jì)值為例： 設(shè)總體，為未知參數(shù) （1）已知從該總體中隨機(jī)抽取個(gè)觀測(cè)值的平均值為，求的置信水平為的置信區(qū)間（結(jié)果保留四位小數(shù)）（2）要使的置信水平為的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)，問(wèn)樣本容量最少應(yīng)為多少？解：（1） 已知 ，則的置信水平為的置信區(qū)間為，于是，又，于是置信區(qū)間為=即（2）要使置信區(qū)間長(zhǎng)度 ，樣本容量最少為 .例：從一批火箭推力裝置中抽取個(gè)進(jìn)行試驗(yàn)，測(cè)試其燃燒時(shí)間（s），經(jīng)計(jì)算得樣本均值（s），樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s），設(shè)燃燒時(shí)間服從正態(tài)分布，求燃燒時(shí)間均值的置信水平為的置信區(qū)間。 解 未知 ，則的置信水平為的置信區(qū)間為 因?yàn)橹眯潘?，所以 自由度， 查表從而置信區(qū)間為例： 設(shè)總體服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中抽取樣本容量為的樣本。測(cè)得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差。問(wèn)在顯著性水平下，可否認(rèn)為總體均值為？ 解 根據(jù)題意待檢驗(yàn)的假設(shè)為 已知，則應(yīng)該選擇統(tǒng)計(jì)量 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為 查表 因?yàn)?，所以在顯著性水平下，接受原假設(shè)。即 即認(rèn)為總體均值例： 已知全國(guó)高校男生百米跑平均成績(jī)?yōu)椋耄榱吮容^某高校與全國(guó)高校的男子百米跑水平