有限元試題總結(jié)

1、一、 簡答題（40分，每小題5分）1、 分別寫出板彎類單元和平面應(yīng)力膜單元上一個有限元節(jié)點的位移自由度及其相對應(yīng)的節(jié)點力列陣？(1)薄板彎曲問題單元每節(jié)點三自由度，即每個結(jié)點有三個位移分量：撓度,繞x、y軸轉(zhuǎn)角 ，即結(jié)點i的位移 同理,相應(yīng)的結(jié)點力(2)平面應(yīng)力膜單元每個節(jié)點兩自由度， ,對應(yīng)節(jié)點力2、 欲求解在約束下的泛函極值，新泛函應(yīng)如何構(gòu)造？答：3、 欲求解在約束下的泛函極值，新泛函應(yīng)如何構(gòu)造？答：4、 滿足條件下的泛函極值求解應(yīng)如何構(gòu)造新泛函？答：5、 寫出直梁彎曲問題的勢能原理表達式，并說明真解的充分必要條件？答：一變剖面梁，一端固支，另一端簡支。承受軸向拉力N，分布橫向載荷以及端點

2、彎矩的作用。(3) 系統(tǒng)總勢能：充要條件：在所有變形可能的撓度中使系統(tǒng)的總勢能取最小值的擾度為真解。6、 寫出用一維Hermit型基函數(shù)（形狀函數(shù)）構(gòu)造未知位移場函數(shù)的表達式，并說明用其分段插值的場函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)？答：， ， 在單元內(nèi)的場函數(shù)連續(xù)性要高（單元內(nèi)二階導(dǎo)連續(xù)），而在單元間的節(jié)點上，要低一階（一階導(dǎo)連續(xù)，二階導(dǎo)存在）。P397、 Hermit型分段插值基函數(shù)（形狀函數(shù)）的基本性質(zhì)有哪些？并說明用該基函數(shù)插值獲得的場函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)如何？答：四個形狀函數(shù)為三次函數(shù)；其中，一節(jié)導(dǎo)函數(shù)值在兩端點都為0；函數(shù)值在左節(jié)點為1，右節(jié)點為0；相反；所以這兩個形狀函數(shù)對w的節(jié)點值有影響，而不影響w一階

3、導(dǎo)在端點的值；，在兩節(jié)點的值均為0；一階導(dǎo)函數(shù)值在左節(jié)點為1，在右節(jié)點為0，相反；說明這兩個形狀函數(shù)對w的節(jié)點導(dǎo)數(shù)值有影響，而不影響w在端點的值。在單元內(nèi)的場函數(shù)連續(xù)性要高（單元內(nèi)二階導(dǎo)連續(xù)），而在單元間的節(jié)點上，要低一階（一階導(dǎo)連續(xù)，二階導(dǎo)存在）。8、 敘述一個平衡彈性結(jié)構(gòu)體的勢（位）能駐值原理？最小勢能原理與駐值原理有什么關(guān)系？答：在彈性體系的所有幾何可能位移狀態(tài)中，其真實的位移狀態(tài)使總勢能為駐值（可能極大、極小或者始終保持不變）。由此得到的駐值條件等價于平衡條件。但是，其平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和隨遇平衡三種，要判別平衡狀態(tài)究竟屬于哪一種，還必須進一步考察總勢能的二階變分情況。最小勢能

4、原理是勢能駐值原理在線彈性范圍里的特殊情況。9、 通過勢能泛函近似得到的有限元數(shù)值解是什么性質(zhì)？常規(guī)協(xié)調(diào)單元的收斂性規(guī)律如何（可用曲線描述）？答：按照最小勢能原理求解時，必須首先假定單元位移函數(shù)，這些位移函數(shù)是連續(xù)的，但卻是近似的。從物體中取出一個單元，作為連續(xù)介質(zhì)的一部分，本來具有無限個自由度，在采用位移函數(shù)之后，只有以節(jié)點位移表示的有限個自由度，這相當(dāng)于位移函數(shù)對單元變形能力有所限制，使得單元剛度增加，物體的整體剛度也增加了，因而計算的位移近似解小于精確解。當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。10、 由

5、最小位能原理獲得的有限元解收斂性具有什么特征（可用曲線說明）？答： 當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。以一平板任意方向變形為例，如圖所示：精確解計算解位移精確解可能是一復(fù)雜的非顯式曲線，有限元離散后，單元內(nèi)的變形是節(jié)點位移的線性插值函數(shù)，這樣得到的計算解曲線以折線逼近精確解。如果采用二次曲線逼近，則計算精度與計算效率可大大提高，二次曲線即有限元中的高次單元。同樣，當(dāng)有限元網(wǎng)格無限密化時，計算解將無限逼近精確解?？紤]計算過程中的數(shù)值計算誤差（例如：截斷誤差），限制了有限元網(wǎng)格的過分密化。11、 寫出一般線彈

6、性體的基本控制方程？邊值條件有哪些？答：平衡方程： （在彈性體內(nèi)）幾何方程： 物理方程： （在彈性體內(nèi)）邊界條件：a.位移邊界條件（在位移邊界上）；b.應(yīng)力邊界條件（在應(yīng)力邊界上）；c.混合邊界條件12、 等參元的數(shù)值積分最高精度2n-1，指的是什么？若積分點偏少可能發(fā)生什么情況？答：指的是n個積分點的高斯積分可達2n-1階的精度；高斯積分計算剛度矩陣時：當(dāng)高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項次精確積分所需要的階次時，稱為完全積分；低于時，稱為減縮積分。對等參元的數(shù)值積分，積分點減少可能對積分的精度和結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的奇異性造成影響。（1）在最小位能原理基礎(chǔ)上建立的位移有限元，其整體剛度偏大，選取積

7、分點偏少的減縮積分方案將使有限元計算模型的剛度有所降低，因此可能有助于提高計算精度。（2）求解系統(tǒng)方程時，要求引入強迫邊界條件后K必須非奇異。但當(dāng)采用較少的積分點數(shù)目，可能造成K最大志小于獨立自由度數(shù)，也即剛度矩陣奇異，則平衡方程組無唯一解。13、 有限元結(jié)構(gòu)總剛矩陣有哪些性質(zhì)？采用一維變帶寬存貯方法的方程組求解方案的可行性原因何在？答：總綱特征：對稱性；稀疏性；帶狀性；奇異性（置入邊界條件后是正定的）有限元總體剛度矩陣是稀疏矩陣，絕大多數(shù)矩陣值都為0，如果在內(nèi)存與外存中按照矩陣格式保存，則會浪費大量資源。一維變帶寬存儲是建立一個一維數(shù)組，把總剛矩陣中每行第一個非零元素以及后面直到對角線元素按

8、行順序存放，同時建立另外一個一維數(shù)組（稱為定位數(shù)組），記錄總剛矩陣每行對角線元素在一維剛度數(shù)組中的位置，這樣，通過兩個較小的一維數(shù)組就實現(xiàn)了較大規(guī)模的總體剛度矩陣的存儲、定位與獲取。14、 任意四邊形平面應(yīng)力單元的某一節(jié)點自由度需用與結(jié)構(gòu)總體坐標系不同的局部坐標系表達，寫出該單元剛度剛陣的符號表達式？答： 15、 寫出受壓桿穩(wěn)定性問題的泛函表達式，解釋臨界失穩(wěn)載荷的力學(xué)含義？答：當(dāng)P<Pcr時，系統(tǒng)永遠是正定的（穩(wěn)定的）；當(dāng)P >Pcr時，系統(tǒng)是不定的；P =Pcr點，系統(tǒng)從正定到不定的過渡狀態(tài)，即系統(tǒng)處在隨遇平衡狀態(tài)。16、 對僅受分布橫向載荷q(x) 的懸臂梁，寫出具體勢能泛函

9、表達式？變分的結(jié)果有哪些，什么性質(zhì)？答：，可得：對于微分方程基本邊界條件：x=0，w=0,dw/dx=0;自然邊界條件：x=l，w=0,w=0;17、 你所理解的有限元素法基本概念有哪些?答：依據(jù)求解問題的路徑不同，有限元方法大致可分為：位移法：以位移為基本未知量；力法：應(yīng)力為基本未知量；混合法：部分以位移；部分以應(yīng)力為基本未知量。將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點的數(shù)值插值函數(shù)來表達。從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互

10、連子域組成,對每一單元假定一個合適的(較簡單的)近似解,然后推導(dǎo)求解這個域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件),從而得到問題的解。這個解不是準確解,而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高,而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段。有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。有限元法是Rayleigh-Ritz法的一種局部化情況。不同于求解(往往是困難的)滿足整個定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh-Ritz法,有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀(如二維問題中的三角形或任意四邊形)

11、的單元域上(分片函數(shù)),且不考慮整個定義域的復(fù)雜邊界條件,這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。18、 經(jīng)典Ritz方法與現(xiàn)代有限元方法有何異同？答：有限元法=Rayleigh Ritz法分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。兩種方法都需要尋找坐標基函數(shù)；但兩者差別在于Ritz法需要滿足全域的連續(xù)函數(shù)作為坐標函數(shù)，這將引起解的代數(shù)方程組可能滿陣，造成較大計算工作量；有限元方法是尋找分片連續(xù)函數(shù)來逼近，基函數(shù)是在單元中選取的由于各個單元具有規(guī)則的幾何形狀，而且可以不必考慮邊界條件的影響，因此在單元中選取基函數(shù)可遵循一定的法則。使解得計算量減小和有效性增大。二、

12、分析題 （30分）q1、（10分）已知一等截面懸臂桿（截面積為A，彈性模量為E）承受沿軸向均勻分布載荷q及端部軸向應(yīng)力s（如下圖），寫出勢能泛函(用軸向位移表達)？xsL解：勢能泛函包括三個部分，一個部分是由于桿的變形桿中存儲的勢能，第二部分是分布力的勢能，第三部分是端部軸向應(yīng)力的勢能。2、（8分）構(gòu)造下圖一維桿單元三個節(jié)點的Lagrange標準插值基函數(shù)？321Lx1、（8分）已知一懸臂梁（如下圖，等截面）承受軸向均勻分布載荷q, 用有限元方法求解端點A的位移？Aq解：微分方程描述僅求解A點位移，可將整根梁看做一個單元：則A點的線性位形函數(shù)可寫為：則 梁的能量泛函為： 則由此可得或者法二：分

13、布軸力q的等效： 解得：h2、（8分）構(gòu)造下圖8節(jié)點單元中角節(jié)點1的Lagrange標準二次插值基函數(shù)？743+18+1-1x6-1521答再改造原四節(jié)點情況下的角節(jié)點基函數(shù)， 對角點1分析：選時，在節(jié)點5、8處不為零而為，故處理為：2、（8分）構(gòu)造下圖正方形上關(guān)于原點的Lagrange標準雙二次插值基函數(shù)？h -1，174386o03x -1，1512解： 將代入上述基得到：因此對于中點的基函數(shù)為y3、 （12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉(zhuǎn)問題的泛函表達式為：x2b2a式中，f為應(yīng)力函數(shù)，且在邊界上求1：與問題等價的控制微分方程（ Euler方程）。求2：取f 的近似解形式為： ，a為未知參

14、數(shù)，求使泛函I取極值f 的具體近似解。解：（1）令：則微分方程為：即：（2）將代入中：得到：可得當(dāng) 時 取極小值因此近似解為bayx4、 （12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉(zhuǎn)問題的泛函表達式為：式中，f為應(yīng)力函數(shù)，且在邊界上求1：與問題等價的控制微分方程（ Euler方程）。求2：取f 的近似解形式為： ，a為未知參數(shù)，求使泛函I取極值f 的具體近似解。解：微分方程：，代近似解到泛函，得?。?（2）將代入中：得到：計算得到：可得當(dāng) 時 取極小值因此近似解為5、 （12分）已知一物理問題的泛函為：其中，未知函數(shù)y(x)的邊界條件為：y(0) = 0, y(1) = 1求1：與泛函等價的控制微分方

15、程（Euler方程）。求2：取y的解形式為 ，其中多項式系數(shù)為未知參數(shù)，求使泛函取極值y的具體解。解：微分方程：，解為，代入邊界條件，得近似解的形式跟真解的形式相同，因此，泛函的極值必然等于真解。6、 （12分）已知一物理問題的泛函為：式中，u(x), 0£ x£1，為未知函數(shù)，且 求1：與泛函等價的控制微分方程（Euler方程）。求2：取u的近似解形式為 ，a1、a2為未知參數(shù)，求使泛函取極值u的具體解。解：由邊界條件，得a1+a2=0,所以將代入泛函，求極值，得a1=5/187、 （12分）已知一物理問題的泛函為：式中，為未知函數(shù)，且 求1：與問題等價的控制微分方程（

16、Euler方程）。求2：取的近似解形式為 ，a1、a2為未知參數(shù)，求使泛函取極值的具體解。求3：解釋你的直接泛函駐值解說明了什么問題？解：對泛函作變分：邊界值中，任意，所以必須有所以，代入泛函，求極值得該駐值解等于精確解。三、 計算題 （30分）1、 （15分）一四節(jié)點平面等參元的形狀函數(shù)如下式所示，已知該單元的節(jié)點位移關(guān)系為：u1= -u2 = u3 = -u4，v1=v2=v3=v4=0（圖中的虛線狀態(tài)）。試給出該單元剪切應(yīng)變能表達式；當(dāng)Gauss積分點僅取坐標原點時，該剪切應(yīng)變能等于多少？已知： ，為節(jié)點坐標。43h x 21解：雅克比矩陣為雅克比矩陣中每項的值如下假設(shè)母單元長寬分別為和

17、則計算得下面寫出應(yīng)變矩陣的表達式因為僅計算剪切應(yīng)變能，因此僅取的最后一行計算： 而剛度轉(zhuǎn)化為數(shù)值應(yīng)變能計算如下：根據(jù)條件式中：代、到U中，得對上式采用高斯積分，取取積分點，則相應(yīng)權(quán)系數(shù)為得最后計算得到。2、（15分）已知一對稱等截面桿件結(jié)構(gòu)，如圖所示，桿彈性模量E=104kg/mm2, 截面面積A=10mm2,作用載荷p=104N。用有限元方法計算結(jié)構(gòu)各點位移。要求作出求解過程的簡化圖。解：（1） 節(jié)點編號和單元編號如下：單元節(jié)點號單元長度方向112L/20223/2135334L/20424L/290（2） 各單元在總體系下的剛度矩陣：各桿在總體坐標系下的剛度矩陣計算公式：代入各桿對應(yīng)數(shù)值：

18、（3） 單元拼裝，計算總剛度矩陣 其中節(jié)點力：(4) 邊界條件的處理及剛度方程求解邊界條件為： 解得：2、 （15分）已知一四邊固支的各向同性彈性正方形薄板（邊長為4,如下圖示），有一P載荷作用于中心點處，產(chǎn)生的位移撓度等于1，應(yīng)用四節(jié)點12參數(shù)板彎單元計算所需載荷P的大?。浚ㄒ阎獜椥阅Ａ繛镋，板厚為t，泊桑比=0.3，邊長為2的方板元素剛陣為：44PD,解： （局部坐標系）如圖，把薄板劃分為四個單元，結(jié)點編號和單元編號如圖所示，由薄板固支的邊界條件，可以得到板邊界結(jié)點的結(jié)點位移和轉(zhuǎn)角都為零。4節(jié)點12參數(shù)的位形函數(shù)如下：由于完全對稱，計算（1）單元為例：將1,2,3,4節(jié)點的位移和轉(zhuǎn)角條件B矩陣計算如下：將每個單元的剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣 由邊界條件:即 因此對于1節(jié)點處的節(jié)點力與位移關(guān)系為即前述計算（1）單元中結(jié)果：由已知， 對，所以，同理，代入上式中，得到2、（15分）已知一對稱板桿結(jié)構(gòu)如圖所示，結(jié)