橢圓方程數(shù)值解

1、j. 橢圓方程數(shù)值解法本章考慮橢圓微分方程數(shù)值解法。首先以二維二階橢圓方程為例，給出矩形網(wǎng)和三角網(wǎng)上的差分法。然后以一維二階橢圓方程為例，簡要描述有限元法的基本思想。J.1 矩形網(wǎng)上差分方程考慮二維區(qū)域（區(qū)域=連通的開集）上的二階橢圓型偏微分方程第一邊值問題（j.1） 其中,是常數(shù)；是給定的光滑函數(shù)；是的邊界；。假設(shè)（J.1）存在光滑的唯一解?？紤]一種簡單情形，即求解區(qū)域是矩形區(qū)域，并且其四個邊與相應(yīng)坐標(biāo)軸平行。令和分別為和方向的步長，用平行于坐標(biāo)軸的直線段分割區(qū)域，構(gòu)造矩形網(wǎng)格： 為網(wǎng)格內(nèi)點節(jié)點集合，為網(wǎng)格邊界節(jié)點集合，。對于內(nèi)點，用如下的差分方程逼近微分方程（J.1）：(J.2) 其中。（

2、J.2）通常稱為五點差分格式。方程（J.2）可以整理改寫為（J.3） +對每一內(nèi)點都可以列出這樣一個方程。方程中遇到邊界點時，注意到邊界點上函數(shù)值已知，將相應(yīng)的項挪到右端去。最后得到以的內(nèi)點近似值為未知數(shù)的線性方程組。這個方程組是稀疏的，并且當(dāng)和足夠小時是對角占優(yōu)的。用（J.1）的真解在網(wǎng)點上的值、等等分別替換（J.2）中的、等等，然后在點處作Tailor展開，便知差分方程（J.2）逼近微分方程（J.1）的截斷誤差階為。另外可以證明，五點差分格式的收斂階為，并且關(guān)于右端和初值都是穩(wěn)定的。矩形網(wǎng)格差分格式的優(yōu)點是計算公式簡單直觀。但是，當(dāng)是非矩形區(qū)域，并且邊界條件包含法向?qū)?shù)（第二和第三邊值條件

3、）時，在矩形網(wǎng)格邊界點建立差分方程是一件頗為令人煩惱的事情。矩形網(wǎng)格的另一個大缺點是不能局部加密網(wǎng)格。 圖J.1 一般區(qū)域的矩形網(wǎng)格 J.2. 三角網(wǎng)差分格式本節(jié)我們將積分插值法用于三角網(wǎng)，建立三角網(wǎng)差分格式。三角網(wǎng)差分格式具有網(wǎng)格靈活和法向?qū)?shù)邊界條件易于處理等優(yōu)點，特別地，它還保持積分守恒（質(zhì)量守恒），深受使用者歡迎。文獻上常稱之為有限體積法或廣義差分法?？紤]有界區(qū)域上的Poisson方程（J.4） ， 在邊界的各個部分、和分別給定第一、第二和第三邊值條件：（J.5a） （J.5b） （J.5c） 其中是常數(shù)，是邊界的外法向。作的三角剖分：在上取一系列點，連成閉折線，并記為由圍成且逼近的多

4、邊形區(qū)域。將分割成有限個三角形之和，使每個三角形的每個內(nèi)角不大于，并且每個三角形的任一頂點與其他三角形或者不相交，或者相交于頂點。引入如下術(shù)語。節(jié)點：三角形的頂點；單元：每個三角形；相鄰節(jié)點：同一條邊上的兩個節(jié)點；相鄰單元：有一條公共邊的兩個三角形。對于任一節(jié)點，考慮所有以它為頂點的三角形單元和以它為頂點的三角形邊，過每一條邊作中垂線，交于外心，得到圍繞該節(jié)點的小多邊形，稱為對偶單元。全體對偶單元構(gòu)成區(qū)域的一個新的網(wǎng)格剖分，稱為對偶剖分。 圖J.2 三角網(wǎng)及其對偶剖分 圖J.3 內(nèi)點(a)與邊界點(b)的對偶單元， ， ，對于和，分別利用右矩形公式和梯形公式計算所涉及到的積分，導(dǎo)出如下差分近似

5、：這里。將上述六個公式帶入（J.6）中，就得到邊界點的差分方程。所有內(nèi)點和邊界點的差分方程構(gòu)成一個封閉的線性方程組，其系數(shù)矩陣是稀疏的，并且當(dāng)時是對稱的。J.3 橢圓方程的有限元法有限元法是與差分法并駕齊驅(qū)的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程轉(zhuǎn)化成一種變分方程（微分積分方程），從而降低了對解的光滑性和邊值條件的要求；然后，把求解區(qū)域劃分成有限個單元（有限元），構(gòu)造分片光滑函數(shù)，這個光滑函數(shù)由其在單元頂點上的函數(shù)值決定；最后，把這個分片光滑函數(shù)帶入到上述微分積分方程中去，就得到關(guān)于單元頂點函數(shù)值的一個線性方程組，解之即得有限元解。與差分法相比，有限元法易于處理邊界條件，易于

6、利用分片高次多項式等等來提高逼近精度。 函數(shù)集合 作為例子，我們將考慮區(qū)間上的橢圓微分方程。用表示在上勒貝格平方可積函數(shù)的集合，表示本身以及直到階的導(dǎo)數(shù)都屬于的函數(shù)的集合。我們下面用到的主要是。這里所說的導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確地說是應(yīng)該是廣義導(dǎo)數(shù)，對此我們不予詳細說明，只需知道比如說，連續(xù)的分片線性函數(shù)（折線函數(shù)）就屬于，其廣義導(dǎo)數(shù)是分片常數(shù)函數(shù)。另外，我們還用到函數(shù)集合。 變分方程 考慮兩點邊值問題 （J.7a） （J.7b）（J.7c）其中都是區(qū)間上的光滑函數(shù)，并且，是一個正常數(shù)。用中任一函數(shù)乘（J.7a）式兩端，并在上積分，得 （J.8）利用分部積分，并注意和，得以此代入到（J.8）得到 （J.9）

7、為了方便，定義 （J.10） （J.11）則相應(yīng)于微分方程（1）-（3）的變分方程為：求滿足（J.12）注意在（J.12）中不出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)。我們已經(jīng)看到，滿足微分方程（J.7）的光滑解一定滿足變分方程（J.12）。而變分方程（J.12）的解稱為微分方程（J.7）的廣義解，它可能只有一階導(dǎo)數(shù)，因此可能不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意義下二階可微，則一定也是（J.7）的解。另外，注意在變分方程（J.12）中，強制要求廣義解滿足邊值條件，因而稱之為強制（或本質(zhì)）邊界條件；而對邊值條件，則不加要求。但是可以證明，如果廣義解在通常意義下二階可微，則一定有，即這個邊界條件自然滿足。這類邊界條件稱

8、之為自然邊界條件。總之，變分方程（J.12）不但降低了對解的光滑性的要求，也降低了對邊值條件的要求。有限元空間 構(gòu)造有限元法的第一步與差分法一樣，也是對求解區(qū)間作網(wǎng)格剖分。相鄰節(jié)點之間的小區(qū)間稱為第個單元，其長度為。記。順便說一下，有限元法不要求步長是常數(shù)。而差分法通常要求步長是常數(shù)，以免截斷誤差階數(shù)降低。在空間中，按如下原則選取有限元空間：它的元素在每一單元上是次多項式，并且在每個節(jié)點上都是連續(xù)的。當(dāng)時，就得到最簡單的線性元，這時每個可表為， （J.13）其中。圖J.3. 一維線性元線性元的另外一種表示方法用到以下具有局部支集的基函數(shù)： （J.14） （J.15）圖J.4. 線性元的基函數(shù)顯

9、然，任一可以表為 （J.16）有限元方程 將變分方程（9）局限在有限元空間上考慮，就得到有限元方程：求有限元解滿足 （J.17）注意到和都可以表示成（J.16）形式，容易看出（J.17）等價于如下的線性方程組：求節(jié)點上的近似解滿足 （J.18）這個線性方程組是三對角的，可以用追趕法求解。可以把微分方程（J.1）、變分方程（J.12）和有限元方程（J.18）比喻為確定“好人”的三種標(biāo)準(zhǔn)：他每時每刻表現(xiàn)都好；大家都說他好；一個遴選委員會說他好。誤差估計 可以證明，微分方程（J.1）的解和有限元方程（J.18）的解之間的誤差滿足 （J.19）其中是一個常數(shù)；表示如下定義的范數(shù)： （J.20）二維橢圓

10、方程有限元法 以二維區(qū)域上的Poisson方程第一邊值問題為例： ， （J.21a） （J.21b）其中是以為邊界的一個二維區(qū)域。利用Green公式，容易推出相應(yīng)的變分方程：求滿足 ， （J.22）其中函數(shù)集合由滿足以下條件的所有函數(shù)組成：在邊界上為零，且本身及其廣義偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域上勒貝格可積； （J.23） （J.24） 二維區(qū)域上最常用剖分是形如下圖的三角剖分：我們可以相應(yīng)地構(gòu)造三角剖分上的線性元。對內(nèi)點集合（例如上圖中3，6，5這三個點）中每個節(jié)點，定義其基函數(shù)為一個分片線性函數(shù)，它在節(jié)點取值為1，而在所有其他節(jié)點為0。這樣，有限元空間中任一元素就可以表示成。把它帶入到變分方程（J.22）便得有限元方程：求上的近似解滿足 （J.25）高次元 可以從兩個途徑來提高有限元法的精度，一個是加密網(wǎng)格，另一個是利用高次元。例如對于一維問題，可以使用所謂Hermite三次元，它在每一個單元上是一個三次多項式，由兩個端點上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值總共4個待定參數(shù)確定。這時，相應(yīng)于（J.19）我們有誤差估計 （J.26）對于二維問題也可以使